广西南宁市2025届高三毕业班摸底测试-数学试卷

南宁市 2025 届普通高中毕业班摸底测试数学 2024.9.18（全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 ．已知复数 z = i (1— 7i) ，则 z = ( )A ． —7 + i B ． —7 —i C ． 7 + i D ． 7 —i2 ．已知命题 p : 3x >0 ， x3 = x2 ， q : xR ， x4 >0 ，则 ( )A．p 和 q 都是真命题 B．p 和 q 都是真命题C ． p 和 q 都是真命题 D ． p 和 q 都是真命题3 ．已知向量 a- ， 满足a- — 2 = 2a- — = 2 ，且 = 1 ，则 A ． B ． C ． D . 4 ．某校组织 50 名学生参加庆祝中华人民共和国成立 75 周年知识竞赛，经统计这 50 名学生的成绩都在区 间 [50, 100] 内，按分数分成 5 组： [50, 60) ， [60, 70) ， [70, 80) ， [80, 90) ， [90, 100] ，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是 ( ). .A ．成绩在[80, 90) 上的人数最多 B ．成绩不低于 70 分的学生所占比例为 70% C ．50 名学生成绩的平均分小于中位数 D ．50 名学生成绩的极差为 505 ．已知 A(—1, 0) ，B (1, 0) ，在 x 轴上方的动点 M 满足直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率之积为 2 ，则动 点 M 的轨迹方程为 ( )A ． B . C ． — y2 = 1 D ． — y2 = 16 ．已知函数 f (x ) = x — ln (mx ) ，若对 x >0 ， f (x ) 0 ，则实数 m 的取值范围为 ( )7 ．已知正三棱台 ABC — A1B1C1 的侧面积为 6 ，AB = 3A1B1 ，AA1 = 2 ，则 AA1 与平面 ABC 所成角的余弦值为 ( ) 6 2 2 6 10A ． B ． C ． D . 3 3 4 48 ．设函数 f (x ) = ax ， g (x) = ，当 x [0, 2] 时， 曲线 y = f (x ) 与曲线 y = g (x ) 的图象依次交于 A ，B ，C 不同的三点，且| AB |=| BC | ，则 a= ( )A ．2 B ．-2 C ．1 D ．-1二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9 ．已知函数 f (x ) = isin xi ， g (x ) = sin(|(2x + ), ，则下列结论正确的是 ( )A ． f (x )与 g(x ) 的图象有相同的对称轴 B ． f (x )与 g(x ) 的值域相同 C ． f (x )与 g(x )有相同的零点 D ． f (x )与 g(x ) 的最小正周期相同10 ．已知 F 为抛物线 C : y2 = 4x 的焦点，C 的准线为 l ，直线 x —y —1 = 0 与 C 交于 A，B 两点（A 在第一 象限内），与 l 交于点 D ，则 ( )A ． AB = 6B ． BD = 2 BFC ．以 AF 为直径的圆与y 轴相切D ．l 上存在点 E ，使得AEF 为等边三角形11 ．设函数 f (x) = —ax3 + x2 + 2ax +b (a 0, a, b R) ，则 ( )A ．当 a =1时， x = 1是 f (x ) 的极小值点B ． f (x )恒有两个单调性相同的区间C ．当 f (x )有三个零点时， 可取得的整数有 2 个D ．点 (|( , f (|( ), ,) 为曲线 y = f (x ) 的对称中心三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12 ．已知数列{an } 满足 a1 = 2 ， a2 = 1 ， a3 = -3 ，且 an+2 = an + an+1 ，则 a5 = .13 ．已知 = 2 ， sin ，则 sin = ________ .14 ．在如图方格中，用 4 种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色.若区域 A ，B ，C，D 涂 2 种颜色，区域 E ，F，G ，H 涂另外 2 种颜色，则有 种不同涂法.若区域 A ，B ，C，D 涂 4 种颜色（A 、B 、C、D 涂的颜色互不相同），区域 E ，F，G ，H 也涂这 4 种颜色（E ，F，G ，H 涂的颜色互不相同），则有 种不同涂法。四、解答题：本大题共 5 个小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分 13 分）设锐角ABC 的内角A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bc sin 2A = b 2 + c2 - a 2 .（1）求 A；（2）若 a = 2 2 ，且 2c cosB = a sin C ，求ABC 的面积.16 ．（本小题满分 15 分） 已知函数 f (x ) = (4x +1)ex ，曲线y = f (x )在 (0, f (0)) 处的切线为直线 l .（1）求直线 l 的方程；（2）求函数 f (x )在闭区间[-2, 1] 上的最值.17 ．（本小题满分 15 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中， AB 丄 BC ， CD 丄 BC ， BC = CD = 2 ，AB = 22 ，平面 PBD平面 ABCD .（1）证明：AD平面 PBD；（2）若 PB = PD ，四棱锥P - ABCD 的体积为 2 ，求二面角A - PB - D 的正弦值.18 ．（本小题满分 17 分）我省某市为吸引游客，推出免费门票项目．该市设置自然风光类、历史文化类、特色体验类三个免费票抽奖机，自然风光类抽中的概率为 ，历史文化类、特色体验类抽中的概率均为 ，这三类抽奖之间互不影响．规定凡在该市的景区游玩的游客，每位游客可在每个抽奖机中至多抽奖一次， 每次抽奖至多抽中一个免费票景点.（1）若甲游客在三个抽奖机中各抽奖一次，设X 表示甲获得免费票景点个数，求 X的分布列和数学期望； （2）乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，已知乙抽中（至少抽中一个），求乙在自然风光类、特 色体验类抽奖机中抽中的概率.19 ．（本小题满分 17 分） 已知椭圆 经过点 ， A1 ， A2 为 C 的左、 右顶点，M，N 为 C 上不同于 A1 ，A2 的两动点，若直线 A1M 的斜率与直线 A2 N 的斜率的比值恒为常数 ，按下面方法构造数列{bn } ：C 的短半轴长为bn 时，直线 MN 与 x 轴交于点 Qn (-bn+1, 0) .（1）求椭圆 C 的离心率；（2）证明：数列{bn } 是等比数列；（3）设顶点 A1 到直线 MN 的最大距离为d，证明 d b1 .