理科数学
注意事项:
1.答 题前,考 生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、考场/座 位号用0.5毫米黑色签
“ ”
字笔填写清楚,考 生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的条码贴码区。
2.选 择题使用2B铅 笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上,如 需改动,用 橡皮擦
擦干净后再填涂其它答案;非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答,
超出答题区域答题的答案无效;在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题:本 题共12小 题,每 小题5分 ,共 60分 .在 每小题给出的四个选项中,只 有一项
是符合题目要求的.
1。 已知全集I/=(-2,-1,0,1,2),' B=(-1,1),/ B=(-2,-1,192),则
A. -1 /,-1 B B. 2 B
',2
C. -2 彳,-2 B D. 0 /,0 B
2.已 知复数z满足z-2 =2-3i,则 z=
A。 -2-i B. 2-i C。 -2+i D. 2+i
3.甲 、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次 ,命 中环数的频率分布条形图如下。
设甲、乙命中环数的众数分别为z甲 ’z乙 ’方差分别为韩,吃 ,则
率 甲 zz乙
0.4
0.3
0.2
0.1
0 4 5 67891o环 数
(s乞 z甲 ’ )s乞
A z甲 =z乙 ’唣 B =z乙 唣
C z甲 >z艺 ’s铮 >s乞 D z甲 “ “ ” 4.设 夕,3,c R,则 32=曰 c” 是D为 曰,c的 等比中项的 A。 充要条件 B.充 分不必要条件 C。 必要不充分条件 D.既 不充分也不必要条件 5.一个几何体的三视图如图所示,则 该几何体的体积为 A.寸 侧视图 B C D 8冗 3 47E 8 俯视图 (共 理科数学试题 第1页 4页 ) {#{QQABQYCUogAgAoBAARhCAwlSCgGQkACCAAoORAAAoAAAyAFABAA=}#} 6.如 图,D是 /BC边/C的 中点,E在 BD上 ,且 窟=加瑭,则 一 2一 一 1一 一 A / E 彳 B 十 / C 3 6 1一 肥 B。 /E=亍/B+ 31一 C D C./E=苷/B+ 6 1一 一 3 + / c D。 /E /B 8 4 7.设 0(<要 ,o<`(平 ,且 cos2`=4sin2 ,sin2`-2sin2 =0,则 ,'之 间的关系为 z z A. -'=毋 B +'=号 C.叩 一=号 十叩=号 D 2),且 8.某 柠檬园的柠檬单果的质量昭(单位:g)服 从正态分布(65, P(昭 (50)=0.1, 若从该柠檬园中随机选取200个柠檬,则 质量在50g~80g的柠檬个数的期望为 A. 120 B。 140 C. 160 D。 180 rl ^ l i. `^ I|5-Z川 十l,J )V, 9已 知函数r( )=t呷 函数 ]一 沩 )有 个不同的零点 i。 J 0若 `[/ 则夕的取值范围是 A.(0,1] B.(1,4] C。 (1,4) D。 (1,十 ) 0 2 10.已 知双曲线C:i》 一 =1(四 )093)0)的 焦点分别为尾(-190),马 (1,0),过 尾的直 十 线与C的左支交于以,B两 点。若|以 日|=2|珥Bl,|/B|=|刀引,则 C的 离心率为 A。 理 理 D :。 5 c.垂 j D罂 j (冗 11.已 知函数/(艿 )=sin( 艿+田 )( >0,0(田 )的 最小正周期为冗,且 图象 `=/(x)的 关于点(詈 ,0)中 心对称,给 出下列三个结论: r(o)=《函数/ 在(0诗 )上单调递减; 左 。 将 的图象向 平移亻旨个单位可得到/(男 )的 图象 `=cos2 其中所有正确结论的序号是 A。 B. C. D. 2=2刀 (p)0)的 F,点 yO)(`0)罟 C上 一 。已 12.设抛物线C: 焦点为 臼冗 )是 点 知圆 与石轴相切,与 线段山F相 交于点以,i历 =屁F,圆 被直线 截得的弦长为 `=罟 、/I「 彻叫,则 C的准线方程为 D .。 ~ V0 `t A。 