高三数学
说明：本试卷共 22 题，共4页.考试时间为 120 分钟，满分 150分.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内.
2 选择题必须用 2B 铅笔填涂非选择题必须用 0.5mm 黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清
楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草
纸、试题卷上答题无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求.
A xy 3 x , B 2,3,4,5
1. 设集合 ，则 A B （ ）
A. 2 B. 2,3 C. 3,4 D. 2,3,4
m 2i
2. 若复数 z 为纯虚数，则实数 m 的值为（ ）
1 i
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
x
3. 设函数 f x ln x a 在 x 1处的切线与直线 y 1平行，则 a （ ）
2
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
4. 2023 年 7 月 28 日、第 31 届世界大学生夏季运动会将在成都东安湖体育公园开幕．公园十二景中的第一
景东安阁，阁楼整体采用唐代风格、萃取太阳神乌形象、蜀锦与宝相花纹（芙蓉花）元素，严谨地按照唐
式高阁的建筑形制设计建造，已成为成都市文化新地标，面向世界展现千年巴蜀风韵．某数学兴趣小组在
探测东安阁高度的实践活动中，选取与阁底 A 在同一水平面的 B，C 两处作为观测点，测得 BC 36m ，
ABC=45 ， ACB 105 ，在 C 处测得阁顶 P 的仰角为 45，则他们测得东安阁的高度 AP 为（精确
到 0.1m ，参考数据： 2 1.41， 3 1.73 ）（ ）
A. 72.0m B. 51.0m C. 50.8m D. 62.3m
S S
5. 已知等差数列a 的前 n 项和为 S ．若 S 3 ， 2 4 18，则 S （ ）
n n 1 2 4 5
A. 21 B. 48 C. 75 D. 83
6. 已知点 F(0,4) 是抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的焦点，点 P(2,3) ，且点 M 为抛物线 C 上任意一点，则
| MF | | MP |的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
x 1
7. 已知定义在 R 上的函数 f x x 3 ， a f log3 2 ， b f ln 3 ， c f log3 ，则 a，b，
2
c 的大小关系为（ ）
A. a b c B. b c a
C. b a c D. c b a
8. 已知三棱锥 P ABC 的顶点都在球 O 的球面上， AB AC, BC 2 2, PB 平面 ABC ，若球 O 的体
积为 36 ，则该三棱锥的体积的最大值是（ ）
4 7 8 7 8
A. B. 5 C. D.
3 3 3
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. “ x 1”是“ x2 1”的充分不必要条件
B. 命题“ p : x (0, ) ， sin x cos x ”的否定是“ p ： x (0, ) ， sin x cos x ”
2 0 2 0 0
C. 把 y sin x 的图像向左平移 个单位长度，得到的图像的解析式为 y cos x
2
D. cos1 cos1
10. 如图是函数 y f x 的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）
A. f x 在 2,1 上是 增函数
B. f x 在 2,4 上是减函数
C. 当 x= 1时， f x 取得极小值
D. 当 x 1时， f x 取得极大值
2
2 y 2
11. 已知双曲线 C : x 1 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点与双曲线 C 的
3
一个焦点重合，点 P 是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A. p 4 B. F1PF2 的周长为 16
6
C. F1PF2 的面积为 2 6 D. cosF1PF2
7
12. 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 a ，E 是棱 DD1 上的动点（不包含端点），则下列说法正确
的是（ ）
A. 若 E 为 DD1 的中点，则直线 B1E / / 面 A1BD
B. 三棱锥 C1 B1CE 的体积为定值
C. 直线 AC 与直线 B1E 所成角为定值
2
D. 直线 B E 与平面 CDD C 所成角正切值的范围为 ,1
1 1 1
2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 若向量 a 、 b 为单位向量，且 a 2b 7，则向量 a 与 b 的夹角为________.
