数学
本试题共 19 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
z 1 i i
1. 若复数 z 满足 ，则 z 的虚部为（ ）
i i 1 1
A. B. C. D.
2 2 2 2
n
2
2. 已知二项式 x 展开式的二项式系数的和为 64，则 （ ）
x
A. n 5 B. n 8
n n
2 2
C. x 展开式的常数项为 20 D. x 的展开式中各项系数的和为 1
x x
3. 已知 x R ，向量 a x,2,b 2,1 ，且 a b ，则 a b 在 a 上的投影向量为（ ）
1,2 2,1
A. 5 B. 5 C. D.
4. 已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 9, S9 81，则 S12 （ ）
A. 288 B. 144 C. 96 D. 25
5. 已知函数 f x x x ，则关于 x 的不等式 f 2x f 1 x 的解集为（ ）
1 1 1 1
A. , B. , C. ,1 D. 1,
3 3 3 3
6. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一
种喜庆的氛围.如图 1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球
面的一部分（除去两个球缺）.如图 2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺
的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为V 3R hh2 ，其中 R 是
3
球的半径， h 是球缺的高.已知该灯笼的高为 40cm，圆柱的高为 4 cm，圆柱的底面圆直径为 24 cm，则该
灯笼的体积为（取 3 ）（ ）
A. 32000 cm3 B. 33664 cm3 C. 33792 cm3 D. 35456 cm3
7. 已知抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点为 F ，过 F 作直线交抛物线 C 于 A, B 两点，过 A, B 分别作准
线l 的垂线，垂足分别为 M , N ，若AFM 和ABFN 的面积分别为 8 和 4，则MFN 的面积为（ ）
A. 32 B. 16 C. 8 2 D. 8
1 1 1 1
8. 设 a 2e 2024 1,b e1012 1,c sin tan ，则（ ）
2024 2024
A. b a c B. c b a C. a b c D. b c a
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同
B. 线性回归直线 $y $bx $a 一定过样本点中心 x, y
C. 线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强
D. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
10. 下列说法正确的是（ ）
b a
A. 若 ac2 bc2 ，则 a b B. 的最小值为 2
a b
b b m 2 1
C. a b,m 0, D. sin x 1 的最小值为 2
a a m sin2 x 1
11. 已知无穷数列an 中， a1,a2 ,,am 是以 10 为首项，以 2 为公差的等差数列， am1,am2 ,,a2m 是
1 1
以 为首项，以 为公式的等比数列 m 3,m N* ，对一切正整数 n ，都有 a = a .设数列 a 的
2 2 n+2m n n
前 n 项和为 Sn ，则（ ）
1
A. 当 m 3 时， a B. 当 a 2 时， m 8
12 8 23
C. 当 a2024 4 时， m 10 D. 不存在 m ，使得 S2024m3 31396 成立
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数 f 2x 1 的定义域为1,1 ，则函数 f 1 x 的定义域为____________.
13. 函数 f x 2sin 2x 1 的部分图象如图所示，则 ____________.
1
14. 已知动点 P x, y 的轨迹方程为 x2 4y2 x2 4y2 m 0 ，其中 m , ，则
4
5
x2 8y 16 的最小值为______________.
4
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 AABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 2a ccos B bcosC 0 .
（1）求 B ；
1
（2）已知 b 3 ，求 a 2c 的最大值.
2
16. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAC 平面 ABCD ， AD//BC ， AB AD CD 2 ，
BC 4 .
（1）证明： AB PC ；
（2）若 PA PC AC ，求平面 BPC 与平面 PCD 的夹角的余弦值.
17. 已知函数 f (x) ax2 (a 2)x ln x .
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)若 f x 有两个零点，求 a 的取值范围.
2
18. 已知点 P 是圆 E : x 1 y2 16 上的动点， F 1,0 ， M 是线段 EP 上一点，且 PM MF ，设
点 M 的轨迹为 C .
（1）求轨迹 C 的方程；
3
（2）设不过原点的直线l 与 C 交于 A, B 两点，且直线 OA,OB 的斜率的乘积为 .平面上一点 D 满足
4
OA AD ，连接 BD 交 C 于点 N （点 N 在线段 BD 上且不与端点重合）.试问NAB 的面积是否为定
值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由.