D ^ C. `=-1 D 2 /~~~万 ` `=^2 理科数学试题第2页 (共 4页 ) {#{QQABQYCUogAgAoBAARhCAwlSCgGQkACCAAoORAAAoAAAyAFABAA=}#} 二、填空题:本题共4小 题,每 小题5分 ,共 20分 . ry+3v~7 o, 13.若 另,y满 足约束条件(3 +2y-7 0,则 z=另 +4y的 最大值为~.' k -y-7 0, 14.(另 一 +1)5的展开式中,含 卢的项的系数为 专)2( ~. 15,已 知/BC的 三内角彳,B,C满 足16shCoos(/-B)+8si12C=3 ,则 躬C的 面 积与彳BC外接圆的面积之比为~. 16.己 知PC是 三棱锥P-/BC外接球的直径,且 BC, =6,三 棱锥P-/BC体积 的最大值为8,则 其外接球的表面积为 三、解答题:共 70分 .解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21题 为必考 题,每个试题考生都必须作答.第 22、 23题 为选考题,考 生根据要求作答. (一 )必考题共60分 . 17.(12分 ) 某公司为了解旗下某产品的客户反馈情况,随 机抽选了250名 客户体验该产品并进 “ ”“ ” 行评价,评价结果为喜欢和不喜欢,整理得到如下列联表: 不喜欢 喜欢 合计 田 丿氵 50 100 150 女 50 50 100 合计 100 150 250 (1)是 否有99%的 把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系? (2)公 司为进一步了解客户对产品的反馈,现 从参与评价的女性客户中,按 评价结果 “ ” 用分层抽样的方法随机抽取了4人 ,收 集对该产品改进建议。己知评价结果为喜欢的 “ ” 客户的建议被采用的概率为 ,评价结果为不喜欢的客户的建议被采用的概率为 。 手 告 “ ” ” 若建议被采用,则 赠送价值200元 的纪念品,“ 建议未被采用,则 赠送价值100元 的纪 念品。记这4人 获得的纪念品的总金额为,求 的分布列及数学期望。 (四J-3c)2 附 刀 P(K2 七 0.10 0.05 0.010 0.001 PI A^面'2~ ’ ) lri可iTI「 l歹:币 瓦丽丌万 佬 2.706 3.841 6.635 10.828 18.(12分 ) 1 已知数列(四l满 足四1=古 ,%- +1^曰+1=0 (1)求 (四 )的 通项公式; 1 (2)若 1 ( 数列(时 满足,31=1,32 -D2刀 ~1=32时 1 32刀 =亩 ,求 证 h + + + V2 34 t2刀 3一 4 (共 理科数学试题 第3页 4页 ) {#{QQABQYCUogAgAoBAARhCAwlSCgGQkACCAAoORAAAoAAAyAFABAA=}#} 19.(12分 ) 如图,在 三棱台/BC一 孔B1C1中 ,/C1与 /1C相 交于点D,BB1 平面/BC,'B=6, BC=4,BB1=2,孔 C1=/I3,III=加 舀,且 DE 平面BCC1B1. (1)求 .些鱼 毕 的值; 卫 0/Bc I (2)求直线CC1与 平面 成角的正弦值。 '1B1C所 ^ 20.(12分 ) 工 己知椭圆E:乓 十姿=10)3)0)的 焦距为4、/歹 ,直线和 与E在 第象限的 曰 , `=鲁 交点P的 横坐标为3。 (1)求 E的 方程; (2)设直线九:`=h+昭 与椭圆E相 交于两点, ,试探究直线P 与直线P 能否 关于直线 称。若能对称,求此时直线扬的斜率;若 不能对称,请说明理由。 `1对 21.(12分 ) 3-1 已知函数 为 r(男)=ex一 号 (1)若 r(J)有 3个极值点,求 四的取值范围; 2+艿 (2)若 万0,/0) 销 ,求 四的取值范围。 (二 )选考题:共 10分 .请考生在第22、 23题 中任选一题作答。如果多做,则 按所做的第 一题计分. 22.[选修4-4:坐 标系与参数方程](10分 ) 在直角坐标系豸‘”中,图 形C1的 方程为h— 坐标原点0为 极点,艿 轴的 `=o.以 正半轴为极轴建立极坐标系,图 形C2的 极坐标方程为p2cosV+4`2sin2J-4=0. (1)求 C2的 直角坐标方程; (2)已知点P的 直角坐标为(1, 了),图 形C1与 C2交 于/,B两 点,直 线以B上 异于点P 的点g满足 =栏 点g的 直角坐标。 {多升 谔},求 23.[选修4-5:不 等式选讲l(10分 ) 已 知 /(艿 )=|2万 一 2|十 |州 一2元 2+8艿 (1)设 函数g(艿)=-2为 十昭,若 函数r(J)与 g(另)的 图象无公共点,求 聊的取值范 围; (2)令 2十 r(另 )的 最小值为 r.