数学
本试卷满分 分，考试时间 分钟
注意事项：
答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，务必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
已知集合 ，，，，，，，，，则
， ，，，，，，
，， ，
已知平面向量（，），（，），且，则
已知曲线 （），则“（，）”是“曲线 的焦点在 轴上”的
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
在中，角 ，，的对边分别为 ，，，已知 ，槡 ，则
槡 槡 槡
记数列的前 项和为 ，若 是等差数列， ， ，则
{}
（）（） 的展开式中， 的系数为
在一组样本数据中，，，，出现的频率分别为 ，，，，且，则下面四种情形
中，对应样本的标准差最小的一组是
， ， ， ， ， ，
， ，
已知抛物线 ，过其焦点 的直线交 于 ，两点，为 中点，过 作准线的
垂线，垂足为 ，若 ，则
槡 槡
蚌埠市高三年级数学试卷第页（共页）
{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}
书
二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 分，部分选对的得部分分，有选错的得 分。
已知函数 （） （）在区间 ， 上单调递增，则 的值可以是
( ) ( )
科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的 如果物体的初始温度为 ，
空气温度 保持不变，则 分钟后物体的温度 （单位：）满足： （ ）
若空气温度为 ，该物体温度从 （）下降到 ，大约所需的时间为 ，
若该物体温度从 ， 下降到 ，大约所需的时间分别为 ，，则 （参考数据：
，）
已知正方体 棱长为 ，点 是底面正方形 内及边界上的动点，点
是棱 上的动点（包括点 ，），已知 ，为 中点，则下列结论正确的是
无论 ，在何位置，， 为异面直线
若 是棱 中点，则点 的轨迹长度为槡
，存在唯一的位置，使 平面
与平面 所成角的正弦最大值为
三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分。
函数 （）槡 的定义域为
已知曲线 （） 和 ，，若 与 恰有一个公共点，
则实数 ；若 与 恰有两个公共点，则实数 的取值范围是
已知的角 ，，满足 ，其中符号表示
不大于 的最大整数，若 ，则
四、解答题：本题共 个小题，共 分。解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤。
（分）
已知双曲线 （，）的左顶点是 （，），一条渐近线的方程为
（）求双曲线 的离心率；
（）设直线 与双曲线 交于点 ，，求线段 的长
蚌埠市高三年级数学试卷第页（共页）
{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}
（分）
寒假期间小明每天坚持在“跑步 米”和“跳绳 个”中选择一项进行锻炼，在不下
雪的时候，他跑步的概率为 ，跳绳的概率为 ，在下雪天，他跑步的概率为 ，跳
绳的概率为 若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为 ，若前一天下雪，则第二
天仍下雪的概率为 已知寒假第一天不下雪，跑步 米大约消耗能量 卡路里，
跳绳 个大约消耗能量 卡路里 记寒假第 天不下雪的概率为
（）求 ，，的值，并证明 是等比数列；
{ }
（）求小明寒假第 天通过运动锻炼消耗能量的期望
（分）
如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，侧面 是以 为底的等腰三
角形，，槡，在 上，
（）证明：平面 平面 ；
（）求二面角 的余弦值
第 题图
（分）
已知函数 （） ，
（）当 ， ， 时，证明：（）；
( )
（）若 ， ， ， （），求实数 的取值范围
( ) ( )
蚌埠市高三年级数学试卷第页（共页）
{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}
（分）
对于无穷数列 ，，，…，，…，我们称 （） … …
！ ！ ！
（规定 ！）为无穷数列的指数型母函数 无穷数列 ，，…，，…的指数型母函数
记为 （） … …，它具有性质 （）（）（）
！ ！ ！
（）证明：（） ；
（）
（）
（）记 （） … （） …
（）！ ！ ！ （）！
（）（）
证明：（） （其中 为虚数单位）；
（）以函数 为指数型母函数生成数列，
（） （） ！ ！
… …其中 称为伯努利数
！
证明： 且 （，，，…）
蚌埠市高三年级数学试卷第页（共页）
{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}