19. 利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将 0.31 化为分数是这样计算的：设 0.31 x ，则
31
31.31 100x ，即 31 x 100x ，解得 0.31 .
99
这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有
很好的妙用.
2 1
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，每局比赛的结果互不
3 3
影响.规定：净胜 m 局指的是一方比另一方多胜 m 局.
（1）如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好 4 局结束比赛的概率；
（2）如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜 i i 3,2,1,0,1,2,3 局.设甲
在净胜 i 局时，继续比赛甲获胜的概率为 Pi ，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为 X i
，期望为 E X i .
求甲获胜的概率 P0 ；
求 E X 0 .
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数学
本试题共 19 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
z 1 i i
1. 若复数 z 满足 ，则 z 的虚部为（ ）
i i 1 1
A. B. C. D.
2 2 2 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案.
i i1 i 1 i 1 1
【详解】 z i ，
1 i 1 i1 i 2 2 2
1 1 1
则 z i ，则其虚部为 ，
2 2 2
故选：D.
n
2
2. 已知二项式 x 展开式的二项式系数的和为 64，则 （ ）
x
A. n 5 B. n 8
n n
2 2
C. x 展开式的常数项为 20 D. x 的展开式中各项系数的和为 1
x x
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项式系数和可得 n，化简通项公式，由 x 的指数为 0 求出 k，然后可得常数项，再令 x 1
即可判断 D.
【详解】由题可知， 2n 64 ，则 n 6 .则 AB 错误；
6 k
2 2
展开式中的第 项为 k 6k k k k 62k .
x k 1 Tk 1 C6 x (1) 2 C6 x
x x
3 3 3 66
令 6 2k 0 ，得 k 3，则T4 1 2 C6 x 160 ，故 C 错误；
6 6
2 2
令 x 1得 1 1，则 x 的展开式中各项系数的和为 1，
1 x
故选：D.
3. 已知 x R ，向量 a x,2,b 2,1 ，且 a b ，则 a b 在 a 上的投影向量为（ ）
A. 5 B. 5 C. 1,2 D. 2,1
【答案】C
【解析】
【分析】借助向量垂直可得 x 1，结合投影向量定义计算即可得解.
【详解】由 a b ，则有 a b 2x 2 0 ，即 x 1，
a b a a 3 2 a
则 a b 3,1 ，故 a 1,2 .
a a 12 22 12 22
故选：C.
4. 已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 9, S9 81，则 S12 （ ）
A. 288 B. 144 C. 96 D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的前 n 项和列方程组求出 a1,d ，进而即可求解 S12 .
3 2
S3 3a1 d 9
2 a1 d 3 a1 1
【详解】由题意 ，即 ，解得 .
98 a 4d 9 d 2
S 9a d 81 1
9 1 2
1211
于是 S 121 2 144 .
12 2
故选：B.
5. 已知函数 f x x x ，则关于 x 的不等式 f 2x f 1 x 的解集为（ ）
1 1 1 1
A. , B. , C. ,1 D. 1,
3 3 3 3
【答案】A
【解析】
【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.
x2 , x 0
【详解】由 f x x x ，故 在 上单调递增，
2 f x R
x , x 0
1
由 f 2x f 1 x ，有 2x 1 x ，即 x .
3
故选：A.
6. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一
种喜庆的氛围.如图 1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球
面的一部分（除去两个球缺）.如图 2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺
的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为V 3R hh2 ，其中 R 是
3
球的半径， h 是球缺的高.已知该灯笼的高为 40cm，圆柱的高为 4 cm，圆柱的底面圆直径为 24 cm，则该
灯笼的体积为（取 3 ）（ ）
A. 32000 cm3 B. 33664 cm3 C. 33792 cm3 D. 35456 cm3
【答案】B
【解析】
【分析】由勾股定理求出 R ，则可得 h ，分别求出两个圆柱的体积、灯笼中间完整的球的体积与球缺的体
积即可得..
32
【详解】该灯笼去掉圆柱部分的高为 40 8 32 cm，则 R h 16 cm，
2
2
由圆柱的底面圆直径为 24 cm，则有 R h 122 R2 ，
即162 122 R2 ，可得 R 20 ，则 h 4 ，
4
V 2V +V 2V 2 4122 203 2 60 4 42
圆柱 球 球缺 3 3
3456 32000 1792 33664 .
故选：B.
