满分：150 时间 120min 命题：高三备课组
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1+ 2i
1.已知复数 z = - 3i ，则 z = （ ）
1- i2025
1 3 1 3 1 3 1 3
A. - i B. + i C. -- i D. - + i
2 2 2 2 2 2 2 2
若数列 满足 ， * ，则其前 项和为（ ）
2. an a1 = 2 an+ a n+1 + a n + 2 =2 n N 2023
A.1360 B.1358 C.1350 D.1348
3.已知底面边长为2 的正四棱柱 ABCD- A1 B 1 C 1 D 1 的体积为8 3 ，则直线 AC 与 AB1 所成角的余弦为
（ ）
3 2 3 2
A. B. C. D.
2 2 4 4
4.已知直线 l ： x- y -2 = 0 与圆 O ： x2+ y 2 =1 ，过直线 l 上的任意一点 P 作圆 O 的切线 PA ， PB ，切
点分别为 A ， B ，则 APB 的最大值为（ ）
3 2
A. B. C. D.
4 3 2 6
5.邵阳市二中高一、高二、高三年级的优秀团员各两名站成一排拍照，恰有一个年级的团员相邻的站法有
（ ）
A.144种 B.240种 C.288种 D.336种
某学习小组对一组数据 进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程
6. xi, y i i = 1,2,3,L ,7
y=5 x + 4 ，样本点的中心为 2,m .乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据 2,3 误输成
3,2 ，将这两个数据修正后得到回归直线方程 y= kx + 7 ，则实数 k = （ ）
50 25 11 5
A. B. C. D.
13 33 23 2
7.若过点 a, b 可以作曲线 y=ln x + 1的两条切线，则（ ）
A. b< ln a B. b>ln a + 1 C. a< 0 D. b >ea
x2 y 2
8.已知 F ， F 分别是双曲线 ： - =1a >0, b >0 的左、右焦点， O 为坐标原点，过 F 的直线分
1 2 a2 b 2 1
uuur uuuur
别交双曲线左、右两支于 A ， B 两点，点 C 在 x 轴上， CB= 4 F2 A ， BF2 平分 F1 BC ， AB 与其中一
条渐近线交于点 P ，则 cos POF1 = （ ）
2 22 2 2 2 6 33
A. B. C. D.
11 3 3 11
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
p 5 3
9.已知a, b 0, ， cosa+ b = ， sin a- b = ，则（ ）
2 13 5
12 4 63 tana 33
A. sin a+ b = B. cosa- b = - C. sin2a = D. =
13 5 65 tanb 7
10.如图，已知抛物线 C ： y2 =2 px p >0 的焦点为 F ，抛物线 C 的准线与 x 轴交于点 D ，过点 F 的直
线 l （直线 l 的倾斜角为锐角）与抛物线 C 相交于 A ， B 两点（ A 在 x 轴的上方， B 在 x 轴的下方），过点
A 作抛物线 C 的准线的垂线，垂足为 M ，直线 l 与抛物线 C 的准线相交于点 N ，则（ ）
A.当直线 l 的斜率为1 时， AB= 4 p
B.若 NF= FM ，则直线 l 的斜率为2
C.存在直线 l 使得 AOB = 90
uuur uuur
D.若 AF= 3 FB ，则直线 l 的倾斜角为 60
1
11.已知非零函数 f x 及其导函数 g x 的定义域均为 R ，函数 y= f x - 2 和 y= g x + 均为奇函
2
1
数，且 f = 3 ，则（ ）
2
203
A.函数 g x 为偶函数B. f = 3
2
105 k 102 k
C. g = 0 D. f = 203
k =1 2 k =1 2
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共 15分。
x - 3
12. ， ，则 ________.