蚌埠市 届高三年级第三次教学质量检查考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
题号
答案
二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 分，部分选对的得部分分，有选错的得 分。
题号
答案
三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分。
（，）
或 ；（槡，槡）（答对第一空给 分，答对第二空给 分）
四、解答题：本题共 个小题，共 分。解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤。
（分）
解：（）由题意知 ，且 ，， ……………………………………………… 分
槡 槡，
所以双曲线的离心率 ……………………………………………… 分
槡
（）由（）知双曲线方程为 ，
将 即 代入 ，得 ， ………………… 分
因而 ， ，
所以 ……………………………………… 分
槡 槡
（分）
解：（）依题意， ， ，
（）（） …………………… 分
依题意 （）（）
整理得 ，又 ，
( )
蚌埠市高三年级数学参考答案第页（共页）
{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列 ………………………… 分
{ }
（）由（），寒假第 天不下雪的概率 ，…………………… 分
( )
从而小明寒假第 天跑步的概率为
（） ，…………… 分
( )
则他第 天通过运动锻炼消耗能量为
（）（ ） …………………… 分
（分）
解：（）由题意知 ，则在中，
（ ）
槡 ，
（，） ，从而 ，…………………………… 分
中， ，
则
， ……………………………………………………………………… 分
又 ，，所以 平面 ，
而 平面 ，
平面 平面 ……………………………………………………… 分
（）由（）知 平面 ，平面 ，
，
槡 ，
所以为等边三角形， ……… 分
如图，在平面 内作 ，
则 平面 ，
以 ，，分别为 轴，轴，轴建立 第 题答案图
空间直角坐标系（如图所示），则
（，，），（，槡，），（，槡，），（，，槡），……………………… 分
从而（，槡，槡），（，，）
显然平面 的一个法向量为（，，）
设平面 的法向量为 （，，），则
，
槡槡，
即
{ ， {，
蚌埠市高三年级数学参考答案第页（共页）
{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}
取 （，，），
记二面角 的平面角为 ，则
〈，〉 槡
槡
即二面角 的余弦值为 槡 ……………………………………… 分
（分）
解：（）记 （），则 （） ， ……………………………………… 分
因为 ， ，所以 （，），所以 （），
( )
所以 （）单调递增，
从而 （）（），即 ……………………………………………… 分
当 时 （）等价于 ，记 （），
则 （），（）单调递增， ……………………………………… 分
所以 （）（），即
综上，当 ， ， 时，（）………………………………… 分
( )
（） （）等价于 ，记 （） ，
则 （）（），
所以题设等价于当 ， 时，（）即
( )
当 时，（），不合题意 ……………………………………………… 分
当 时， （）
存在 ， ，，
( )
因此当 （，），，即 （）不成立，不合题意 …… 分
当 时，，
记 （）， ， ，由于 ，所以 ，故
( )
（）
（）
( ) [() ]
从而 （）在 ， 单调递减，（）（），（）恒成立，符合题意
( )
综上，实数 的取值范围是，） ……………………………………… 分
蚌埠市高三年级数学参考答案第页（共页）
{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}
（分）
解：（）令 ，则 （）
由 （）（）（），令 ，则 （）（）（）
因为 （），故 （） ……………………………………………… 分
（）
（） （）
（）证明：因为 ，
（）！ （）！ （）！ （）！ （）！
（） （）
，
（）！ （）！ （）！ （）！
（） （）
，
（）！ （）！ （）！ （）！ （）！
（） （）
，
（）！ （）！ （）！ （）！
（） （）
（）（） （），
[（）！ （）！] （）！ （）！
（）（）
所以 （） …………………………………………………… 分
（）证明：令 （） ，则有
（）
（）（）
（） （） [（） （）]
（）（） （）（）
，………… 分
（）（） （）（）
因此 （）（） （）
！ ！
[ ]
（）！ （）！
故 且 ，即 （，，，…） ………… 分
（）！
（以上答案仅供参考，其它做法请参考以上评分标准赋分）
蚌埠市高三年级数学参考答案第页（共页）
{#{QQABQYKAgggoAAAAAQgCEwGaCgIQkBCACKoGBEAAMAABCBFABAA=}#}