7. 已知抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点为 F ，过 F 作直线交抛物线 C 于 A, B 两点，过 A, B 分别作准
线l 的垂线，垂足分别为 M , N ，若AFM 和ABFN 的面积分别为 8 和 4，则MFN 的面积为（ ）
A. 32 B. 16 C. 8 2 D. 8
【答案】C
【解析】
p
【分析】设直线 AB : x my 代入抛物线方程，利用韦达定理，计算 S , S ，相乘化简可得
2 AFM AFN
2 128
m 1 ，由三角形面积公式可得 S p2 m2 1 8 2 .
p4 M FN
p
【详解】设直线 AB : x my ，
2
代入抛物线方程，消元可得 y2 2 pmy p2 0 ，
2 2
y1 y2 2
设 A , y1 , B , y2 ，则 y1 y2 p , y1 y2 2 pm ，
2 p 2 p
2
1 1 y1 p
SA AFM AM y1 y1 8 ，
2 2 2 p 2
2
1 1 y2 p
SA BFN BN y2 y2 4 ，
2 2 2 p 2
2 2
1 y1 y2 p 1 2 2
SA AFM SA BFN 2 y1 y2 y1 y2
4 4 p 4 4
4 2
1 p p 1 2 2 2 2
2 4 p m 2 p p
4 4 p 4 4
p4
m2 1 ，
4
4
p 2 128
于是 2 ，即 m 1 ，
SA AFM SA BFN m 1 8 4 32 4
4 p
p p 2 128
S y y y y 4y y p2 m2 1 p2 8 2
A MFN 2 1 2 2 1 2 1 2 p4 .
故选：C.
1 1 1 1
8. 设 a 2e 2024 1,b e1012 1,c sin tan ，则（ ）
2024 2024
A. b a c B. c b a C. a b c D. b c a
【答案】A
【解析】
【分析】本题利用作差法构造出两个式子相减类型的函数，然后求导求得其在 (0,) 上的单调性，从而
求得该函数是大于 0 还是小于 0，从而可判断 a、b 的大小关系；用同样的方法进一步构造函数并求导来比
较 a、c 的大小关系，最终确定 a、b、c 的大小关系.
【详解】令 h x e2x 1 2ex 1 ，易求 h0 0 ，
2x x
当 x0时， h x 2e 2e 0 ，所以 h x 在 (0,) 单调递增，
1
1 1 2024
所以 h xh0 0 ，所以 h 0 ，即 h e1012 1 2e 10 ，所以ba .
2024 2024
x
令 f x 2e 1 sin x tan x, x 0, ，
6
1
则 f (x) 2ex cos x , x (0, ) ，
cos2 x 6
x 2sin x
令 g x f x, x 0, ，则 g(x) 2e sin x ，
6 cos3 x
1 3
因为 x (0, ) ，则， 2ex2,0sin x , cos x1,
6 2 2
1
2
2sin x 8
2 2 1 1
可得 cos3 x 3 ，则 g(x)2 2 0 ，
3 3 3 2 2
2
所以 g(x) 在 (0, ) 内单调递增，则 g(x)g(0) 0 ，
6
即 f (x)0 在 (0, ) 内恒成立，则 f (x) 在 (0, ) 内单调递增，
6 6
1 1 1 1
可得 f ( )f (0) 0 ，即 2e 2024 1sin tan ，所以 ac ，
2024 2024 2024
综上所述： b a c
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是合理构造函数，利用导数研究其单调性，然后再代入比较相关大小关
系.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同
B. 线性回归直线 $y $bx $a 一定过样本点中心 x, y
C. 线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强
D. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
【答案】ABD
【解析】
【分析】借助方差的性质、样本点中心的性质、线性相关系数的性质与残差的性质逐项判断即可得.
【详解】对 A：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后，
新数据的方差与原数据方差相同，故 A 正确；
对 B：由$a y $bx ，故线性回归直线 $y $bx $a 一定过样本点中心 x, y ，故 B 正确；
对 C：线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强，故 C 错误；
对 D：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，
其模型的拟合效果越好，故 D 正确.
故选：ABD.
10. 下列说法正确的是（ ）
b a
A. 若 ac2 bc2 ，则 a b B. 的最小值为 2
a b
b b m 2 1
C. a b,m 0, D. sin x 1 的最小值为 2
a a m sin2 x 1
【答案】AD
【解析】