数学试题
总分 150分 考试时间 120分钟
一、选择题：本题共8 小题，每题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
A x, y x y 1 0, B x, y x2 y2 1 ，则A B
1. 已知集合
A. 0，1，1，0 B. 0，1 C. 0，1 D. 1，0
2. 若 i 是虚数单位，复数 z 满足 1 i z 1，则 2z 3 （ ）
A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
3. 已知向量 a 2,1 ， b 3,2 ， c 1,1 ，则（ ）
A. a//b B. a b c C. a b c D. c 5a 3b
4. 下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）
3
A. f (x) x B. f (x) x 1 C. f ( x) log 2 | x | D. f (x) log2 x
x2 y2 b c
5. 已知 c 是椭圆 1(a b 0 ）的半焦距，则 取最大值时椭圆的离心率是（ ）
a2 b2 a
1 2 2 3
A. B. C. D.
2 3 2 3
3 1 23
6. 已知 ( , ) ，若 sin 2 sin cos ，则 sin cos （ ）
2 2 25
7 3 7 3 3
A. 或- B. C. - D.
5 5 5 5 5
3
7. 角 A 是 ABC 的内角，则“ A ”是“ sin A cos A 0 ，且 tan A sin A 0 ”的（ ）
2 4
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2021 2021 1 a2 b2
8. 在 ABC 中，已知 ，则 （ ）
tan A tan B tan C c2
A. 2021 B. 2022 C. 4042 D. 4043
二、选择题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得五分，部分选对的得两分，有选错的得零分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 已知一组数据 7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为 8
B. 若随机变量 服从正态分布 N 1, 2 ， P 4 0.79 ，则 P 2 0.21
C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为
y 0.3x m ，若样本中心点为 m,2.8 ，则 m 4
D. 若随机变量 X ~ B100, p ，且 E X 20 ，则 D X 12
10. （多选题）已知 3a 5b 15 ，则 a，b 满足下列关系的是（ ）
A. ab 4 B. a b 4 C. a2 b2 4 D.
(a 1)2 (b 1)2 16
11. 已知函数 f x x3 3x 1，则（ ）
A. 函数 f x 有两个极值点
B. 函数 f x 有三个零点
C. 若 g x f x ，则 g x 是偶函数
D. 点 1,1 是函数 y f x 1 的对称中心
12. 四棱锥的四个侧面都是腰长为 7 ，底边长为 2 的等腰三角形，则该四棱锥的高为（ ）
6
A. 2 B. C. 3 D. 5
2
三、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.
13. 在 1,2,3,4,5 这五个数字中任取不重复的3 个数字组成一个三位数，则组成的三位数是奇数的概率是
________．(用分数表示)
14. 已知正三棱台上底面边长为 2.下底面边长为 4，且侧棱与底面所成的角是 45 ，那么这个正三棱台的
体积等于___________.
2 1
15. 已知关于 x 的方程 2x 1 2ax x2 ax 1在区间 ,3 上有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值
2
范围为___________.
x2 y2
的
16. 已知双曲线 C : 1a 0,b 0 左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，过 F2 的直线与 C 的右支交于
a2 b2
A，B 两点，若 F1 AF2 AF2 F1 ， F2 B 2 F2 A ，则 C 的离心率为______.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答
题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.
17. , 0, , 它们的终边分别与单位圆相交于 Aa,2a, Bb,3b
2
(1)求 ；
(2)求 sin( 3 ) 的值.
18. 如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，ABC60，AC 与 BD 交于点 O，
1
PO平面 ABCD，E 为 CD 的中点连接 AE 交 BD 于 G，点 F 在侧棱 PD 上，且 DF PD．
3
（1）求证：PB平面 AEF；
2
（2）若 cos BPA ，求三棱锥 EPAD 的体积．
4
1
19. 已知函数 f (x) x2 (a 1)x aln x
2 .
（1）当a 1时，求函数 f (x) 的单调增区间；
1 1
（2）若不等式 f (x) (a 1)x x2 xa 1 e 对于任意 x e 成立，求正实数 a 的取值范围.
2 e
20. 已知公差 d 0 的等差数列an ， Sn 是an 的前 n 项和， a2 8 ， S2 1 是 a1 和 S4 6 的等比中项.
（1）求an 的通项公式；
1 1
b
（2）设数列bn 满足 n ，且bn 的前 n 项和为Tn ，求证Tn .
an an1 15
21. 某果农在其承包的 100 亩果园中种植一种原生态水果(每年种植一季)，每亩的种植成本为 5000 元，
由于受天气和市场供求关系的影响，此水果的亩产量和销售价格均具有随机性，且互不影响.根据近几年
的数据得知，每季由产量为 500kg 的概率为 0.4.亩产量为800kg 的概率为 0.6，市场销售价格 c (单位：
20, p 0.3
元/kg)与其概率 p 的关系满足 c .
30, p 0.7
（1）设 X 表示此果农某季所获得的利润，求 X 的分布列和数学期望；
（2）求 5 年中恰有 4 年此果农的利润高于 100 万元的概率.
