高三数学
第卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
A x 0 x 2, B x x2 x 0
1. 已知集合 ，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A. x x 1或 >2} B. x x 0 或1 x 2
C. x 1 x 2 D. x 1 x 2
4cosx
f x
2. 函数 1 的部分图象大致为（ ）
x x2
2
A. B.
C. D.
x2 y2
3. 椭圆 1a b 0 的两焦点为 F1 ， F2 ，以 F1F2 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形
a2 b2
的另两条边，则椭圆的离心率为（ ）
1 3
A. B. C. 4 2 3 D. 3 1
2 2
4. 已知 f x Asinx A 0, 0, 的一段图象如图所示，则（ ）
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3
A. f x sin 2x
4
B. f x 的图象的一个对称中心为 ,0
8
5
C. f x 的单调递增区间是 k , k ,k Z
8 8
5
D. 函数 f x 的图象向左平移 个单位后得到的是一个奇函数的图象
8
5. 用一个边长为 4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积
的最大值为（ ）
2 3
A. B. 2 3 C. 4 D. 4 3
3
1 1
6. 若 a2025sin ,b cos ,c tan 2025 ，则 a,b,c 的大小关系为（ ）
2025 2025
A. a b c B. a c b C. c b a D. c a b
7. 元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼， 每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笺， 直
至某一串灯笼被摘完为止， 则右侧灯笼先被摘完的概率为（ ）
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1 3 7 11
A. B. C. D.
2 5 16 16
8. 如图，从 1 开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右
下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从 1 移动到 11：12357891011 就是一条
移动路线．从 1 移动到数字 nn 2,3,11 的不同路线条数记为 rn ，从 1 移动到 11 的事件中，跳过数字
nn 2,3,10 的概率记为 pn ，则下列结论正确的是（ ）
24
r 34 ， r r ， p ， p p ．
9 n1 n 5 89 9 10
A. B. C. D.
二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9 已知函数 f x 2024sin 2x ，则（ ）
. 6
A. f x 的图象关于直线 x 对称
6
5
B. f x 的图象关于点 ,0 对称
12
C. f x 在区间 , 上单调递减
6 6
D. f x 在区间 , 的值域为2024,2024
3 2
10. 已知点 M 0,mm 0, F 为抛物线 C : y2 4x 的焦点， N,Q 为 C 上不重合的两个动点， O 为坐标
原点，若直线 MN （直线 MN 斜率存在且不为 0）与 C 仅有唯一交点 N ，则（ ）
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A. C 的准线方程为 x 1
B. 若线段 MF 与 C 的交点恰好为 MF 中点，则 m 2 2
C. 直线 MN 与直线 MF 垂直
D. 若 QF 3 ，则 OQ 2 2
11. 如图所示的曲线 被称为双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表示为坐标中（ O
1 2
为坐标原点）动点 P 到点 F 1,0, F 1,0 的距离满足： PF PF F F ，则（ ）
1 2 1 2 4 1 2
A. ||的最大值是 2
B. 若 x0 , y0 是曲线上一点，且在第一象限，则 y0 2x0
C. 与 y tanx 有 1 个交点
1
D. OPF 面积的最大值是
1 4
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 设抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，过点 F 作直线交抛物线于 A ， B 两点，若 AF 3 ，
BF 2 ，则 p ___________．
13. 若曲线 y x ln x 在点 1,1 处的切线与曲线 y ax2 (a 2)x 1(a 0) 相切，则 a ________．
2
14. 某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命中目标的概率为 ，乙命中目
3
1
标的概率为 ．若每轮射击中，命中目标的选手得 1 分，未命中目标的选手得 0 分，且各轮射击结果相互
2
独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于 3 的概率为__________．
四、解答题： 本题共 5 小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
bcosC
15. 在VABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，已知 a 2 3 ，且 bsin C 2 ．
tan B
（1）求角 A 的大小；
（2）求VABC 面积的最大值．
16. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a12，an12Sn2.
（1）求数列{an}的通项公式；
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（2）若 2bn3nan，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
4S
17. 在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c, ABC 的面积为S ，已知 a2cosB abcosA .
tanB
（1）求角 B ；
S
（2）若 b 3,ABC 的周长为 l ，求 的最大值.
l
18. 正四棱柱 OABC O1 A1B1C1 中 OB 2 ，点 P,Q, R 分别在 AA1, BB1,CC1 上，且 O, P,Q, R 四点共
面.
（1）若 OP OR ，记平面 OPQR 与底面的交线为 l ，证明： AC l ；
（2）已知 AOP , COR ，若 ，求四边形 OPQR 面积的最大值.
