数 学
满分：150 分 时间：120 分钟
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．半径为 2 的圆上长度为 4 的圆弧所对的圆心角是 ( )
A．1 B．2 C．4 D．8
2．直线 l 过抛物线 Cx:42 = y的焦点，且在 x 轴与 y 轴上的截距相同，则 l 的方程是 ( )
A． yx=1 B． yx=+1 C． yx= 1 D． yx= +1
3．已知 x >0 ， y >0 ，则 ( )
A． 7lnx+ lny= 77 lnx + lny B． 7ln() x+ y= 77 lnx lny
C． 7lnx lny= 77 lnx + lny D． 7ln() xy= 77 lnx lny
1
4．函数 f() x= aln | x | + 的图象不可能是 ( )
x
A． B． C． D．
5．已知 a ，b ，c 满足 23a = ， bln 2= 1，32c = ，则（ ）
A． abc>>B． acb>>C．bca>>D．bac>>
6．若正数 x ， y 满足 x2 2 xy += 20，则 xy+ 的最小值是 ( )
6
A． 6 B． C． 22 D．2
2
7．已知 a >1， b >1．设甲： aeba= be ，乙： abba= ，则 ( )
A．甲是乙的充要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充分条件但不是必要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
数学综合测试（一）试题 第 1 页（共 4 页）
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．已知正实数 ， ， 满足 22xx12 2x3 ，则 ， ， 的
8 x1 x2 x3 x11+2 x += 1 xx 12 2, + 3 x 2 += 1 xx 23 3, + 4 x 3 += 1 x 3 4 x1 x2 x3
大小关系是 ( )
． ． ． ．
A xxx213<< B xxx123<< C xxx321<< D xxx132<<
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9．已知函数 fx( ) = x3 + x1，则（ ）
A． fx( ) 有两个极值点 B． fx( ) 有一个零点
C．点(0,1) 是曲线 y= fx( ) 的对称中心 D．直线 yx= 2 是曲线 y= fx( ) 的切线
10．已知函数 fx()的定义域为 R ，且 fx(+ y ) fx ( = y ) f22 () x f () y， f （1）= 2 ， fx(+ 1) 为偶函数，
则 ( )
2024
A． f （3） = 2 B． fx()为奇函数 C． f （2） = 0 D． fk()= 0
k =1
11．已知函数 fx( )= ln 2 x，曲线 Cy:= fx ()．过不在 C 上的点 Pab(,)(a >0) 恰能作两条 C 的切线，切
点分别为 (x11 , fx ( )) ， (x22 , fx ( )) ， ()xx12< ，则 ( )
． ． ． ．
A ae>B 2a= eb ( + 1) C xa1< D fx()2 >b
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（ 5 分）某中学的 A 、B 两个班级有相同的语文、数学、英语教师，现对此 2 个班级某天上午的 5 节课
进行排课，2 节语文课，2 节数学课，1 节英语课，要求每个班级的 2 节语文课连在一起，2 节数学课连在
一起，则共有 种不同的排课方式．（用数字作答）
4051
13．（ 5 分）已知函数 y= fx( + 2) 1为定义在 R 上的奇函数，则 fi(= 2024) ．
i=1
．一段路上有 个路灯 ， ， ， ，一开始它们都是关着的，有 名行人先后经过这段路，
14 100 L1 L2 L100 100
对每个 ，当第 名行人经过时，他将所有下标为 的倍数的路灯 ， ， 的开关
k {1,2,3, ,100} k k Lk L2k
状态改变.问当第 100 名行人经过后，有 个路灯处于开着的状态。
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（ 13 分）记 ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 2cB sin= 2 b．
（1）求 C ；
（2）若 tanABC= tan + tan ， a = 2 ，求 ABC 的面积．
数学综合测试（一）试题 第 2 页（共 4 页）
{#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}
16．（ 15 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 PAD 平面 ABCD ，
PA= PD = 5 ，点 E 是线段 AD 的中点， CM= 2 MP ．
（1）证明： PE //平面 BDM ；
（2）求平面 AMB 与平面 BDM 的夹角．
17．HSFZ 在运动会期间，随机抽取了 200 名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子
打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：
性别 速度 合计
快 慢
男生 65
女生 55
合计 110 200
（1）根据以上数据，能否有 99% 的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？
（2）现有 nn() N+ 根绳子，共有 2n 个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打
结完毕视为结束．
()i 当 n = 3，记随机变量 X 为绳子围成的圈的个数，求 X 的分布列与数学期望；
221n nn !( 1)!
