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高 三 数 学
考生注意：
1.本试卷共 150分,考试时间 120 分钟。分四大题，19 小题，共4页
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容
一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题 5 分，共 40 分）
1．帕普斯：（Pappus）古希腊数学家，34 世纪人，伟大的几何学家，著有《数学汇编》．此书对数学史具有重大
的意义，是对前辈学者的著作作了系统整理，并发展了前辈的某些思想，保存了很多古代珍贵的数学证明的资
料．如图 1，图 2，利用帕普斯的几何图形直观证明思想，能简明快捷地证明一个数学公式，这个公式是（ ）
A．sin(a+ b ) = sin a cos b + cos a sin b
B．sin(a- b ) = sin a cos b - cos a sin b
C． cos(a+ b )= cos a cos b - sin a sin b
D． cos(a- b ) = cos a cos b + sin a sin b
3 2
2．函数 f x = ax - bx + cx 的图象如图，且 f x 在 x= x0 与 x =1处取得极值，给出下列判断，其中正确的是
（ ）
A． c >0
B． a< 0
C． f1 + f - 1 >0
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D．函数 y= f x 在0,+区间上是减函数.
3
3．已知双曲线 C 的离心率为 ，焦点为 FF1, 2 ，点 A 在 C 上，若 FAFA1= 2 2 ，则 cosAF2 F 1 = （ ）
2
1 1 1 1
A． - B． - C． - D． -
3 4 5 6
4．将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得 BD = 2 ，则异面直线 AB 和CD 所成角的余弦值为
（ ）
1 2 3 6
A． B． C． D．
2 2 2 3
4n2 + 8 n + 5
5．设数列an 满足 a1=3, an+ 1 = 3 a n - 4 n ，若bn = ，且数列bn的前 n 项和为 Sn ，则 Sn = （ ）
an a n+1
2 4 2n 1 2
A． n1- B． + C． n1+ D． n1+
6n + 9 3 6n + 9 6n + 9 6n + 9
．若 2 7 2 7 ，则 a+ a + a + + a = （ ）
6 x+ x +1 = a0 + a 1 x + 2 + a 2 x + 2 +L + a 7 x + 2 0 1 2L 7
A．0 B． -1 C．1 D．129
7．已知函数 f x = ax2 - x - ln x 有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）
1+ e 1+ e
A．-,1 B．0,1 C．-, 2 D．0, 2
e e
y2
8．过双曲线 x2 - =1的左焦点作直线l 交双曲线于 A，B 两点，若实数 l 使得 AB = l 的直线l 恰有 3 条，则 l =
2
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得 3 分，每题 6 分，共 18 分）
9．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做
了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ）
A．第 6 行、第 7 行、第 8 行的第 7 个数之和为第 9 行的第 8 个数
1 2 3 3
B．1+ C5 + C 6 + C 7 = C 8
C．第 2020 行的第 1010 个数最大
D．第 12 行中从左到右第 2 个数与第 3 个数之比为 2:11
10．如图是数学家 Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin
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双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球O1 ，球O2 切于
点 E，F（E，F 是截口椭圆 C 的焦点）．设图中球O1 ，球O2 的半径分别为 4 和 1，球心距 OO1 2 = 34 ，则（ ）
A．椭圆 C 的中心不在直线OO1 2 上
B． EF = 4
5 34
C．直线OO1 2 与椭圆 C 所在平面所成的角的正弦值为
34
3
D．椭圆 C 的离心率为
5
11．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数 f() x 有两个不相等的实根b, c ，其中 c>b .
f() x x
在函数 图象上横坐标为 x1 的点处作曲线 y= f() x 的切线，切线与 轴交点的横坐标为 x2 ；用 x2 代替 x1 ，重复
xn - b
以上的过程得到 x3 ；一直下去，得到数列{}xn .记 an = ln ，且 a1 =1， xn >c ，下列说法正确的是（ ）
xn - c
ec- b
A． x = （其中 ln e= 1） B．数列{}a 是递减数列
1 e- 1 n
1 1 n1- n
C． a6 = D．数列 an + 的前 n 项和 S =2 - 2 + 1
32 n
an
三、填空题（每题 5 分，共 15 分）
12．方程 3sinx= 1 + cos2 x 在区间0,2p 上的所有解的和为 .
