一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 A x Z 1 x 2 ， B x x2 1 ，则 A B （ ）
A. 1,0,1 B. 0 C. 1,0 D. 1,0,1,2
2．人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理
数到实数等等．16 世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了 i2 1，17
世纪法因数学家笛卡尔把 i 称为“虚数”，用 a bi(a、b R) 表示复数，并在直角坐标系上
建立了“复平面”．若复数 z 满足方程 z2 2z 5 0 ，则 z （ ）
A． 1 2i B． 2 i C． 1 2i D． 2 i
3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：
每个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了 1 和它本身没有其他约数的数称
为素数）的和，如 30 7 23,6 3 3 ，在不超过 25 的素数中，随机选取 2 个不同的
数，则这 2 个数恰好含有这组数的中位数的概率是（ ）
1 1 2 3
A. B. C. D.
4 3 9 8
4．设平面向量 a (1,3) ，| b | 2 ，且| a b | 10 ，则 (2a b)(a b) =（ ）
A．1 B．14 C． 14 D． 10
5. , 是两个平面， m,n 是两条直线，则下列四个选项错误的是（ ）
A．如果 m n,m ,n / / ，那么 .
B．如果 m ,n / / ，那么 m n .
C．如果 / /,m ，那么 m / / .
D．如果 m / /n, / / ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等.
1
6．设 0, ， 0, ，且 tan tan ，则（ ）
2 2 cos
A． 2 B． 2 C． 2 D． 2
2 2 2 2
y2
7．已知双曲线 C： x2 1(b 0) 的焦点到渐近线的距离为 2 ，直线 l 与 C 相交于
b2
A、B 两点，若线段 AB 的中点为 N 1,2，则直线 l 的斜率为（ ）
A． 1 B．1 C． 2 D．2
ln 4 4 ln 4 e
8．设 a ， b ， c ，则（ ）
4 e2 2e
A． a b c B． b 二多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9. 设 AB 为两个互斥的事件，且 P A 0, PB 0 ，则（ ） A. P AB 0 B. P AB P A PB C. P(A B) 1 D. P A B P A PB 10. 已知函数 f x cos4 x 2sin x cos x sin4 x ，则下列说法正确的是（ ） 5 A. x 为函数 f x 图象的一条对称轴．B. 函数 f x 在 , 上单调递减． 8 4 2 C. 将 f x 的图象向右平移 个单位，得到函数 g x 的图象，若 g x 在0,m上的最小 4 3 值为 g 0 ，则 m 的最大值为 ． 4 7 11 D. f x 在0,a 上有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 , ． 8 8 11．如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 M 在线段 A1C1 （不包含端点） 上，则下列结论正确的有（ ）个 A．点 B1 在平面 ACD1 的射影为ACD1 的中心； B．直线 BM // 平面 ACD1 ； C．异面直线 B D 与 BM 所成角不可能为 ； 1 3 31 D．三棱锥 A CMD1 的外接球表面积的取值范围为 ,12 3 ． 12．已知定义在 R 上的函数 f x 可导，且 f x 不恒为 0, f x 2 为奇函数， f 2x 1 为 偶函数，则（ ） A． y f x 的周期为 4 B． y f x 的图象关于直线 x 1对称 2024 C． f 2n 0n N* D． f i 0 i3 三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 4 2 13. 的展开式中，常数项是______________. x 3 x 14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》 卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数 之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将 1 到 2 023 这 2 023 个自然数 中被 3 除余 2 且被 5 除余 4 的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列 的项数为________． x2 y2 15．已知椭圆 C： 1(a b 0) 的左焦点为 F，过原点 O 的直线 l 交椭圆 C 于点 a2 b2 A，B，且 2 FO AB ，若 BAF ，则椭圆 C 的离心率是 ． 6 16、在ABC 中， AB 4，AC 3，BAC=90，D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 3 AP=9，若 PA mPB ( m)PC （m 为常数），则 CD 的长度是________． 2 四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出 文字说明证明过程或演算步骤. 17. （10 分）记ABC 的内角 A，B，C 的对边分期为 a，b，c，已知点 D 在边 AC 上， 且 BD AC ， BDsin A BC sinC ． 1 （1）证明： 是等腰三角形； （2）若 CD AC ，求 sin C ABC 3 18．