()ii 求证：这 n 根绳子恰好能围成一个圈的概率为 ．
(2n )!
n() ad bc 2
附： K 2 = ， nabcd=+++ ．
(abcdacbd++ )( )( ++ )( )
2 0.100 0.050 0.025 0.010
PK() k
k 2.706 3.841 5.024 6.635
数学综合测试（一）试题 第 3 页（共 4 页）
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18．（ 17 分）费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根
据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射
率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为 1．如图是折射率为 2 的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜
的平面圆直径 MN 为 6，且 MN 与 x 轴交于点 ( 2,0) ．平 行 于 x 轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所
有光线经折射后全部汇聚在点 (2,0) 处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）
（1）设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线 C ，试判断 C 属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
（2）设 曲 线 F 为解析式同 C 的完整圆锥曲线，直线 l 与 F 交于 A ，B 两点，交 y 轴于点 H ，交 x 轴于点 Q
8
（点 Q 不与 F 的顶点重合）．若 HQ= k QA = k QB ， kk+=，试求出点 Q 所有可能的坐标．
12 12 3
ex ax
19．（ 17 分）已知函数 fx()= + ．
2 ex
1
（）当 a = 时，记函数 fx()的导数为 fx()，求 f (0) 的值．
2
3
（）当 a =1， x1 时，证明： fx( )>cos x．
2
x
（）当 a2 时，令 gx()= e [ a + 1 f ()] x ， gx()的图象在 xm= ， x= nm()< n 处切线的斜率相同，记
gm( )+ gn ()的最小值为 ha()，求 ha()的最小值．
（注:e = 2.71828 是自然对数的底数）
数学综合测试（一）试题 第 4 页（共 4 页）
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2025 届高三综合测试（一）数 学 参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
B A D D A A C C
9 10 11
ABC BCD BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 8． 13. 4051． 14. 10
f()e xxx e fx () fx()
8．【详解】因为 f() x= e(2x x + 2) fx ()，所以 =2x = 2[ ] ，
ee2xx
fx()
从而 =+x2 2 xc，即 fx()= e(x x2 + 2 x c )，其中c 为常数，
ex
又 fc(0)= 1 = ，故 fx( )= ex ( x2 + 2 x 1) ，则 f (x)e= x ()x2 1 ，当 x ( ,1 ) 时， fx()>0， fx()为增函
数；当 x ( 1,1) 时， fx()< 0， fx()为减函数；当 x(1, +)时， fx()>0， fx()为增函数，
4
所以当 f(1)<< kf ( 1) 时，即 0< e fx()= k有三个不同的解．故选： C ． 10．【解答】解：因为函数 fx()的定义域为 R ，且 fx(+ y ) fx ( = y ) f22 () x f () y， f （1） = 2 ， y= fx( + 1) 为偶函数， 令 xy= = 0 ，得 f (0)= 0 ，再令 x = 0 ，则 fyf()(= y ) f22 (0) f () y， 显然 fy()不恒为零，所以 f(= y ) fy ()，即 fx()为奇函数， B 正确； 所以 fx(+= 1) f ( += x 1) fx ( 1) ，所以 fx(+= 2) fx ( ) ，所以 fx(+=+= 4) fx ( 2) fx ( ) ，即 fx()的周 期为 4，则 f （3） =ff( = 1) （1） = 2 ， A 错误； ff(0+== 2) (0) 0 ， C 正确； 由 A ， B ，C 可知， f （1）= 2 ， f （2）= 0 ， f （3）= 2 ， f （4）=f (0) = 0 ，且 fx()的周期为 4， 2024 所以 fk( )= 506 [ f（1） + f （2） + f （3） + f （4） ]0= ， D 正确．故选： BCD ． k =1 2lnx 11．