数学
命题学校：广东实验中学 定稿人：杨晋鹏 张淑华
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位
置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上
要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
一.单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的)
1.已知全集 = ，集合，满足 ()，则下列关系一定正确的是( )
A. = B. C. () = D. () =
2.已知复数满足 (1+ i)z =1i ，则2024 =( )
A. B. 1 C. 1 D.
3.直线 + 2 + 3 = 0关于直线 = 对称的直线方程是( )
A. + 2 3 = 0 B. 2 + 3 = 0 C. 2 3 = 0 D. 2 + 3 + 3 = 0
4.已知向量 a 在 b 方向上的投影向量的模为 2 ，向量 b 在 a 方向上的投影向量的模为 1，且
（a +b) （2a 3b) ，则向量 与向量 的夹角为（ ）
3
A． B． C． D．
6 4 3 4
2 2 1 2 2
5.若椭圆1： + = 1( >>0)的离心率为 ，则双曲线2： = 1的离心率为 ( )
2 2 2 2 2
21 7
A. B. C. 3 D. 5
3 2
6. 在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为 R，且某个车轮上的点
P 刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离 S，则此时 P 到铁轨上表面的距离为（ ）
S S S S
A． R(1+ cos ) B． R(1 cos ) C． 2Rsin D． Rsin
R R R R
7.若（1 c)ea =（1 c)ln b =1则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A． c ab B． cab C．cba D．ba c
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1 8an1 + 8 an1 + n +
8.数列{an} 的前 n 项和 Sn ，且 = ， (n 2,n N ) ，若 a1 =1，则
an 2an1
5 5 3 3
A． S 3 B． 2 S C． S 2 D． 1 S
2 2024 2024 2 2 2024 2024 2
二.多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是
符合题目要求的，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分）
9.下列结论正确的是( )
A. 若 >, >，则2 >2
B. 若2 >2，则 >
C. “ >1”是“ >1, >1”成立的充分不必要条件
D. 若 >>1，则 log a b log a+1(b +1)
2 2 2 2 2
10. 已知圆 C1： x + y =1，圆 C2： (x 3) + (y + 4) = r （r 0），P、Q 分别是圆 C1 与圆 C2
上的点，则（ ）
A.若圆 C1 与圆 C2 无公共点，则 0r4
B.当 r5 时，两圆公共弦所在直线方程为6x 8y 1 = 0
7
C.当 r2 时，则 PQ 斜率的最大值为
24
D.当 r3 时，过 P 点作圆 C 两条切线，切点分别为 A，B，则 APB 不可能等于
2 2
3 2
11.已知函数() = 3 ，满足() = + 有三个不同的实数根1，2，3，则 ( )
A. 若 = 0，则实数的取值范围是4<< 0
B. 过轴正半轴上任意一点仅有一条与函数 = () 1 相切的直线
C. 12 + 23 + 13 =
D.若 1，2，3成等差数列，则 + = 2
12.已知正四面体 的棱长为3，下列说法正确的是( )
A. 若点满足 = + + ，且 + + = 1，则| |的最小值为 6
B. 在正四面体 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为 2
10
C. 若正四面体 的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均
相等，则此距离为3 10
10
D.点Q 在所在平面内且|| = 2||,则点轨迹的长度为2 30
3
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三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
x2
13.已知双曲线 y2 =1，则此双曲线的渐近线方程为 ．
4
14.已知等差数列{}的前项和为( )，4 = 4，7 = 10，则的最小值为 ．
15.已知函数 f (x) = sin 2 (x ) ( >0)的最小正周期为2，且()在[0, ]上单调递减，在
3
5
[2, ]上单调递增，则实数的取值范围是 ．
3
16. 在同一平面直角坐标系中，M，N 分别是函数 f (x) = x2 + 4x 3 和函数 g(x) = ln(ax) axex
图象上的动点，若对任意 a0，有|MN|m 恒成立，则实数 m 的最大值为______________．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(本小题10分)
S2 Sn n
已知数列{an}的前 n 项和 S 满足 S + + + = n 2 ．
n 1 2 n
（1）求{an}的通项公式；
an
（2）求数列 的前 n 项和 Tn．
n
18.(本小题12分)
在 9 道试题中有 4 道代数题和 5 道几何题，每次从中随机抽出 1 道题，抽出的题不再放回.
(1)求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率；
(2)若抽 4 次，抽到 X 道代数题，求随机变量 X 的分布列和期望.
19.(本小题12分)
已知函数() = ( 0), () = 2．
(1)求()的单调区间；
(2)当 >0时，()与()有公切线，求实数的取值范围．
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20．(本小题12分)
如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDEFGH 中，点 M 是正方体的中心，将四棱锥 MBCGF 绕
直线 CG 逆时针旋转 （0 ）后，得到四棱锥 M - BCGF ．
（1）若 = ，求证：平面 MBF 平面 M BF ；
2
（2）是否存在 ，使得直线 M F 平面 MBC ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
21．(本小题12分)
在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，AB 边上的高设为 h，且 a+bc+h．
（1）若 c3h，求 tanC 的值；
（2）求 cosC 的取值范围．
22.(本小题12分)
x2 y2 3
已知椭圆C : + =1(a b 0) 的两焦点分别为 F1，F2，C 的离心率为 ，椭圆上有
a2 b2 2
三点 Q、R、S，直线 QR、QS 分别过 F1，F2，QRF2 的周长为 8．
（1）求 C 的方程；
（2）设点 Q (x0 , y0 )，求QRS 面积 SQRS 的表达式（用 y0 表示）．
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