（12 分）已知数列an ，bn 满足 a1 9 ， an1 10an 9 ， bn an 1. n 1 lgb n S （1）证明：bn 是等比数列； （2）求数列 n 的前 项和 n . 19．（12 分）如图，已知四棱台 ABCD A1B1C1D1 的上、下底面分别是边长为 2 和 4 的正方 形， A1 A 4 ，且 A1 A 底面 ABCD ，点 P,Q 分别在棱 DD1 、 BC 上 (1)若 P 是 DD1 的中点，证明： AB1 PQ ； (2)若 PQ / / 平面 ABB1 A1 ，且平面 PQD 与平面 AQD 的夹角的余弦 4 值为 ，求四面体 ADPQ 的体积． 9 20．（12 分）设有甲乙丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的 5 个球， 其中甲箱有 3 个蓝球和 2 个黑球，乙箱有 4 个红球和 1 个白球，丙箱有 2 个红球和 3 个白 球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出 2 个球，若从甲箱中摸出的 2 个球颜色相同，则从 乙箱中摸出 1 个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出 2 个球；若从甲箱中摸出的 2 个球颜色 不同，则从丙箱中摸出 1 个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出 2 个球. (1)若最后摸出的 2 个球颜色不同，求这 2 个球是从丙箱中摸出的概率； (2)若摸出每个红球记 2 分，每个白球记 1 分，用随机变量 X 表示最后摸出的 2 个球的分数 之和，求 X 的分布列及数学期望. 21、（12分）已知抛物线 C : y2 = 2x ，过点（2，0）的直线交 C 于 A ， B 两点，圆 M 是以 线段 AB 为直径的圆． （1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上； （2）设圆 M 过点 P （4，- 2 ），求直线与圆 M 的方程． ln x a 22. 已知函数 f x ln x （ e 2.71828 ……是自然对数底数）． ex （1）当 a 1时，讨论函数 f x 的单调性； （2）当 a 1时，证明： f x 1 ea ． 高三上学期 12 月考数学试题（解析版） 一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 A x Z 1 x 2 ， B x x2 1 ，则 A B （ ） A. 1,0,1 B. 0 C. 1,0 D. 1,0,1,2 1、【答案】B 【分析】先解不等式化简集合 B ，再由交集的概念，即可得出结果. 【详解】因为集合 A x Z 1 x 2 1,0,1,2 ， B x x2 1 x 1 x 1 ， 因此 A B 0 .故选：B. 2．人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理 数到实数等等．16 世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了 i2 1，17 世纪法因数学家笛卡尔把 i 称为“虚数”，用 a bi(a、b R) 表示复数，并在直角坐标系上 建立了“复平面”．若复数 z 满足方程 z2 2z 5 0 ，则 z （ ） A． 1 2i B． 2 i C． 1 2i D． 2 i 2、【答案】C 【分析】设出复数 z 的代数形式，再利用复数为 0 列出方程组求解作答. 【详解】设 z a bi(a,b R) ，因 z2 2z 5 0 ，则 (a bi)2 2(a bi) 5 0 ， a2 b2 2a 5 0 a 1 即 (a2 b2 2a 5) 2b(a 1)i 0，而 a,b R ，则 ，解得 ， 2b(a 1) 0 b 2 所以 z 1 2i .故选：C 3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下： 每个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了 1 和它本身没有其他约数的数称 为素数）的和，如 30 7 23,6 3 3 ，在不超过 25 的素数中，随机选取 2 个不同的 数，则这 2 个数恰好含有这组数的中位数的概率是（ ） 1 1 2 3 A. B. C. D. 4 3 9 8 3、【答案】C 【解析】不超过 25 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23 共 9 个，中位数为 11，任取两个数 1 C8 8 2 含有 11 的概率为 p 2 ，故选 C. C9 36 9 4．设平面向量 a (1,3) ，| b | 2 ，且| a b | 10 ，则 (2a b)(a b) =（ ） A．1 B．14 C． 14 D． 10 4、【答案】B 【分析】根据 a (1,3) ，求出 a ,把| a b | 10 两边平方，可求得 a b 2 ， 把所求展开即可求解. 【详解】因为 a (1,3) ，所以 a 10, 又| b | 2 ， 则| a b |2 a 2 2a b b 2 14 2a b 10, 所以 a b 2 ， 则 (2a b)(a b) 2a 2 a b b 2 20 2 4 14 ，故选： B. 5. , 是两个平面， m,n 是两条直线，则下列四个选项错误的是（ ） A．如果 m n,m ,n / / ，那么 . B．如果 m ,n / / ，那么 m n . C．如果 / /,m ，那么 m / / . D．如果 m / /n, / / ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等. 5、【答案】A． 【解析】对于 A．， m n,m ,n // ，则 , 的位置关系无法确定，故错误；对于 B． ,因 为 n // ， 所 以 过 直 线 n 作 平 面 与 平 面 相 交 于 直 线 c ， 则 n // c ， 因 为 m ,m c,m n ，故 B．