14. 已知正项等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 a2 2 ，且 S3 2a3 1，则 Sn __________．
f x log x a
15. 已知函数 y f x 为奇函数， f x 4 f x ，若当 x 0,2 时， 1 ，则
2
f 2023 ______．
2 2
16. 已知M： x 1 y 1 4 ，直线 l： 2x y 2 0 ，点 P 为直线 l 上的动点，过点 P 作M 的
切线 PA ，切点为 A，则切线段 PA 长的最小值为________．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
1
17 已知向量 a (cos x, ) ， b ( 3 sin x,cos 2x), x R ，设函数 f (x) a b ．
. 2
（1）求 f (x) 的最小正周期；
（2）求 f (x) 在[0, ]上的最大值和最小值．
2
18. 在三棱锥 S ABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC 平面 ABC ， SA SC 2 3 ，
M 、 N 分别为 AB、SB 的中点．
（1）证明： AC SB ；
（2）求二面角 N CM B 正弦值的大小.
3b
19. 在ABC 中，角 A，B，C 所对的 边分别为 a，b，c，已知 3 cosC sin C ．
a
（1）求 A 的大小；
（2）若 bc6，D 为 BC 的中点，且 AD 2 2 ，求ABC 的面积．
1
n *
20. 设数列an 的前 项和为 Sn ，已知 Sn 3an 1n N ．
2
（1）求an 的通项公式；
n an ,n为奇数
（2）设 bn ，求数列bn 的前 2n 的项和T2n ．
为偶数
nan ,n
2 2
x y 1
21. 已知椭圆 C : 1a b 0 的两个焦点分别为 F1 、 F2 ，离心率为 ，过 F1 的直线l 与椭圆 C
a2 b2 2
交于 M 、 N 两点，且MNF2 的周长为8 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）求MNF2 面积的最大值．
22. 已知函数 f (x) ax2 ln x (2a 1)x ，其中 a R ．
（1）讨论 f (x) 的单调性；
e
（2）设 a 0 ，若不等式 f (x) 0 对 x (0,) 恒成立，求 a 的取值范围．
2
友好学校第七十六届期末联考
高三数学
说明：本试卷共 22 题，共4页.考试时间为 120 分钟，满分 150分.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内.
2 选择题必须用 2B 铅笔填涂非选择题必须用 0.5mm 黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清
楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草
纸、试题卷上答题无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求.
A xy 3 x , B 2,3,4,5
1. 设集合 ，则 A B （ ）
A. 2 B. 2,3 C. 3,4 D. 2,3,4
【答案】B
【解析】
【分析】由描述法表示集合，求函数的定义域可得集合 A，再由集合的交集的定义可求解.
【详解】集合 A xx 3 ，故 A B 2,3 ，
故选：B.
m 2i
2. 若复数 z 为纯虚数，则实数 m 的值为（ ）
1 i
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据除法运算求出 z ，再根据纯虚数的定义可得结果.
m 2i m 2i1 i m 2 2 mi
【详解】 z ,
1 i 1 i1 i 2
m 2 0
因为 z 为纯虚数，所以 ，得 m 2 .
2 m 0
故选：D
x
3. 设函数 f x ln x a 在 x 1处的切线与直线 y 1平行，则 a （ ）
2
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由条件，根据导数的几何意义及两平行直线的斜率关系列方程求 a .
【详解】函数 f x ln x a 的定义域为 a, ，
由已知1 a ，故 a 1，
1
函数 f x ln x a 的导函数 f x ，
x a
1
所以 f 1 ，
1 a
x
因为函数 f x ln x a 在 x 1处的切线与直线 y 1平行，
2
1 1
所以 ，所以 a 1，经验证，此时满足题意.
1 a 2
故选：D.
4. 2023 年 7 月 28 日、第 31 届世界大学生夏季运动会将在成都东安湖体育公园开幕．公园十二景中的第一
景东安阁，阁楼整体采用唐代风格、萃取太阳神乌形象、蜀锦与宝相花纹（芙蓉花）元素，严谨地按照唐
式高阁的建筑形制设计建造，已成为成都市文化新地标，面向世界展现千年巴蜀风韵．某数学兴趣小组在
探测东安阁高度的实践活动中，选取与阁底 A 在同一水平面的 B，C 两处作为观测点，测得 BC 36m ，
ABC=45 ， ACB 105 ，在 C 处测得阁顶 P 的仰角为 45，则他们测得东安阁的高度 AP 为（精确
到 0.1m ，参考数据： 2 1.41， 3 1.73 ）（ ）
A. 72.0m B. 51.0m C. 50.8m D. 62.3m
【答案】C
【解析】
【分析】在 ABC 中，由正弦定理可求 AC 36 2 ，进而可得结果.
