高三数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：高考范围．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知 A x x2 ax 1 0，若 2 A ，且 3 A，则 a 的取值范围是（ ）
5 10 5 10 5 10
A． , B． , C． , D． ,
2 3 2 3 2 3
2．已知复数 z 1 2i ，且 z az b 2i ，其中 a ， b 为实数，则 a bi （ ）
A． 7 B． 11 C． 13 D．4
3．在倡导“节能环保”“低碳生活”的今天，新能源逐渐被人们所接受，进而青睐．新能源汽车作为新
能源产业中的重要支柱产业之一取得了长足的发展．为预测某省未来新能源汽车的保有量，采用阻滞型模
M
型 y ，进行估计，其中 y 为第 t 年底新能源汽车的保有量， r 为年增长率， M 为饱和
M rt
1 1e
y0
量， y0 为初始值（单位：万辆）．若该省 2021 年底新能源汽车的保有量为 20 万辆，以此作为初始值，若
以后每年的增长率为 0.12，饱和量为 1300 万辆，那么 2031 年底该省新能源汽车的保有量约为（采取四舍
五入法，精确到 1 万辆）（参考数据： ln0.887 0.12 ， ln0.30 1.2 ）
A．62 万 B．63 万 C．64 万 D．65 万
4．有 2 男 2 女共 4 名大学毕业生被分配到 A ， B ， C 三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至
少去 1 人，且 A 工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ）
A．12 B．14 C．22 D．24
5．已知某棱长为 2 2 的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
4
A． 4 B． 2 C． D．
3
6．已知函数 f x lg x 1 2x 2x ，则满足不等式 f x 1 f 2x 的 x 的取值范围为（ ）
1
A． 2,1 B． 1,2 C． , 1, D． ,2 1,
3
7．如图，四边形 ABCD 为正方形， ED 平面 ABCD ， FB ED ， AB ED 3FB 3，则三棱锥
F ACE 的体积为（ ）
3 66 3 59
A．12 B．6 C． D．
4 4
8． 已 知 直 线 y kx mkm 0 与 x 轴 和 y 轴 分 别 交 于 A ， B 两 点 ， 且 AB 2 2 ， 动 点 C 满 足
CA CB ，则当 k ， m 变化时，点 C 到点 D1,1 的距离的最大值为（ ）
A． 4 2 B． 3 2 C． 2 2 D． 2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．若 a 0 b c ，则（ ）
a a
A． B． b2a c2a
c b
a b b
C． D． a c 2 a bb c
a c c
x2 y2
10．设 F ， F 分别为椭圆 1的左、右焦点， P x , y x 4 为椭圆上第一象限内任意一点，
1 2 25 9 0 0 0
k ， k 分别表示直线 PF ， PF 的斜率，则（ ）
PF1 PF2 1 2
A．存在点 P ，使得 PF1 7 B．存在点 P ，使得 F1PF2 90
C．存在点 P ，使得 k 7k D．存在点 P ，使得 PF PF 7
PF2 PF1 1 2
11．已知函数 f x sin2k x cos2k xk 2,k N* ，则（ ）
5
A． f x 的最小正周期为 B． f x 的图象关于直线 x 对称
2
k 1
1
C． f x 在 , 上单调递增 D． f x 的值域为 ,1
4 2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．已知向量 a ， b 满足 a 2 ， b 2,1 ， a b 1 ，则 a 在 b 上的投影向量的坐标为______．
2
13．在ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ， BAC ， AD 平分 BAC 交 BC 于
3
D ， AD 1．则ABC 面积 S 的最小值为______；若 a 2 5 ，则ABC 的面积为______．
x2 y2
14．已知 F ， F 分别为双曲线 1a 0,b 0 的左、右焦点， P 为双曲线右支上任意一点，若
1 2 a2 b2
PF 2
1 的最小值为 2c ， c a2 b2 ，则该双曲线的离心率是______．
PF2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
记 Sn 为公比不为 1 的等比数列an 的前 n 项和， a5 a4 8a2 8a1 ， S6 21．
（1）求 an ；
2
（2）设 bn log2an ，由an 与bn 的公共项从小到大组成数列cn ，求cn 的前 n 项和Tn ．
16．（本小题满分 15 分）
如图，在三棱锥 P ABC 中，PAB 与ABC 都为等边三角形，平面 PAB 平面 ABC ， M ， O 分
别为 PA ， AB 的中点，且 PO BM G ， N 在棱 BC 上，且满足 BN 2NC ，连接 GN ．
（1）求证： GN 平面 PAC ；
（2）设 AB 2 ，求直线 PN 与平面 BGN 所成角的正弦值．
17．（本小题满分 15 分）
为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各抽取
100 件进行性能质量评估检测，综合得分 k 的频率分布直方图如图所示：
1 1
减排器等级及利润率如下表，其中 a ．
7 6
综合得分 k 的范围 减排器等级 减排器利润率
k 85 一级品 2a
75 k 85 二级品 3a2
70 k 75 三级品 a2
（1）若从这 100 件甲型号减排器中按等级用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取 10 件，再从这 10 件
产品中随机抽取 5 件，求抽取的 5 件中至少有 3 件一级品的概率；
（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：
若从乙型号减排器中随机抽取 4 件，记 X 为其中二级品的个数，求 X 的分布列及数学期望；
从数学期望来看，投资哪种型号的减排器利润率较大？
18．（本小题满分 17 分）
2
已知抛物线 C : x 4y ， P x0 , y0 是 x 轴下方一点， A ， B 为 C 上不同两点，且 PA ， PB 的中点均在
C 上．
（1）若 AB 的中点为 Q ，证明： PQ x 轴；
（2）若 P 在曲线 y 4 x2 上运动，求PAB 面积的最大值．
19．（本小题满分 17 分）
记函数 y f x x D 在 D 上的导函数为 y f x ，若 f x 0 （其中 f x f x ）恒成
立，则称 y f x 在 D 上具有性质 M ．
（1）判断函数 y loga x （ a 0 且 a 1）在区间 0, 上是否具有性质 M ？并说明理由；
b
（2）设 a ， b 均为实常数，若奇函数 g x 2x3 ax2 在 x 1处取得极值，是否存在实数 c ，使得
x
y g x 在区间c, 上具有性质 M ？若存在，求出 c 的取值范围；若不存在，请说明理由；
1 ln x 1 k
（3）设 k Z 且 k 0 ，对于任意的 x 0, ，不等式 成立，求 k 的最大值．
x x 1