2024年普通高等学校招生全国统一考试
数学测试卷共4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形
码的“准考证号、 姓名、 考试科目”与考生本人准考证号、 姓名是否一致。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 回答非选择题时，用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上
书写作答。 若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知集合 3 2 则
1. U x N | 0 x 5, A x | x 3x 2x 0 , U A
A {0,3，4,5} B. 3, 4, 5 C. A D.U
4 3i
2.若复数 z , 则 z z
3 4i
A. 0 B. 1 C.-i D. i
3. 设 m a b, n a b ,若向量 a, b 满足 a b, a b , 且 1 , 则
A. m n B. m n C. m n D. m n 0
4. 若函数 f x l（n x2 2ax 3a) 在[1， ) 单调递增，则实数 a 的取值范围是
A (,1 B. 1, 1 C. 1, D. 1,
x2 x2 7 3
5.若椭圆 X: y2 1a >0) 与双曲线H： y2 1的离心率之和为 , 则 a
a2 3 6
A. 2 B. 3 C. 2 D.1
2 2
6. 设圆 C : x 2 y 1 36 和不过第三象限的直线 l：4x 3y a 0 ,若圆 C 上恰有三点到直线 l 的
距离均为3，则实数 a
A. 2 B. 4 C.26 D.41
*
7.设 n N 且 a 2 ，命题甲：{an} 为等比数列；命题乙： an an1an1 ；则命题甲是命题乙的
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一
日
激
富
日
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9 2
8. 若 , 0， 且cos ,sinsin 则 sin2 2
2 13 13
120 119 119 120
A. B. C. D.
169 169 169 169
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共 18分。 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。 全部
选对得6 分， 部分选对得部分分，有选错得0 分。
9. 若成等差数列(公差不为零) 的一组样本数据 x1, x2 ,, x10 的平均数为 x , 标准差为 , 中位数为 a ；数据
x2 , x3 ,, x9 的平均数为 x ,标准差为 ' , 中位数为 a ' , 则
A. x x B. x a C. a a D. '
10. 放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注， 已知放射性物质数量随时间 t 的衰变公式 N t
1
N0 e ， N0 表示物质的初始数量, 是一个具有时间量纲的数. 研究放射 物质 的量纲单位 的值
性物质常用到半衰期，半衰期T 指的是放射性物质数量从初始数量到衰变
成一半所需的时间.已知 ln2 0.7 ，右表给出了铀的三种同位素 的取值： 铀 234 万年 35.58
若铀 234、铀 235 和铀 238 的平衰期分别为T1, T2 , T3 , 则
铀 235 亿年 10.2
A. T ln0.5 B. T与 成正比例关系 铀 238 亿年 64.75
C. T T2 D. T3 10000T1
11.在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中 ， 已知 DAB A1B A1 AD 60, AC1 1, 若 AB x ,
AD y, AA1 z ,则
1 2 3
A. x2 y2 z2 的最小值为 B. y z 的最大值为
2 3
6 6
C. x y z 的最大值为 D. xyz 的最大值为
2 6
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共 15 分。
12.已知正四棱锥 P ABCD 的底面边长为2，过棱 PA上点A1 作平行于底面的截面， A1B1C1D1, 若截面边长为 1.
AA1 2, 则截得的四棱锥 P A1B1C1D1 的体积为 .
13. 若1 2 . 则关于 x 的方程 sinx x 的解的个数是 .
x2 y2
14 . 已知点 F , F 是双曲线 C : 1a >0,b 0) 的左、 右焦点. 点 P 在 C 的右支上，连接. PF , 作
1 2 a2 b2 1
uuuur2 uuur
F A PF 且与 y 轴交于点 A , 若 PF PA, 则 C 的渐近线方程为 .
1 1 2 5
四、解答题：本题共5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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15. (13分)
sinB a b ccos B
在 ABC 中, 角 A, B,C 对应的边长为 a, b, c, 且 .
sinA b c b cos A
(1) 求角 A ;
a 2, bsinB 2sinC 63sinA 2sinC,求b, c.
(2)若
16.(15分)
如 图 , 在四棱锥 P ABCD 中 , 底面 ABCD 是边长为3的正方形 , 点 E, F, G, H 分别在侧棱
PA, PB, PC, PD上,且PE 2AE, PF 2FB, GC 2PG, HD 2PH
(1) 证明: E, F, G, H 四点共面;
(2) 如果 PA PC 5, PD 4, M为GC 的中点 , 求二面角
E HF M 的正弦值.
17.(15 分)
已知函数 f x a x a lnx a R.
(1) 讨论函数 f x 的单调性；
(2) 证明: 当 a0时，f x 3lna 2.
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18. (17分)
设动点 P 每次沿数轴的正方向移动，且第 i 次移动1 个单位的概率为 pi ，移动2 个单位的概率为 1 pi .
已知 an 表示动点 P 在数轴上第 n 次移动后表示的数，在第一次移动前动点 P 在数轴的原点处.
1 1
(1) 若 p ,p , 求 a 3 的概率；
12 2 3 2
(2)若每次移动2 个单位的概率都是移动1 个单位的概率的2倍.
求 的概率；
() an n k k 0,1,2,L n
()求动点 P 能移动到自然数 n 处的概率. Pn n N *.
19. (17分)
在平面直角坐标系 xOy 中，动点 E 到点(4，0) 的距离是点 E 到直线 x 1的距离的2 倍，记动点 E 的轨
迹为 C .
(1) 求 C 的方程;
(2) 若直线 y 6 分别与 x 1, x 1, 第一象限的 C 交于点 M，N，P， 过 P 作斜率为 t，2 t 的直线 l1 l2 且
分别与 交于点 若 的面积分别为 证明：
C A, B, MAB, NAB S1, S2 , S2 3S1.
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