1
22. 已知函数 f (x) lnx ax2 x ．
2
（1）若 f 1 0 ，求函数 f (x) 的单调减区间；
5 1
（2）若 a 2 ，正实数 x ， x 满足 f (x1 ) f (x2 ) x1 x2 0 ，证明： x x ．
1 2 1 2 2
乌鲁木齐市第六十八中学 高三1 月月考
数学试题
总分 150分 考试时间 120分钟
一、选择题：本题共8 小题，每题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
A x, y x y 1 0, B x, y x2 y2 1 ，则A B
1. 已知集合
A. 0，1，1，0 B. 0，1 C. 0，1 D. 1，0
【答案】A
【解析】
【分析】联立 A，B 中的方程组成方程组，求出解即可确定出两集合的交集
x y 1 0 x 0 x 1
【详解】联立集合 A，B 可得： 2 2 ，解得 或
x y 1 y 1 y 0
则 A B 0，1，1，0
故选 A
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2. 若 i 是虚数单位，复数 z 满足 1 i z 1，则 2z 3 （ ）
A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】先化简复数，再代入 2z 3 ，由复数的模长公式即可求出答案.
1 1 i
【详解】由已知， z ，
1 i 2
2z 3 1 i 3 i 2 22 12 5 .
故选：B.
3. 已知向量 a 2,1 ， b 3,2 ， c 1,1 ，则（ ）
A. a//b B. a b c C. a b c D. c 5a 3b
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量加减法、向量垂直和平行的坐标表示依次验证各个选项即可.
【详解】对于 A，2 2 13 ，a,b 不平行，A 错误；
对于 B，a b 1,1 ，a b c 1111 0 ，a b c ，B 正确；
对于 C， a b 1,1 c ，C 错误；
对于 D， 5a 3b 10,5 9,6 19,11 c ，D 错误.
故选：B.
4. 下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）
3
A. f (x) x B. f (x) x 1 C. f ( x) log 2 | x | D. f (x) log2 x
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于 A， f (x) x3 ，为幂函数，既是奇函数，又是增函数，符合题意；
对于 B， f (x) x 1，为一次函数，不是奇函数，不符合题意；
对于 C， f ( x) log 2 | x | ，为偶函数，不符合题意；
对于 D， y log2 x ，为对数函数，不是奇函数，不符合题意；
故选 A．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性与奇偶性，属于基础题．
x2 y2 b c
5. 已知 c 是椭圆 1(a b 0 ）的半焦距，则 取最大值时椭圆的离心率是（ ）
a2 b2 a
1 2 2 3
A. B. C. D.
2 3 2 3
【答案】C
【解析】
b c b c b b b
【分析】用椭圆的性质直接对原式 进行减少变量处理，得到 1 ( )2 ，看成以 为变量的
a a a a a
函数的最值问题，可利用换元法求解.
b c b c b c2 b a2 b2 b b
【详解】 1 ( )2 ，
a a a a a2 a a2 a a
b
因为 a b 0, 0 1．
a
b b c
设 cos, (0, ) ，则 cos 1 cos2 cos sin 2 sin( )
a 2 a 4
b 2 b c c b 2
当 ，即 时， 取最大值，此时离心率 e 1 ( )2 .
4 a 2 a a a 2
故选：C
3 1 23
6. 已知 ( , ) ，若 sin 2 sin cos ，则 sin cos （ ）
2 2 25
7 3 7 3 3
A. 或- B. C. - D.
5 5 5 5 5
【答案】B
【解析】
23
【分析】由正弦的二倍角公式得 sin cos sin cos ，再根据同角三角函数的关系可得
25
(sin cos)2 1 23
sin cos ，令 sin cos t ，建立方程解之可得选项.
2 25
1 23 23
【详解】由 sin 2 sin cos ，可得 sin cos sin cos ，
2 25 25
(sin cos)2 1 23
所以 sin cos ，
2 25
t2 1 23
令 sin cos t ，所以 t ，
2 25
21 7 3 3
即 t2 2t 0 ，解得 t 或- 又 ( , ) ，所以 2 (2,3) ，所以 sin 2 0 ，
25 5 5 . 2
7 23 24
当 t 时， sin 2 2( t) 0 ，符合题意；
5 25 25
3 23 16 7
当 t 时， sin 2 2( t) 0 ，不符合题意，所以 t ，
5 25 25 5
故选：B.
【点睛】易错点睛：本题考查三角函数给值求值问题，注意根据需角的范围取值.
3
7. 角 A 是 ABC 的内角，则“ A ”是“ sin A cos A 0 ，且 tan A sin A 0 ”的（ ）
2 4
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数的性质分析即可.