13．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法，如图，将两个完全
相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为 2，侧面积均为 5 ，记过两个
圆锥轴的截面为平面a ，平面a 与两个圆锥侧面的交线为 AC、 BD ．已知平面 b 平行于平面a ，平面 b 与两个圆
锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于 AC、 BD ，则该双曲线C 的离心率
为 ．
14．我国古代名著《庄子天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每
天截取一半，永远都截不完.已知长度为 2 3 的线段 PQ ，取 PQ 的中点 M1 ，以 PM1 为边作等边三角形（如图 1），
该等边三角形的面积为 S1 ，再取 MQ1 的中点 M 2 ，以 MM1 2 为边作等边三角形（如图 2），图 2 中所有的等边三角
n 1
=
形的面积之和为 S2 ，以此类推，则 S3 = ， k +1 .
k =1 4 SSk k +1
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四、解答题
1
15．已知函数 f( x )= sin2 w x + 3 sin w x cos w x - ( w >0) ．
2
(1)当w =1时，求函数 f() x 在 0, 上的值域；
2
(2)在 VABC 中，内角 ABC,, 的对边分别为 a,,, b c AD 为 BAC 的平分线，若 f() x 的最小正周期是
A 2 3
2,f = 0, a = 3, AD = ，求 VABC 的面积．
2 3
2
16．已知正项数列an 的前 n 项和为 Sn ，且满足8Sn= a n + 4 a n + 4 .
(1)求数列an 的通项公式；
2n-1 n为奇数
(2)若bn = 1 ，{}bn 的前 n 项和为Tn ，求T2n .
an-1 n为偶数
2
17．已知函数 f x = xln x - a + ln x + a ．
(1)若 a =1，当 x >1时，证明： f x >0 ．
(2)若 a< 2 ，证明： f x 恰有一个零点．
7 x2 y 2 x2 y 2
18．已知离心率为 的双曲线C1 ： - =1a >0, b >0 过椭圆C2 ： + =1的左，右顶点 A，B.
2 a2 b 2 4 3
(1)求双曲线C1 的方程；
(2) P x0, y 0 x 0>0, y 0 >0 是双曲线C1 上一点，直线 AP，BP 与椭圆C2 分别交于 D，E，设直线 DE 与 x 轴交于
2 1 S1
Q xQ ,0 ，且 xQ =l x0 0< l< ，记BDP 与ABD 的外接圆的面积分别为 S1 ， S2 ，求 的取值范围.
2 S2
19．同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设 a,, bZN m + 且 m >1．若 m() a- b ，则称 a 与 b 关于模
m 同余，记作 a b(mod m ) （“|”为整除符号）．
(1)解同余方程： x2 +2 x 0(mod3) ；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列an ，其中 a1< a 2< a 3 高三数学 第 4 页 若bn= a n+1 - a n n N + ，数列bn 的前 n 项和为 Sn ，求S4048 ； 若Cn=tan a2 n+ 3 tan a 2 n + 1 n N + ，求数列Cn 的前 n 项和Tn ． 高三数学 第 5 页 辽宁省实验中学 2023-2024 学年度高考适应性测试（二） 数学参考答案 1．C 【分析】利用题设中的图形即可得出结果. 【详解】如图，知 cos(a+ b ) = OD ， cosa cos b = OA ，sina sin b = EB ， 结合图形知，OD= OA - EB ，即 cos(a+ b )= cos a cos b - sin a sin b ， 故选：C. 2．C 【分析】根据导数及函数的单调性可判断 a >0 ，由导函数变形可得 c= 3ax0< 0 ，由图象知 x0< -1< 0 可判断 f1 + f - 1 的符号，根据导函数的开口及对称轴可判断导函数的单调性. 