若 曰,D R,证 明:夕 32一 曰3一 夕一D)r. (共 理科数学试题 第4页 4页 ) {#{QQABQYCUogAgAoBAARhCAwlSCgGQkACCAAoORAAAoAAAyAFABAA=}#} 四川省大数据精准教学联盟 2021 级高三第二次统一监测 理科数学参考答案与详细解析 1．【答案】D 【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计集合运算与元素属性问题，主要考查集合 的交集、并集、补集运算，集合元素与集合的从属关系等基础知识；考查数学抽象、逻辑推理等 数学核心素养。 【解析】由 U = -2,-1,0,1,2 ，A B = -1,1 ，A B = -2,-1,1,2 知，-1A，-1B；2 不同时在集合 A，B 中，-2 必在集合 A，B 之一中，集合 A，B 中都不含 0，选项 D 正确． 2．【答案】A 【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计复数运算问题，主要考查复数的概念，复数 的加减运算，两个复数相等的条件等基础知识；考查方程思想，应用意识；考查数学抽象、数学 运算等数学核心素养。 【解析】令复数 z=a+bi，aR，bR，则 z-2z = a + bi - 2a-bi =-a + 3bi = 2 - 3i，根据 -a=2， a=-2， 两个复数相等的条件有 解得 所以 z=-2-i． 3b=-3， b=-1， 3．【答案】B 【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查统计图的识别、统计量的意义等基础知识， 考查直观想象、数学建模等数学核心素养。 【解析】根据图表可知，甲、乙命中环数的众数均为 7 环，故 Z甲 = Z乙；甲运动员命中的环数比 2 2 较分散，乙运动员命中的环数比较集中，故 s甲 >s乙． 4．【答案】C 【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计简易逻辑问题，主要考查等比中项的概念、 命题的判断等基础知识；考查数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。 【解析】当 b2=ac 时 ，若 a = b = 0 ，b 不是 a ，c 的等比中项 ；当 b为a，c的等比中项 时 ， b2=ac．所以“b2=ac”是“b为a，c的等比中项”的必要不充分条件． 5．【答案】B 【命题意图】本题考查三视图、立体图形的体积求法等基本知识；考查运算、依据三视图画出 立体图形的能力． 【解析】根据三视图可以观察出该几何体为一个平放的半圆锥体，其中圆锥的高为 4，底面 1 1 8 半径为 2，根据圆锥的体积公式可以计算出该立体图形的体积为 V = 4 4 = ． 2 3 3 6．【答案】A 【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计平面向量的几何 运算问题，主要考查三角形法则，平面向量加减的几何意义等基础知识；考查数形结合等数学 思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。 1 1 1 1 1 1 【解析】由题意有 BE = BD = BA+BC = -AB+ AC- AB =- AB + AC， 3 3 2 6 3 6 1 1 2 1 所以 AE = AB + BE = AB - AB + AC = AB + AC． 3 6 3 6 7．【答案】D 【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计三角恒等变换问题，主要考查二倍角的余弦，二 倍角的正弦，两角和的余弦，特殊角的三角函数等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能 力，化归与转化等数学思想；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。 【解析】由 cos2=4sin2，cos22 = 16sin4；由 sin2 - 2sin2 = 0，sin22=16sin2cos2．两 2 2 2 2 2 1 2 式相加，得 1 = cos 2 + sin 2 = 16sin sin +cos ，所以 sin = ，从而 cos2 = 4sin = 4 1 1 2 ，即 sin( - 2) = ．