正确；对于 C．由两个平面平行的性质可知正确；对于 D，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确。故选 A． 考点： 空间中的线面关系. 1 6．设 0, ， 0, ，且 tan tan ，则（ ） 2 2 cos A． 2 B． 2 C． 2 D． 2 2 2 2 2 【答案】A 1 sin sin 1 【详解】因为 tan tan ，所以 ， cos cos cos cos 所以 sin cos cos sin cos ，即sin sin ． 2 又 0, ， 0, ，所以 ，即 2 2 2 2 2 或 ，即 （舍去）．故选： A. 2 2 y2 7．已知双曲线 C： x2 1(b 0) 的焦点到渐近线的距离为 2 ，直线 l 与 C 相交于 A， b2 B 两点，若线段 AB 的中点为 N 1,2，则直线 l 的斜率为（ ） A． 1 B．1 C． 2 D．2 7、【答案】B 【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线l 的斜率. y2 【详解】因为双曲线的标准方程为 x2 1(b 0) ， b2 所以它的一个焦点为 (c,0) ，一条渐近线方程为bx y 0 ， bc 所以焦点到渐近线的距离 d = 2 ，化简得b2c2 2(b2 1) ，解得 b2 2 ， b2 +1 y2 所以双曲线的标准方程为 x2 1， 2 2 2 2 y1 2 y2 设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，所以 x 1， x 1， 1 2 2 2 1 1 -得， (x 2 x 2 ) (y 2 y 2 ) 0 ，化简得 (x x )(x x ) (y y )(y y ) 0 ， 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 因为线段 AB 的中点为 N 1,2，所以 x1 x2 2, y1 y2 4 ， y1 y2 代入，整理得 x1 x2 y1 y2 ，显然 x1 x2 , y1 y2 ，所以直线l 的斜率 k 1. x1 x2 故选：B ln 4 4 ln 4 e 8．设 a ，b ， c ，则（ ） 4 e2 2e A． a b c B．b 【答案】D e2 ln ln 4 ln 2 4 ln 4 2 e ln e 【详解】由题意可得 a ，b 2 ， c ， 4 2 e2 e 2e e 2 ln x 1 ln x 设 f x ， x 0 ，则 f x ， x x2 故当 x 0,e 时， f ( x) >0 ， f x 单调递增； 当 x e,时， f x 0 ， f x 单调递减； e2 e2 因为 a f 4 f 2 ，b f ， c f e ，且 0 e 2 e 4 ， 2 2 e2 可得 a f 2 f e c ， a f 4 f b ，所以 c 2 二多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9. 设 AB 为两个互斥的事件，且 P A 0, PB 0 ，则（ ） A. P AB 0 B. P AB P A PB C. P(A B) 1 D. P A B P A PB 【答案】AD 【分析】根据互斥事件的含义及概率计算公式逐项判定即可. 【详解】因为 AB 为两个互斥的事件，且 P A 0, PB 0 ， 所以 A B ,即 P AB 0 ，故 A 正确，B 错误； 因为 AB 为两个互斥的事件，不一定为对立事件，所以 A, B 也不一定为对立事件， 故 P(A B) 不一定为 1，故 C 错误； 因为 AB 为两个互斥的事件，所以 P A B P A PB ，故 D 正确， 故选：AD. 10. 已知函数 f x cos4 x 2sin x cos x sin4 x ，则下列说法正确的是（ ） 5 A. x 为函数 f x 图象的一条对称轴． 8 B. 函数 f x 在 , 上单调递减． 4 2 C. 将 f x 的图象向右平移 个单位，得到函数 g x 的图象，若 g x 在0,m上的最小 4 3 值为 g 0 ，则 m 的最大值为 ． 4 7 11 D. f x 在0,a 上有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 , ． 8 8 【答案】BC 【分析】将函数 f x 化简为 f x 2 sin 2x ，结合三角函数的性 4 质，逐一分析判断即可. 【详解】结合题意： f x cos4 x 2sin x cos x sin4 x cos2 x sin2 xcos2 x sin2 x sin 2x ， 化简为： f x cos 2x sin 2x 2 sin 2x . 4 k 5 对于 A 选项：令 2x k ,k Z ，解得 x , 易验证 x 不是对称 4 2 2 8 8 轴，故 A 错误； 3 5 对于 B 选项：当 x , 时， 2x , ， 4 2 4 4 4 结合三角函数的性质可知， f x 在 , 上单调递减，故 B 正确； 4 2 对于 C 选项： g x f x 2 sin 2 x 2 sin 2x 4 4 4 4 因 为 x 0,m ，所以 2x ,2m ， 4 4 4 5 3 要使 g x 在0,m上的最小值为 g 0 ，则 2m ，即 m ，故 C 正确； 4 4 4 对于 D 选项：由 x 0,a ，得 2x ,2a ， 4 4 4 7 11 要使 f x 在0,a 上有 2 个零点，则 2 2a 3 ，解得 a ，故 D 错误. 4 8 8 故选：BC. 11．如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 M 在线 段 A1C1 （不包含端点）上，则下列结论正确的有（ ）个 A．点 B1 在平面 ACD1 的射影为ACD1 的中心； B．直线 BM // 平面 ACD1 ； C．异面直线 B D 与 BM 所成角不可能为 ； 1 3