【解答】解：因为 f() x= ln2 x ，所以 fx=() ， x 2lnx 所以经过 ， ， 的切线方程为 i 2 ， (xi fx(i ))( i= 1 2) y=() x + xii ln x xi 2lnx 由切线过点 知， i 2 ， Pab(,) b=( a + xii ) ln x ( i = 1, 2) xi 第 1 页（共 8 页） {#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#} 2alnx 2(lnx 1)( x a ) 令 g() x= + ln2 x2 lnx b ，则 gx()恰有两个零点 x ， x ，且 gx=() ， x 1 2 x2 当 ae= 时， gx() 0，则 gx()在 (0,+ ) 单调递增，不可能有两个零点； 当 ae 时，则若 ae>，当 0< 则 gx()在 (0,e ) 和 (,a + )上单调递增，在 (,ea )上单调递减， 若 0< 则 gx()在 (0,a ) 和 (,e + )上单调递增，在 (,)ae 上单调递减， 故 g （e） = 0 或 g （a） = 0 时，函数 gx()才可能有两个零点， 又 g （a） =ln2 a b 0 ，故 g （e） = 0 ，此时显然有两条切线， 2a 1 3 所以 ge()= 1 b = 0，即 2a= eb ( + 1) ，当 b = 时， a= ee< ，故 A 错误， B 正确； e 2 4 由上述分析， ， ，当 时， ， 在 和 上单调递增， ex{ 1 x2} ae>x1 = ea< gx() (0,e ) (,a + ) 在 (,ea )上单调递减，示意图如图． 显然 ，且 xa1< 2alnx 2 2 a ， f() x2= b ln x 22 = b2 lnx =2lnx 2 (1 ) >0 xx22 所以 ，当 时， ， fx()2 >b 0< gx()在 (0,a ) 和 (,e + )上单调递增，在 (,)ae 上单调递减，示 意图如图． 显然 2 ，由 ，得 x12<=== a, f ( x ) f () e ln e 1 2a= eb ( + 1) 2a 22ae b = 1，所以 b =<1 = 11，即 fx()>b， e ee 2 综上， ，故选项 和 正确．故选： ． x12<>af() x b C D BCD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．【解答】解：由 a 表示数学课， b 表示语文课， c 表示英语课，按上午的第 1、2、3、4、5 节课排列， 可得若 A 班排课为 aabbc ，则 B 班排课为 bbcaa ， 若 A 班排课为 bbaac ，则 B 班排课为 aacbb ， 若 A 班排课为 aacbb ，则 B 班排课为 bbaac ，或 B 班排课为 cbbaa ， 若 A 班排课为 bbcaa ，则 B 班排课为 aabbc ，或 B 班排课为 caabb ， 若 A 班排课为 cbbaa ，则 B 班排课为 aacbb ， 若 A 班排课为 caabb ，则 B 班排课为 bbcaa ， 则共有 8 种不同的排课方式．故答案为：8． 13．【解答】解：根据题意，因为函数 y= fx( + 2) 1 为定义在 R 上的奇函数， 第 2 页（共 8 页） {#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#} 所以函数 fx()的图象关于 (2,1) 中心对称， 则有 fx( )+ f (4 = x ) 2 ，且 f （2） =1， 故 fi( 2024) = [ f ( 2023) + f (2027)] + [ f ( 2022) + f (2026)] +…+ [ f （ 1 ） + f （ 3 ） ] + f （ 2 ） =2025 += 2 1 4051．故答案为：4051． ．解：固定每个 ，考察路灯 14 n{1,2, ,100} Ln . 根据题意， 被第 名行人改变开关状态，当且仅当 为 的正约数（注意 的正约数都不超过 ，故 Ln k k n n 100 每个正约数均可对应到某一名行人） 所以 最终为开，当且仅当 的正约数个数为奇数 以下证明这等价 . Ln n . n n 于 n 为平方数.事实上，n 的每个正约数 d 均可对应到正约数 d = ，其 中 ， d 对应到自身当且仅当 d = ， d d 即 dn= . 这意味着， n 的正约数个数为奇数当且仅当 n 是 n 的正约数，即 n 为平方数. 因此，当所有行人都经过后，恰好那些下标为平方数 1，4，9， ，100 的路灯是开着的，所以共有 10 个 路灯处于开着状态. 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15． 【解答】解 ：（ 1）因为 2cB sin= 2 b， 由正弦定理可得 2sinCB sin= 2 sin B， 1 分 在 ABC 中， sinB >0 ， 2 分 2 可得 sin C = ，而 C (0, ) ， 3 分 2 3 可得 C = 或 C = ； 5 分（少一个解扣一分） 4 4 （2）因为 tanABC= tan + tan ， 由恒等式 tanA++ tan B tan C = tan ABC tan tan ， 得 2 tanA= tan ABC tan tan ，得 tanBC tan= 2 ， 7 分 所以只可能是 tanC = 1 ， tanB = 2 ， 8 分 此时 tanA = 3 ， 9 分 3 10 25 所以 sin A = ， sin B = ， 11 分（每求对一个给 1 分） 10 5 25 2 sin Ba 4 5 10 4 2 所以 b = =5 ==， 12 分 sin A 3 105 3 10 3 10 1 1 42 2 4 所以 S= absin C = 2 = ． 