2 【详解】 f x =3 ax - 2 bx + c = 3 a x - x0 x - 1 ， 由图知 x >1时， f() x 为增函数，可知 f () x >0，所以 a >0 ，B 错误； 2 2 又由 f x =3 ax - 2 bx + c = 3 a x - x0 x - 1 = 3 ax - 3 a 1 + x 0 x + 3 ax 0 ， ， 所以 2b= 3 a 1 + x0 , c = 3 ax 0Q x 0< - 1< 0 \ c = 3 ax 0< 0 故 A 错误； Q x0< -1< 0 ，\1 + x0< 0 ，\f1 + f - 1 = - 2 b = - 3 a 1 + x0 >0 ，故 C 正确； f x =3 ax2 - 2 bx + c 开口向上，对称轴小于 0，函数 f () x 在 (0,+ ) 上是增函数， 故 D 错误. 故选：C 3．B 3 【分析】根据双曲线离心率可得 c= a ，根据双曲线定义推出 F A= 4 a, F A = 2a ，利用余弦定理即可求得答案. 2 1 2 3 【详解】由题意双曲线 C 的离心率为 ，焦点为 F 、F ，点 A 在 C 上， 2 1 2 故不妨设 FF1, 2 为左、右焦点，由 FAFA1= 2 2 可知 A 在双曲线右支上， 答案第1 页，共 14页 则|F1 A |- | F 2 A | = 2 a ，故 F1 A= 4 a, F 2 A = 2a ， 3 c 3 3 由于双曲线 C 的离心率为 ，则 = ，即 c= a ， 2 a 2 2 2 2 2 2 2 2 |F2 A |+ | F 1 F 2 | - | AF 1 | 4a+ 4 c - 16 a 在VAF2 F 1 中， cosAF2 F 1 = = 2 |F2 A | | F 1 F 2 | 2 2 a 2 c 4a2+ 9 a 2 - 16 a 2 1 = = - 3 ， 22a 2 a 4 2 故选：B 4．A 【解析】分别取 AC ， BD ， BC 中点为 E ， F ，G ，则有 FG// CD ， EG// AB ，得到 FGE 为异面直线 AB 与CD 所成的角，然后根据正方形的边长和 BD 的长度，利用中位线及直角三角形中线定理求得 EF，FG，EG 的长度求解. 【详解】如图所示： 分别取 AC ， BD ， BC 中点为 E ， F ，G ， 连接 BD ， EF ， EG ， FG ， DE ， EB ， 则 FG// CD ， EG// AB ， 所以 FGE 为异面直线 AB 与CD 所成的角， 2 2 因为正方形边长为 2 ，则 FG = ， EG = ， 2 2 在等腰直角三角形 ABC 中， 因为 AB= BC = 2 ， 所以 AC = 2 . 因为 点 E 为 AC 的中点， 1 所以 BE= AC = 1， 2 同理可得， DE =1. 因为 BE2+ DE 2 =2 = BD 2 ， 所以VBED 是等腰直角三角形. 又因为 点 F 为 BD 的中点， 1 2 所以 EF= BD = . 2 2 答案第2 页，共 14页 2 在 EFG 中， FG= EG = EF = ， V 2 所以VEFG 是等边三角形， 所以 FGE = 60o ， 1 所以 cosFGE = cos60o = . 2 故选： A . 【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法，还考查了转化化归的思想和空间想象，运算求解的能力，属于中档 题. 5．D 【分析】先根据 an 的递推关系求出 an 的通项公式，代入bn 的表达式中，求出bn 的通项，即可求解bn 的前 n 项和 Sn a=3 a - 4 n 【详解】由 n+1 n 可得 an+1 -2 n + 1 + 1 = 3 a n - (2 n + 1), a1 = 3, a1 -(2 1 + 1) = 0 , 则可得数列an -(2 n + 1) 为常数列 0 ，即 an -(2 n + 1) = 0 , an =2 n + 1 485(21)(23)2n2 + n + n + n + + 2 1 1 b = = =1 + = 1 + - , n (2n+ 1)(2 n + 3) (2 n + 1)(2 n + 3) (2 n + 1)(2 n + 3) 2 n + 1 2 n + 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 S=+-+-++ n( - ) =+- n =+ n (1 ) . n 3557L 2123n+ n + 323 n + 69 n + 故选: D 6．