4
19. 在高中数学教材苏教版选择性必修 2 上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个
细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝
的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为 p ，则从一
1
个细胞开始，它有 的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是 p ，两个细胞最
2
1 1
终都走向灭绝的概率就是 p2 ，于是我们得到： p p2 ，计算可得 p 1；我们也可以设一个种群由
2 2
1
一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为 p ，那么从一个细胞开始，它有 的概率分裂成两个细胞，在这两
2
个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是 p ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是 (1 p)2 ，于是我们得
1
到： p 1 (1 p)2 ，计算可得 p 0 ．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系
2
的点 P n,0n N* 处，他每步走动都会有 p 的概率向左移动 1 个单位，有1 p 的概率向右移动一个
单位，原点 0,0 处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以 pn 代表当这个人由 Pn,0 开始，最终掉
入陷阱的概率．
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1
（1）若这个人开始时位于点 P1,0 处，且 p ．
3
（）求他在 5 步内（包括 5 步）掉入陷阱的概率；
（）求他最终掉入陷阱的概率 p1 0 p1 1 ；
1 2 *
（）已知 pn pn1 pn1 n N ，若 p0 1，求 pn ；
3 3
（2）已知 p1 是关于 p 的连续函数．
（）分别写出当 p 0 和 p 1时， p1 的值（直接写出即可，不必说明理由）；
（）求 p1 关于 p 的表达式．
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高三数学
第卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
A x 0 x 2, B x x2 x 0
1. 已知集合 ，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A. x x 1或 >2} B. x x 0 或1 x 2
C. x 1 x 2 D. x 1 x 2
【答案】A
【解析】
【分析】由题可知图中的阴影部分表示 A B ，再根据交集，并集和补集的定义即可得解.
AB
【详解】由题可知图中的阴影部分表示 A B ，
AB
B x x2 x 0 x x 1或 x 0，
则 A B R, A B x 1 x 2 ，
所以 AB A B x x 1或 >2}.
故选：A.
4cosx
f x
2. 函数 1 的部分图象大致为（ ）
x x2
2
A. B.
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C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用奇偶性的定义确定函数为偶函数，再根据余弦函数的性质可求解.
【详解】由题可知， f x 的定义域为xx 0 ，
4cos(x) 4cos x
f (x) f (x)
又因为 1 1 ，
x (x)2 x x2
2 2
所以， f x 为偶函数．
3 3 5
当 0 x 时， f x 0 ，当 x 时， f x 0 ，当 x 时， f x 0 .
2 2 2 2 2
故选：C．
x2 y2
3. 椭圆 1a b 0 的两焦点为 F1 ， F2 ，以 F1F2 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形
a2 b2
的另两条边，则椭圆的离心率为（ ）
1 3
A. B. C. 4 2 3 D. 3 1
2 2
【答案】D
【解析】
【分析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是 A，B，易得 AF1 AB BF2 c ， F1 AF2 90 ，
由此建立 a，c 的齐次式，进而可得结果.
【详解】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是 A，B，
易得 AF1 AB BF2 c ， F1 AF2 90 ，
， ，
AF2 3c AF1 AF2 3 1c 2a
c c
e 3 1
a 3 1 ，
c
2
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故选：D.
4. 已知 f x Asinx A 0, 0, 的一段图象如图所示，则（ ）
3
A. f x sin 2x
4
B. f x 的图象的一个对称中心为 ,0
8
5
C. f x 的单调递增区间是 k , k ,k Z
8 8
5
D. 函数 f x 的图象向左平移 个单位后得到的是一个奇函数的图象
8
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据函数图像求出函数解析式，即可判断 A，再根据正弦函数的性质一一判断即可；
T 3 2
【详解】解：由图可知 A 1 ， ，所以T ，解得 2 ，所以
2 8 8 2
3 3 3
f x sin 2x ，又函数过点 ,1 ，即 f sin 2 1，所以
8 8 8
3 5 3
2 2k ,k Z ，解得 2k ,k Z ，因为 ，所以 ，所以
8 2 4 4
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3
f x sin 2x ，故 A 错误；
4
3
因为 f sin 2 sin 1，所以函数关于 x 对称，故 B 错误；
8 8 4 2 8
3 5
令 2k 2x 2k ,k Z ，解得 k x k ,k Z ，故函数的单调递增区间
2 4 2 8 8
5
为 k , k ,k Z ，故 C 正确；
8 8
5 5 3
将函数 f x 的图象向左平移 个单位得 y sin 2 x sin 2x cos 2x 为偶函数，
8 8 4 2
故 D 错误；
故选：C
5. 用一个边长为 4 的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积
的最大值为（ ）
2 3
A. B. 2 3 C. 4 D. 4 3
3
【答案】A
【解析】
【分析】通过圆锥侧面展开图的两种情况侧面展开图最大为半径为 2 的半圆，侧面展开图最大为半径
为 2 2 的四分之一圆，计算比较即可.
【详解】根据题意有两种方式可以得到这样的几何体，
方式一：如图，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为 2 的半圆，
因此一个圆锥的底面半径为 1，母线长为 2，高为 3 ，
1 2 3
所以两个圆锥体积的最大值为V 2 1 3 ．
1 3 3
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