13 分 ABC 2 2 3 23 （注：分类讨论代入 C，然后消元求解，自行给评分标准即可） 第 3 页（共 8 页） {#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#} 1 16．【解答】（1）证明：连接 EC 交 BD 于 N ，由 E 是 AD 的中点可得 DE= BC =1 ， 2 1 则 DEN 与 BCN 相似，所以 EN= NC ， 1 分 2 1 又 PM= MC ， 2 分 2 PM EN = 3 分 MC NC MN// PE ， 4 分 又 MN 平面 BDM ， PE / 平面 BDM 5 分 PE //平面 BDM ； 6 分 （2）解：如图，建立空间直角坐标系， E(0 ，0， 0) ， A(1 ，0， 0) ， D(1 ，0， 0) ， B(1 ，2， 0) ， C(1 ，2， 0) ， P(0 ，0， 2) ， 7 分 1 12 2 PC =( 1, 2, 2), PM = PC =(,,) ， 3 33 3 124 则 M ( ,,)， 8 分 333 设平面 的法向量为 ， AMB n1= (, xyz 1 11 ,) 424 由 AB= (0, 2,0), AM = ( , , ) ， 333 = 20y1 AB= n1 0 则 ，即 424 ， 9 分 AM= n 0 +xyz1 11 +=0 1 333 取 ，可得 ， 分 x1 =1 n1 = (1, 0,1) 10 由（ ）可取平面 的法向量为 ， 分 1 BDM n2 =(1, 1, 0) 12 ||nn 所以 ， 12 1 ， 分（公式给 分， | cos< n1 n2 >=| = 14 1 |nn12 || | 2 代入求解给 1 分） 1 即平面 AMB 与平面 BDM 的夹角余弦值为 ， 2 所以平面 AMB 与平面 BDM 的夹角为 ． 15 分 3 17． 【解答】解：（1）补全列联表如下： 第 4 页（共 8 页） {#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#} 性别 速度 合计 快 慢 男生 65 35 100 女生 45 55 100 合计 110 90 200 200(65 55 35 45)2 800 则 K 2 = =>8.08 6.635 ， 4 分 100 100 110 90 99 （第一个等号 2 分，第二个等号 1 分，判断大于 1 分） 所以有 99% 的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关； 5 分 （2） ()i 易知 X 的所有可能取值为 1，2，3， CC11 8 此时 = =42 = ， 分 PX( 1) 222 6 CCC642 15 3 A3 2C1 2 = =3 = ， 分 PX( 2) 222 7 CCC642 5 3 A3 11 = = = ， 分 PX( 3) 222 8 CCC642 15 3 A3 则 X 的分布列为： X 1 2 3 8 6 1 P 15 15 15 9 分 8 6 1 23 所以 EX()1=++= 2 3 ； 10 分 15 15 15 15 ()ii 证明：不妨令绳头编号为 1，2，3，4，… ， 2n ， 可以与绳头 1 打结形成一个圆的绳头除了 1，2 外还有 22n 种可能， 假设绳头 1 与绳头 3 打结， 那么相当于对剩下 n 1根绳子进行打结， 不妨设 * 根绳子打结后可成圆的种数为 ， nn() N an 那么经过一次打结后，剩下 根绳子打结后可成圆的种数为 ， 分 n 1 an1 11 第 5 页（共 8 页） {#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#} 所以 ， ， 分 ann=(2 na 2) 1 n 2 12 a 即 n =22n ， an1 a n1 =24n ， an2 ，… ， a 2 = 2 ， a1 a 以上各式累乘得 n =(2nn 2)(2 4) …= 2 2n1 ( n 1)!， a1 易知 ， a1 =1 所以 n1 ， 分 ann =2 ( 1)! 13 另一方面，对 2n 个绳头进行任意 2 个绳头打结， CC22… C 2 2nn (2 1)(2 n 2) … 2 1 (2n )! 总共有 N = 2nn 22 2= = ， 14 分 n! 2!nn nn 2! a 2nn1 (n 1)! 221 nn !( 1)! 则 P =n = = ． 15 分 Nn(2n )! (2 )! 2!n n ．【解答】解 ：（ ）设 上任意一点 ， ， ，光线从点 至点 的光程为 ， 18 1 C Tx( 0 y0 ) x0< 0 N (2,0) 1 光线穿过凸透镜后从 点折射到点 的光程为 ， T (2,0) 2 则 22 ， 分 1 =+=134 5 1 22， 分 20=2 (x + 2) + 1 ( xy 0 2) + 0 2 由题意得 ，则 22 ， 分 12= 2(x0++ 2) ( xy 00 2) + = 5 3 化简得 22， 分 1 2xx00 = ( + 2) y 0 4 所以 22 2， 14+x0 4 xx 00 = + 44 xy 00 + y2 所以 x 2 =1． 5 分 0 3 令 ，得 ， y0 = 0 x0 = 1 2 2 y 所以 C 为双曲线的一部分，解析式为 xx=1( 2 1) ． 7 分（缺少范围扣 1 分） 3 y2 （2）由题意知 Fx:12 =． 3 设 ， ， ， ， ， ， ， Hn(0, ) Qm( 0)(m 1) Ax( A yA ) Bx( B yB ) 第 6 页（共 8 页） {#{QQABBYIAggAoAJJAABhCQwGYCkOQkAACCSgORBAAoAIBgBNABAA=}#}