由 0<< 有 0<2<，又 cos2=4sin >0，所以 0< 2< ， 4 2 4 2 2 因为 0<< ，所以，= - 2． 2 2 理科数学 第1页（共8页） 8．【答案】C 【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查正态分布、二项分布、数学期望等基础知 识，考查概率与统计思想，考查数学运算、数学建模等数学核心素养。 【解析】柠檬单果的质量 m(单位：g) 服从正态分布 N(65, 2)，且 P(m< 50) = 0. 1，所以 P(50 < m< 80) = 2 (0. 5 - 0. 1) = 0. 8，则从该柠檬园中随机选取 200 个柠檬，则质量在 50g~80g 的柠檬个数 X ~B(200, 0. 8)，所以柠檬个数的数学期望 E(X ) = 200 0. 8 = 160． 9．【答案】C 【命题意图】本小题设置探索创新情境，主要考查导数的应用，函数的性质、函数的零点等基 础知识，考查化归与转化、函数与方程、数形结合等数学思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学运 算等数学核心素养。 【解析】 y 4 1 -2 O 3 x 2 (x+2)2 -x(x+2) 当 x 0 时，f (x) = ，此时 f (x) = ，则 x<-2 时，f (x)< 0，f (x) 单调递 ex ex 减；-2< x< 0 时，f (x) >0，f (x) 单调递增，则 x =-2 是 f (x) 的极小值点，作出右图所示的函 数 f (x) 的图象，函数 y = [ f (x)]2 - a f (x) 有 5 个不同的零点，则方程 [ f (x)]2 - a f (x) = 0 即 f (x) [ f (x)- a] = 0 有 5 个不相等实数根，也即是 f (x) = 0 和 f (x)- a = 0 共有 5 个不相等实数根，其 中 f (x) = 0 有唯一实数根 x =-2；只需 f (x)- a = 0 有 4 个且均不为 - 2 的不相等实数根，由图 可知 1< a< 4． 10．【答案】B 【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查双曲线的定义、标准方程以及几何性质； 考查双曲线方程的求法以及直线与双曲线位置关系的应用，考查学生的计算能力；考查数形结 合、化归与转化等数学思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。 【解析】 y B F1 O F2 x A 如图，由于 AF1 = 2 F1B ， AB = BF2 ，且 BF2 - BF1 = 2a， AF2 - AF1 = 2a，设 BF1 = m，则 AF1 = 2m，故 BF2 = 3m，可得 m = a， BF1 = a， AF1 = 2a，故 BF2 = 3a， AF2 = 4a ，在 BF1 F2 与 BAF2 中分别对 B 使用余弦定理可得到一个关于 a 的等式 2 2 2 2 2 a +9a -4 9a +9a -16a 2 3 21 = ，解得 a = ，故 a = ，又根据题意可知 c = 1，故离心率 e = 2a3a 23a3a 7 7 c 21 = ． a 3 11．【答案】D 【命题意图】本小题设置探索创新情境，设计三角函数图象问题，主要考查正弦型函数的周 期，相位，对称中心，单调性，图象平移，特殊角的三角函数值等基础知识；考查运算求解能力， 推理论证能力，考查数形结合等数学思想；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养以及应用 意识。 理科数学 第2页（共8页） 【 解 析 】因为 函 数 f x 的 周 期 为 ，所以 =2 ，又图 象 对 称 中 心 为 ,0 ，即 6 sin 2 + = 0，则 + = k，k Z，有 =k- ，k Z，由 0<< ，所以 k=1， = 6 3 3 2 2 2 3 2 ，故 f x = sin 2x+ ，此时 f 0 = sin = ，结论正确；当 0 3 3 3 2 3 3 2 4 2x +< ，函数 f x 单调递减，结论正确；将 y=cos2x 的图象向左平移 个单位可得 3 3 12 2 图象对应的函数为 y=cos 2x+ ，因为 sin 2x+ = sin 2x+ + = cos 2x+ ，所 6 3 6 2 6 以结论正确． 12．