数学
注意事项：
1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置．
3．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答
题区域均无效．
4．选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作
答；字体工整，笔迹清楚．
5．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A 1,3 ， B x 3 2x 1 7，则 A B （ ）
A．1,4 B． 1,4 C．2,3 D． 2,3
2．下列函数既是奇函数，又在 0, 上单调递增的是（ ）
1
A． f x B． f x 2 x
x 1
1
C． f x x3 D． f x 2x
x
3．已知角 的始边与 x 轴非负半轴重合，终边过点 P1,2 ，则 cos 2 （ ）
1 1 3 3
A． B． C． D．
5 5 5 5
4
3 2
4．在 x 的展开式中， x 的系数是（ ）
x
A． 4 B．4 C． 12 D．12
5．在ABC 中，点 D 在边 AB 上，且 BD 2DA ．点 E 满足 CD 2CE ．若 AB AC 6 ，
AB AC 6 ，则 AE （ ）
A． 11 B． 2 3 C．12 D．11
1
6．已知函数 f x ax2 bx 1a 0 在点 1, f 1 处的切线与直线 l : x 2y 1 0 垂直，则 ab 的最
2
大值为（ ）
1 1
A．1 B． C． D．2
2 4
x2 y2
7．已知抛物线 C : y 4 3x 的焦点为 F ，准线为 l ，且 l 与双曲线 : 1a 0,b 0 的两条渐
a2 b2
近线分别交于 A ， B 两点，若ABF 是正三角形，则双曲线 的渐近线的斜率为（ ）
21 7 2 3 7
A． 13． C． D．
3 2 3 3
8．已知函数 f x ax2 2x ln x 存在极值点，则实数 a 的取值范围是（ ）
1 1
A． , B， ,2 C． , D． ,2
2 2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．已知复数 z 满足 z 1 i 2 ，则（ ）
A． z 2 B． z 1 i C． z2 2 2i D． z z 2
10．若 a 0 ， b 0 ， a b 8 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． ab 4 B． a b 4
1 4 9
C． a2 b2 32 D．
a b 8
11．已知数列an 的前 n 项和为 Sn ， S1 4 ， S2 8， 4Sn Sn1 4Sn1 n 2 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． S5 64 B．Sn1 2Sn 是等比数列
4, n 1
． 是递增数列 ．
C an D an n
2 , n 2
x
xe , x 0 2
12．已知函数 f x ，若函数 g x 3 f x mf x 2m2 m R 恰有 5 个零点
2
x 2x, x 0
x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 ，且 x1 x2 x3 x4 x5 ， f x3 f x4 ，则 2 f x1 f x3 f 2 x3 的可
能取值是（ ）
1 2 1 1
A． B． C． D．
e 3e 3e 2e
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．写出一个满足“图象关于点 2,0 对称”的函数 f x ______．
x2 y2 2
14．已知椭圆 E : 1a b 0 的离心率为 ，且椭圆上的点到其右焦点距离的最小值为
a2 b2 2
2 2 1 ．若抛物线 C : y2 2 px 的焦点与椭圆 E 的右焦点重合，设抛物线 C 上的动点 P 到直线 x 4 和
2x y 1 0 的距离分别为 d1 ， d2 ，则 d1 d2 的最小值为______．
15．已知函数 f x cosx 的图象关于原点对称，其中 0 ， ,0 ，且在区间 , 上
3 6
有且只有一个最大值和一个最小值，则 的取值范围为______．
16．已知棱长为 3 的正方体 ABCD A1B1C1D1 表面上动点 P 满足 PA 2 PB ，则点 P 的轨迹长度为
______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本题满分 10 分）
已知等差数列an 的前 n 项和为 S2 ， a3 2a5 29 ， S8 80 ．
（1）求an 的通项公式；
1
（2）设 bn ，求数列bn 的前 n 项和Tn ．
anan1
18．（本题满分 12 分）
在ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， A ．
3
（1）若 c 2b ，证明： sin A sin Bsin A sin B sin Bsin C ；
（2）若 a 2 ，求ABC 周长的最大值．
19．（本题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA PD 2 ，底面 ABCD 为菱形， AB 2 ， DAB 60 ，点 E 为
AB 的中点，点 F 在 PC 上，直线 EF平面 PAD ．
（1）确定点 F 的位置，并证明；
2 3
（2）若四棱锥 P ABCD 的体积为 ，求平面 PBC 与平面 PAD 所成角的余弦值．
3
20．（本题满分 12 分）
第五代移动通信技术（5th Generation Mobile Communication Technology，简称 5G）是具有高速率、低时延和
大连接特点的新一代宽带移动通信技术，5G 通讯设施是实现人机物互联的网络基础设施。2023 年 5 月 17
日，中国电信、中国移动、中国联通、中国广电宣布正式启动全球首个 5G 异网漫游试商用。此前，中国移
动、中国联通和中国电信三大运营商分别公布了其 5G 套餐价格．下面是中国移动公布的 5G 套餐价格：
月费（元人民币） 128 198 298 398 598
流量（GB） 30 60 100 150 300
语音通话（分钟） 200 500 800 1200 3000
备注 超出套餐流量 5 元/GB，满 15 元后按照 3 元/GB 计费
中国移动公司某营业厅随机统计了 100 名近 4 个月使用 5G 套餐客户实际月使用流量情况，并绘制了如图所
示的频率分布直方图．（假设每位客户每月使用流量一样，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
（1）求这 100 名 5G 套餐客户月使用流量的平均值 x ；
（2）由频率分布直方图可以认为，中国移动 5G 套餐客户月使用流量 Z 近似服从正态分布 N , 2 ，其中
近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差 s2 ，经计算得 s 65 ，若从中国移动所有 5G 套餐客户中随机
抽取 1000 人，记 X 为这 1000 人中月使用流量小于 95GB 的人数，求 X 的数学期望；
（3）针对 5G 套餐客户，中国移动根据客户订购的套餐，将客户分为以下四种：
订购套餐流量（GB） 30 60 100 150 300
对应客户名称 普卡客户 银卡客户 金卡客户 钻石卡客户
假设月使用流量在0,50 GB 的客户有一半人订购 30GB 套餐流量，另一半人订购 60GB 套餐流量，月使用
流量在50,100 GB 的客户都订购 100GB 套餐流量，月使用流量在100,150 GB 的客户都订购 150GB 套餐
流量，月使用流量在150,350 GB 的客户都订购 300GB 套餐流量．
中国移动根据以上统计的 100 名客户情况，准备今年年底针对这些客户举办返利活动，有以下两种方案：
方案一：按分层抽样在银卡客户、金卡客户、钻石卡客户中共抽取 24 人，对这些客户免收一个月套餐费（超
出套餐流量的部分也免费，客户不改变自己已经订购的套餐且每月使用流量不变）；
方案二：通过参与摸球游戏直接反现金给客户，规则如下：每次游戏客户从一个装有 1 个红球、3 个白球
（球的大小、形状一样）的不透明箱子中，有放回的摸 3 次球，每次摸一个球；若摸到红球的次数为 1，则
可得 50 元现金，若摸到红球的次数为 2，则可得 100 元现金，摸到红球的次数为 3，则可得 150 元现金，若
没有摸到红球，则不返现；每位普卡客户可参与 1 次游戏，每位银卡客户可参与 2 次游戏，每位金卡客户可
参与 3 次游戏，每位钻石卡客户可参与 4 次游戏（每次摸球的结果相互独立）．
试问，中国移动应选择哪种方案，投资更少？
附：若随机变量 Z 服从正态分布 N , 2 ，则 P Z 0.6827 ，
P 2 Z 2 0.9545 ， P 3 Z 3 0.9973．
21．（本题满分 12 分）
x2 y2
已知双曲线 E : 1a 0,b 0 的左、右焦点为 F ， F ， F 到 E 的渐近线的距离为 3 ，过 F 作
a2 b2 1 2 1 1
x 轴的垂线与 E 在 x 轴的上半部分交于点 B ，且 BF1 3．
（1）求双曲线 E 的标准方程；
（2）若圆 x2 y2 r 2 r 0 的切线 l 与曲线 E 交于 P ， Q 两点，且 OP OQ 恒成立，求 r 的值．
22．（本题满分 12 分）
1 ln x
已知函数 f x ， g x aex 1， a R ．
x
（1）求 f x 的极值；
（2）若 f x 与 g x 的图象有两个交点，求实数 a 的取值范围．
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