A= x Nlog2 x - 3 2 B= x 0 ABI =
x - 7
a2
已知数列 与 n 均为等差数列 * ，且 ，则
13. an n N a2 =1 a2024 = ________.
n
14.十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知
一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，意大利数学家托里拆利给出了
解答，当ABC 的三个内角均小于120 时，使得 AOB= BOC = COA =120 的点 O 即为费马
点；当ABC 有一个内角大于或等于120 时，最大内角的顶点为费马点.已知 a ， b ， c 分别是ABC
A b+ c
三个内角 A ， B ， C 的对边，且 cos2 = ，若点 P 为ABC 的费马点， PB+ PA = t PC ，则
2 2c
实数 t 的取值范围为________.
四、解答题：本题共5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分 13 分）
古楼雪峰茶，产于洞口县古楼，1991 年被评为湖南省名茶.其中雪峰茶在制茶过程中，在采摘后还需要经
过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某雪峰茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道
2 3
工序合格的概率分别为 p ， , ，每道工序的加工都相互独立，且茶叶加工中三道工序至多有两道工序
3 4
7
合格的概率为 .三道工序加工都合格的雪峰茶为特级雪峰茶，恰有两道工序加工合格的雪峰茶为一级雪
10
峰茶，恰有一道工序加工合格的雪峰茶为二级雪峰茶，其余的为不合格雪峰茶.
（1）在雪峰茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率；
（2）每盒雪峰茶原材料及制作成本为 20 元，其中特级雪峰茶、一级雪峰茶、二级雪峰茶的出厂价分别为
100 元，70 元，50 元，而不合格雪峰茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒雪峰茶的利润为 X 元，
求随机变量 X 的分布列及数学期望.
16.（本小题满分 15 分）
如图，在四棱锥 P- ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，且 PA= PB ， DA= DB = 2 ，
uuur uuur
AB=2 PD = 2 . E ， F 分别为 AB ， PB 的中点. PG= l GE .
（1）若 l =1.求证：平面 PAB ^ 平面 CGF ；
1
（2）若 l = ， PE = 2 .求直线 PA 与平面 GBC 所成角的正弦值.
2
17.（本小题满分 15 分）
2lnx+ x + a
已知函数 f x = a R
x
（1）若 a = 2 ，求 f x 的单调区间.
（2）若对 x 0, + ， f x xex 恒成立，求实数 a 的取值范围
18.（本小题满分 17 分）
3
在平面 xOy 中， A-2,0 ， B2,0 . P 为平面内一动点，且直线 PA 与 PB 的斜率乘积为 - ，动点 P 在
4
平面 xOy 的轨迹为曲线T .
（1）求曲线T 的方程
（2）若 Q 为直线 x = 4 上任意一点，直线 QA ， QB 分别交曲线T 为 M 、 N .在直线 MN 上存在一点
H ，且 AH^ MN .问：在平面 xOy 内是否存在一点 E ，使得 EH 为定值？若存在，求出定值.若不存
在，请说明理由.
19.（本小题满分 17 分）
高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数 z= a + bi 对应复平面内的点 Z ，设 XOZ = q ，
OZ= r ，则任何一个复数 z= a + bi 都可以表示成： z= r cosq + isin q 的形式，这种形式叫做复数三
角形式，其中 r 是复数 z 的模，q 称为复数 z 的辐角，若 0q< 2 p ，则q 称为复数 z 的辐角主值，记为
。复数有以下三角形式的运算法则：若 ，则：
arg z zi= r icosq i + isin q i ,i = 1,2,L n
，特别地，如果
z1= z 2LLLL zn r 1 r 2 r ncosq 1 ++++ q 2 q n isin q 1 +++ q 2 q n
n
，那么 n ，这个结论叫做棣
z1= z 2 =L zn = r cosq + isin q rcosq+ isin q = r cos n q + isin n q
莫弗定理。请运用上述知识和结论解答下面的问题：
（1）求复数 z =1 + cosq + isin q ，q ,2 的模 z 和辐角主值 arg z （用q 表示）；
n
（2）设 n 2024 ， n N ，若存在q R 满足 sinq+ icos q = sinn q + icos n q ，那么这样的 n 有多
少个？
（3）求和： S =cos 20 + 2cos 40 + 3cos60 +L + 2034cos 2034 20