【答案】B 【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查圆与抛物线的综合应用，考查抛物线的定 义及其简单几何性质、圆的方程、圆的弦长公式、勾股定理在抛物线中的应用等基本知识；考查 数形结合、化归与转化等数学思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。 【解析】 y A M F E D O x 由已知，点 M 6,y0 在抛物线上，则 6 = 2py0 即 py0 = 3． p p 如图所示，过 M 作直线 y = 的垂线，D 为垂足，设圆 M 与直线 y = 相交于点 E．易知， 2 2 p 2 2 p |DM | = y - ，由 MA = 2AF，可知 MA = 2 AF = MF = y + ．因为圆 M 被直线 0 2 3 3 0 2 p 3 3 p y = 截得的弦长为 3 MA ，所以 |DE| = |MA| = y + ．由 MA = ME = r，在 2 2 3 0 2 1 p 2 p 2 4 p 2 RtMDE 中， y + + y - = y + y = p． 3 0 2 0 2 9 0 2 0 p 3 由解得：p = 3 ，抛物线 C 的准线方程为：y =- =- ，故答案为 B． 2 2 13．【答案】9 【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计线性规划问题，主要考查约束条件表示的可行 域，目标函数在约束条件下的最值等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，方程思想； 考查数学运算、直观想象等数学核心素养以及应用意识。 【解析】约束条件表示的是以三点 A1，2 ，B3，-1 ，C4，1 为顶点的三角形及其内部， 1 z 1 目标函数可化为 y=- x + ，平移直线 y =- x 可知，当直线经过点 A 1，2 时，在 y 轴上 4 4 4 的截距最大，此时 z=1+42=9． 14．【答案】-118 【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查二项式定理的应用等基础知识，考查化归 与转化等数学思想，考查数学运算等数学核心素养。 1 2 5 2 1 5 3 【解析】依题意，(x - ) (2x + 1) = (x + - 2)(1 + 2x) ，则其展开式中，含 x 的项为 x x2 2 1 1 5 5 3 3 3 3 x C (2x) + C (2x) - 2C (2x) =-118x ，所以含 x 的项的系数为 -118． 5 x2 5 5 3 15．【答案】 16 【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计解三角形问题，主要考查两角和差的余弦公 式，二倍角的正弦，诱导公式，正弦定理，三角形面积与三角形外接圆面积等基础知识；考查运 算求解能力，化归与转换思想；查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。 理科数学 第3页（共8页） 【 解 析】依题 意 ，16sinC cos A-B + 8 sin 2 C = 16 sinCcos A-B + 16 sinCcosC = 16sinC cosA-B -cosA+B) = 32sinCsinAsinB ，即 32sinCsinAsinB=3 ， ABC 的面积 与 ABC 外接圆的面积之比为 1 absinC 2 absinC 2sinAsinBsinC 3 3 2 = = = = ． R 2 1 a b 16 16 4 sinA sinB 16．【答案】52 【命题意图】本小题设置课程学习请进，主要考查与球体相关几何体的运算，考查线面垂 直、线线垂直及其相互转化、三棱锥外接球球心的确定、三棱锥的体积公式、基本不等式等基本 知识；考查数形结合等数学思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素 养。 【解析】因为 PC 是三棱锥 P - ABC 外接球的直径，所以 PA AC ，PB BC．又 PA BC，AC BC = C，所以 PA 平面 ABC，所以 BC PA．又 PB BC，PA PB = P，所以 BC 1 面 PAB，故 BC AB．因此，三棱锥 P - ABC 的体积为 V = PA S = AB BC．又 AB 3 ABC BC2+AB2 AC2 AC2 BC = （当且仅当 AB = BC 时等号成立），所以体积的最大值为 = 8， 2 2 2 故 AC = 4．