【详解】在 ABC 中，则 BAC 180 ABC ACB 30 ，
2
36
BC AC BC sin ABC
因为 ，可得 AC 2 36 2 （m），
sin BAC sin ABC sin BAC 1
2
在APC 中，则 PAC 90,ACP 45 ，
即APC 为等腰直角三角形，可得 AP AC 36 2 50.8 （m）.
故选：C.
S S
5. 已知等差数列a 的前 n 项和为 S ．若 S 3 ， 2 4 18，则 S （ ）
n n 1 2 4 5
A. 21 B. 48 C. 75 D. 83
【答案】C
【解析】
【分析】设等差数列an 的公差为d ，利用等差数列的求和公式求出d 的值，再利用等差数列的求和公式
可求得 S5 的值.
nn 1d
na
【详解】设等差数列a 的公差为d ，则 S 1 n 1 ，
n n 2 a d
n n 1 2
S S d 3
又因为 a S 3 ，则 2 4 a a d 2a 2d 6 2d 18 ，解得 d 6 ，
1 1 2 4 1 2 1 2 1
5 4
因此， S 5a d 5a 10d 53106 75 .
5 1 2 1
故选：C.
6. 已知点 F(0,4) 是抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的焦点，点 P(2,3) ，且点 M 为抛物线 C 上任意一点，则
| MF | | MP |的最小值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
p
【详解】因为点 F(0,4) 是抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的焦点，所以 4 ，解得 p 8 ，所以抛物线 C 的
2
方程为： x2 16y ．
由抛物线的定义知：点 M 到点 F(0,4) 的距离等于点 M 到准线 y 4 的距离，
结合点 P(2,3) 与抛物线 C 的位置关系可知，| MF | | MP |的最小值是点 P(2,3) 到准线 y 4 的距离，故
| MF | | MP |的最小值为 7．
故选：C.
x 1
7. 已知定义在 R 上的函数 f x x 3 ， a f log3 2 ， b f ln 3 ， c f log3 ，则 a，b，
2
c 的大小关系为（ ）
A. a b c B. b c a
C. b a c D. c b a
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、单调性以及导数等知识确定正确答案.
x
【详解】 f x x 3 的定义域是 R, f x= x 3 x = f x ，所以 f x 是奇函数.
当 x 0 时， f x=x 3x , f x=3x x 3x ln 3 0 ，
1
所以 f x 在 0, 上单调递增. c f log3 =f log3 2 ，
2
由于 ln 3 1 log3 2 log3 2 0 ，
所以 f ln 3 f log3 2 f log3 2 ，即b c a .
故选：B
8. 已知三棱锥 P ABC 的顶点都在球 O 的球面上， AB AC, BC 2 2, PB 平面 ABC ，若球 O 的体
积为 36 ，则该三棱锥的体积的最大值是（ ）
4 7 8 7 8
A. B. 5 C. D.
3 3 3
【答案】A
【解析】
【分析】将三棱锥 P ABC 放入长方体内，得到 PC 为球直径，由基本不等式求出 AB AC 4 ，从而求
出三棱锥的体积的最大值.
【详解】因为 AB AC, BC 2 2 ，易知三角形 ABC 为等腰直角三角形，
又 PB 平面 ABC ，所以 PB 为三棱锥 P ABC 的高，
则可将三棱锥 P ABC 放入长方体内，如图，
长方体的体对角线即为外接球直径，即 PC 为球直径，
3
4 PC
V 36 ，
3 2
解得 PC 6 ，
又 PC PB2 BC 2 PB2 8 6 ，
解得 PB 2 7 ，
BC 2 AB2 AC 2 2AB AC ，所以 AB AC 4
1 1 4 7
所以三棱锥的体积V AB AC 2 7 ，
3 2 3
故选：A
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球
心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解
题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的
半径
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. “ x 1”是“ x2 1”的充分不必要条件
B. 命题“ p : x (0, ) ， sin x cos x ”的否定是“ p ： x (0, ) ， sin x cos x ”
2 0 2 0 0