C 【分析】赋值 x=- 1，即可求得系数和. 2 【详解】令 x=- 1，得-1 = 1 =a0 + a 1 + a 2 + ... + a 7 . 故选：C 7．B ln x+ x ln x+ x 【解析】函数 f( x )= ax2 - x - ln x x >0 有两个零点，即方程 a = 有两个根，设 g x = ，求出 g x ， x2 x2 研究出函数 g x 的单调性，由 g x 的图象与 y= a 有两个交点，得出 a 参数的范围，即得结果. 【详解】函数 f( x )= ax2 - x - ln x x >0 有两个零点， ln x+ x ln x+ x 由题意得方程 a = 有两个根，设 g x = ，则 y= a 与 y= g() x 有两个不同的交点，又 x2 x2 1 (+ 1)x2 - (ln x + x） (2 x ) 1-- 2ln x x ， g x =x = x4 x 3 2 设 h x =1 - 2ln x - x ，则 h x = - -1< 0 x 答案第3 页，共 14页 所以 h x =1 - 2ln x - x 在0,+ 上单调递减，又 h(1)= 0 当 x(0,1), h x >0, g x >0 ，所以 g x 在( 0, 1) 上单调递增， 当 x(1, + ), h x< 0, g x< 0 ，所以 g x 在 (1,+ ) 上单调递减， 1 -1 1 g( )=e = e - e2< 0 又 g(1)= 1， 2 ，当 x (1, + ) 时， lnx+ x >0 ，则 g x >0 ，即 g x 在 (1,+ ) 上单调递减，但 e 1 e 恒正. 作出函数 y= g() x 的大致图象如下： 要使 y= g() x 的图象与 y= a 有两个交点， 所以实数 a 的取值范围是0,1 . 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数 形结合的方法求解. 8．C 【分析】根据双曲线对称性可知：满足题意的直线，其中一条与实轴垂直，另两条关于 x 轴对称，即可得到答案. 2b2 【详解】左支内最短的焦点弦 = = 4 ，又 2a = 2 ， a 所以与左、右两支相交的焦点弦长 2a = 2 ， 因为实数 l 使得 AB = l 的直线l 恰有 3 条， 根据双曲线对称性可知：其中一条与实轴垂直，另两条关于 x 轴对称. 答案第4 页，共 14页 如图所示： 所以当 l = 4 时，有 3 条直线满足题意. 故选：C 9．ABD 【分析】根据杨辉三角读出数据即可判断 A，利用组合数公式判断 B，分析各行数据的特征，即可判断 C，求出第12 行中从左到右第 2 个数与第3 个数，即可判断 D. 【详解】对于 A：第 6行，第 7 行，第8 行的第 7 个数字分别为：1， 7 ， 28 ，其和为1+ 7 + 28 = 36 ； 而第9 行第8 个数字就是36 ，故 A 正确； 6 5 7 6 5 8 7 6 对于 B：因为1+CC1 + 2+ C 3 =1 + 5 + + = 56， C3 = = 56 ， 5 6 7 21 3 2 1 8 3 2 1 1 2 3 3 所以1+ C5 + C 6 + C 7 = C 8 ，故 B 正确； 对于 C：由图可知：第 n 行有 n +1个数字， n 如果 n 是偶数，则第 +1（最中间的）个数字最大； 2 n +1 n +1 如果 n 是奇数，则第 和第 +1个数字最大，并且这两个数字一样大， 2 2 所以第 2020 行的第1011个数最大，故 C 错误； 1 2 对于 D：依题意：第12行从左到右第 2 个数为 C12 = 12 ，第12行从左到右第3 个数为 C12 = 66 ， 所以第12行中从左到右第 2 个数与第3 个数之比为12 : 66= 2 :11，故 D 正确； 故答案为：ABD. 10．ACD 【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答. 【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体， 得圆锥的轴截面及球O1 ，球O2 的截面大圆，如图， 答案第5 页，共 14页