因为 AC PA，所以 PC2 = AC2 + PA2 = 52，所以三棱锥 P - ABC 的外接球的表面 积 S = 4r2 = 52． 17．（12 分） 【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查统计案例、卡方分布、离散型随机变量分布列 等基础知识；考查统计与概率思想；考查数学运算、数学建模等数学核心素养。 【解析】 250(5050-50100)2 （1）依题意，K2 = 6. 94 >6. 635，3 分 100150150100 所以，有 99% 的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系． 4 分 （2）由题意知，选取的 4 人中，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”的分别有 2 人． 所以 的所有可能取值为 400，500，600，700，800． 5 分 1 2 1 2 1 则 P( = 400) = = ，6 分 3 2 36 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 6 1 P( = 500) = C + C = = ；7 分 2 3 3 2 3 2 2 36 6 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 13 P( = 600) = C C + + = ， 8 分 2 3 3 2 2 3 2 3 2 36 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 12 1 P( = 700) = C + C = = ，9 分 2 3 3 2 3 2 2 36 3 2 2 1 2 4 1 P( = 800) = = = ． 10 分 3 2 36 9 则 的分布列为 400 500 600 700 800 1 6 1 13 12 1 4 1 P (或填 ) (或填 ) (或填 ) 36 36 6 36 36 3 36 9 11 分 所以，数学期望为 1 6 13 12 4 1900 E() = 400 + 500 + 600 + 700 + 800 = ． 36 36 36 36 36 3 12 分 18．（12 分） 【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计递推数列问题，主要考查递推数列与等差数 列的通项公式，裂项相消求和，不等式证明等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化 归与转换思想；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。 理科数学 第4页（共8页） 【解析】 （1）由 an - an+1 - anan+1 = 0 知，若 an+1 = 0，则 an = 0，若 an = 0，则 an+1 = 0． * 又 a1 0, 所以 n N ,an 0． 2 分 1 1 由 an - an+1 - anan+1 = 0，可得 - - 1 = 0． an+1 an 1 故 { } 是首项为 2，公差为 1 的等差数列， an 1 所以 = 2 + (n - 1) = n + 1． 4 分 an 1 故 a = ． 5 分 n n+1 1 （2）由 b2n - b2n-1 = 得 b2n - b2n-1 = n + 1， an 1 由 b2n+1 - b2n = = n + 1 得 b2n-1 - b2n-2 = nn2 ． an + 可得 b2n - b2n-2 = 2n + 1n2 ． 7 分 1 当 n=1 时，b2 - b1 = = 2，则 b2=3． a1 所以 b2n - b2 = (b4 - b2) + (b6 - b4) + (b8 - b6) ++ (b2n - b2n-2) = (2 2 + 1) + (2 3 + 1) + (2+n)(n-1) (2 4 + 1) ++ (2n + 1) = 2 (2 + 3 + 4 ++n) + (n - 1) = 2 + (n - 1) = 2 (n + 3)(n - 1)， 所以 b2n = b2 + (n + 3)(n - 1) = n(n + 2)n2 ， 当 n=1 时，b2=3 也满足上式． 所以 b2n = n(n + 2)． 