【详解】因为角 A 是 ABC 的内角，所以 0 A ，
3 2 2
当 A ，根据三角函数的性质可得si n A , 1 ， cos A ,0 ， tan A ,1 ，
2 4 2 2
3
所以由“ A ”能推出“ sin A cos A 0 ，且 tan A sin A 0 ”，
2 4
3
当 0 A ， sin A cos A 0 ，可得 A ，此时 tan A sin A 0 也成立，
2 4
3
所以由“ sin A cos A 0 ，且 tan A sin A 0 ”能推出“ A ”．
2 4
故选：C．
2021 2021 1 a2 b2
8. 在 ABC 中，已知 ，则 （ ）
tan A tan B tan C c2
A. 2021 B. 2022 C. 4042 D. 4043
【答案】D
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系将切化弦，再根据两角和的正弦公式及诱导公式得到
sin C cosC
2021 ，再利用正弦定理将角化边，结合余弦定理计算可得；
sin Asin B sin C
2021 2021 1 cos A cos B cosC
【详解】解：由 得 2021
tan A tan B tan C sin A sin B sin C
cos Asin B cos Bsin A sin A B sin C cosC
所以 2021 2021 2021 ，
sin Asin B sin Asin B sin Asin B sin C
2021sin2 C 2021c2
故 cosC ，
sin Asin B ab
a2 b2 c2 2021c2
即 ，即 a2 b2 4043c2 ，
2ab ab
a2 b2
故 4043.
c2
故选：D.
二、选择题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得五分，部分选对的得两分，有选错的得零分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 已知一组数据 7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为 8
B. 若随机变量 服从正态分布 N 1, 2 ， P 4 0.79 ，则 P 2 0.21
C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为
y 0.3x m ，若样本中心点为 m,2.8 ，则 m 4
D. 若随机变量 X ~ B100, p ，且 E X 20 ，则 D X 12
【答案】BC
【解析】
【分析】将 A 的数据由小到大排列后可求该组数据的中位数，从而可判断 A 的正误，利用正态分布的对称
性可判断 B 的正误，根据样本中心点必在回归直线上可判断 C 的正误，根据公式可求二项分布的期望和方
差，从而可判断 D 的正误.
【详解】对于选项 A，5，6，7，7，8，8，8，9 中位数为 7.5，所以 A 不正确；
对于选项 B，因为随机变量 服从正态分布 N 1, 2 ，所以正态曲线关于 x 1对称，
所以 P 2 P 4 1 0.79 0.21，所以 B 正确；
对于选项 C，因为回归直线一定经过样本中心点，所以 2.8 0.3m m 0.7m ，
即 m 4 ，所以 C 正确；
对于选项 D，因为 X ~ B100, p ，且 E X 20 ，所以100 p 20 ，即 p 0.2 ，
所以 D X 1000.20.8 16 ，所以 D 不正确．
故选：BC．
10. （多选题）已知 3a 5b 15 ，则 a，b 满足下列关系的是（ ）
A. ab 4 B. a b 4 C. a2 b2 4 D.
(a 1)2 (b 1)2 16
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由已知可得 a log3 15 1 log3 5 ， b log5 15 1 log5 3 ，有 a b ab ，依据基本不等式即可知
a b 4 ，进而可知 ab 、 a2 b2 、 (a 1)2 (b 1)2 的范围.
【详解】由题意知： a log3 15 1 log3 5 ， b log5 15 1 log5 3 ，
a b 1 1
log 3 log 5 1，即 a b ab ，
ab a b 15 15
1 1
a b 2 log3 5 2 2 log3 5 4 ，
log3 5 log3 5
a b ab 4 ，
a2 b2 (a b)2 2ab (ab)2 2ab (ab 1)2 1 8 ，
(a 1)2 (b 1)2 a2 b2 2(a b) 2 (ab)2 2 18 16 ，
故选：ABD
【点睛】本题考查了对数的运算，结合基本不等式求代数的范围，属于中档题.
11. 已知函数 f x x3 3x 1，则（ ）
A. 函数 f x 有两个极值点
B. 函数 f x 有三个零点
C. 若 g x f x ，则 g x 是偶函数
D. 点 1,1 是函数 y f x 1 的对称中心
【答案】ABC
【解析】
【分析】A 选项：求导，分析单调性，即可得到极值点的情况；
B 选项：根据单调性和零点存在性定理即可得到零点的情况；
C 选项：根据奇偶性的定义判断即可；
D 选项：根据对称性的性质和图象的平移即可得到对称中心.
【详解】A 选项： f x 3x2 3 3 x 1 x 1 ，当 x 1或 x 1时， f ( x) >0 ，当 1 x 1时，
f x 0 ，所以 f x 在 ,1 ， 1, 上单调递增， 1,1 上单调递减，所以 f x 有两个极值点，
故 A 正确；
B 选项：结合A 中函数单调性，又 f 2 1 0 ， f 1 3 0 ，所以 2,1 上存在一个零点，
f 1 1 0 ，所以 1,1 上存在一个零点， f 2 3 0 ，所以 1,2 上存在一个零点，所以函数
f x 有三个零点，故 B 正确；
C 选项： g x 3x2 3 ，定义域为 R，关于原点对称，且 g x 3x2 3 g x ，所以 g x 为偶函
数，故 C 正确；