10 分 1 1 1 1 1 * 由上可知， = = - ，n N ． b2n n(n+2) 2 n n+2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 + ++ = - + - + - ++ - b2 b4 b2n 2 1 3 2 4 3 5 n n+2 1 1 1 1 3 = 1+ - -< ， 2 2 n+1 n+2 4 1 1 1 3 即 + ++< ． 12 分 b2 b4 b2n 4 19．（12 分） 【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查立体几何中线面平行的性质定理、线面垂直 的判定定理、面面垂直的判定定理以及空间直角坐标系的运用计算线面角的三角函数值；考查 空间想象、化归转化等思想方法；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素 养。 【解析】 （1） 连接 C1B， 因为 DE 平面 BCC1B1，DE 平面 ABC1，平面 ABC1 平面 BCC1B1 = C1B， 所以 DE C1B ． 2 分 因为 AE = 2EB， 所以 AD = 2DC1， 1 所以 A C = AC．………… 4 分 1 1 2 1 1 因此 A B = AB，B C = BC， 1 1 2 1 1 2 SA1B1C1 1 所以 = ．………… 6 分 SABC 4 理科数学 第5页（共8页） 1 （2）由 (1) 可知，A C = AC， 1 1 2 所以 AC = 2 13． 依题意，AC2 = AB2 + BC2， 所以 AB BC，BB 平面 ABC． 7 分 1 因此，可以 B 为坐标原点，分别以 BA，BC，BB1 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所 示空间直角坐标系 B - xyz． 则 A 6,0,0 ，C 0,4,0 ，B 0,0,2 ，A 3,0,2 ，C 0,2,2 ． 1 1 1 所以 B1A1 = 3,0,0 ，B1C = 0,4,-2 ，CC1 = 0,-2,2 ．8 分 设平面 A B C 的法向量为 n = x,y,z ， 1 1 nB A =3x=0， 由 1 1 nB1C=4y-2z=0， 取 y = 1，则 x = 0，z = 2，所以 n = 0,1,2 ． 10 分 设 与平面 所成角为 ， CC1 A1B1C nCC1 2 10 则 sin = = = ． 10 n CC1 5 2 2 10 即直线 CC 与平面 A B C 所成角的正弦值为 ． 12 分 1 1 1 10 20．（12 分） 【命题意图】本小题设置探索创新情境，主要本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位 置关系等基础知识，考查学生的计算能力，韦达定理的灵活运用能力，考查学生数形结合、函数 与方程、化归转化等思想方法；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养。 【解析】 （1）由已知，2c = 4 2 ， 所以 c = 2 2． 1 分 b 而 P(3, ) 在 E 上， 2 b2 9 4 所以 + = 1． a2 b2 于是，a2 = 12． 2 分 则 b2 = a2 - c2 = 4， x2 y2 故椭圆 E 的方程为 + = 1． 4 分 12 4 x2 y2 （2）可知 P(3,1)，将 y = kx + m 代入 + = 1，得 12 4 2 2 2 1+3k x + 6kmx + 3m - 12 = 0． 5 分 2 2 2 2 由 = 36k m - 41+3k 3m -12 >0， 有 m2 - 12k2 - 4< 0． 设 M x1,y1 ，N x2,y2 ，易知 x1x2． 6km 3m2-12 则 x +x =- ，x x = ． 7 分 1 2 1+3k2 1 2 1+3k2 因为直线 PM 与直线 PN 关于直线 l1 对称， 则直线 PM 与 PN 存在斜率，且斜率互为相反数． 9 分 y1-1 y2-1 所以 kPM + kPN = + = 0， x1-3 x2-3 即 (y1 - 1)(x2 - 3) + (y2 - 1)(x1 - 3) = 0， 即 x1 y2 + x2 y1 -(x1 + x2)- 3(y1 + y2) + 6 = 0， 所以 2kx1 x2 + (m - 1 - 3k) (x1 + x2) + 6 - 6m = 0， 理科数学 第6页（共8页）