福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测
高三数学试题
（考试时间：120 分钟， 试卷总分：150 分 ）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。并将准考证号
条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四
个选项中，只有一个选项是正确的．
x 3
1．已知集合 M={ x | 0}, Q = { x N || x | 2} ，则 MQ=
x +1
A．{0,1,2} B．[0,2] C． ( 2,2] D．{1,2}
ww10
2．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：T =15ln （T 为时间，单位为
ww 0
min, w0 为特殊环境温度， w1 为该物质在特殊环境下的初始温度， w 为该物质在特殊环境
下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100，特殊环境温度是 20，则经过
15min ，该物质的温度最接近 （参考数据：e 2.72 ）
A．54 B．52 C．50 D． 48
3. 在 ABC 中，已知 tan A ， tanB 是关于 x 的方程 xx2 6 + 7 = 0 的两个实根，则角
C 的大小为
3 2
A. B. C. D.
4 3 3 4
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4
4．对任意实数 x(2, +) ，“ ax+”是“ a 4 ”的
x
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
x2 +1
5．函数 yx=sin l n 的大致图象是
x2
A． B．
C． D．
6．已知函数 fxxx( ) =++32ee13 xx ，若 f a( f2 a 3 2 + ) ( 2 ) ，则实数 a 的取
值范围为
A． (,1 B．3,1 C．(, 1 3, +) D．(, 3 1, +)
1
15
7. 已知 a=sin , b = ln , c = 2 2 ，则
23
A. c b a B. a b c C. a c b D. b a c
8. 已知函数 f( x )= xe2x ln x x | a | x ，若对任意的 x 0 ，都有 f (x) 1恒成立，
则实数 a 的取值范围为
A.[4,4] B. [3,3] C. [2,2] D. [1,1]
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选
错的得 0 分.
9．已知三次函数 fx( ) 的图象如图，则下列说法正确的是
f(11+ x) f ( )
A． lim=f ( 1)
x 0 x
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B． ff(23) ( )
C． f ( 30) =
D． x f x( ) 0 的解集为( , 1 0 ,1) ( )
10. 已知函数 f (x) = 2cos(2x + ) ， g(x) = 2si n(2x ) ，则
3 6
A. f (x) 与 g(x) 的图象有相同的对称中心
B. 与 的图象关于 x 轴对称
C. 与 的图象关于 y 轴对称
5
D. f (x) g(x) 的解集为[ + k, + k ](k Z)
12 12
11．已知函数 fx( ) 的定义域为 R ，且 f (10) ，若 f( x+ y) f( x) f( y) = xy ，则
A． f (00) = B． f (x) 关于 ( 1,0) 中心对称
C． ex f() x D．函数 y= xf( x)有最大值
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 15 分
12．已知复数 z 满足 (3= 4i)z 5i ，则||z = .
1 1
13．已知 a,b R ， ab20， a +b =1 ，则 + 的最小值为_________.
a 2b b
eln x
14．已知 f( x) =e,x ax( a R) g( x) = ，若函数 y= f( g ( x )) a 恰有三个零
x
点，则 a 的取值范围为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
1
15．（13 分）已知函数 f( x) =+ a 为 上的奇函数.
ex +1
(1)求 ； (2)若函数 g( x) =2( ex + 1) f ( x ) + 2 x ，讨论 gx( ) 的极值.
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16．（15 分）在锐角 ABC 中，内角 ABC,, 的对边分别为 abc,, ，且
23c2
tanAB+= tan ．
a2+ c 2 b 2
(1)求角 A 的大小；
(2)若 BC = 3 ，点 D 是线段 BC 的中点，求线段 AD 长的取值范围．
17.（15 分）在三棱锥 P ABC 中， PM 底面 ABC ， AB AC ， AB =1，
AC = 2 ， M , N 分别为 BC , AC 的中点， E 为线段 AP 上一点.
（1）求证： BN 平面 APM ；
1
（2）若平面 EBN 底面 ABC 且 PM = ，求二面角
2
A EN B 的正弦值.
x 2
18. （17 分）已知函数 f( x) = a(3 x 1) b 1，其中 ab, 是实数.
ex
（1）若 a =1 ，求 f (x) 的单调区间；
（2）若函数 fx( ) 在定义域上是单调函数，求实数 a 的取值范围；
（3）若 fx( ) 0 恒成立，求5ab+ 的最小值.
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19．（17 分）已知函数 fxx()sin(),(0,)=+ 图象的相邻两条对称轴间的距
2
3
离为 且函数 图象过点
, fx() 0, .
2 2
(1)若函数 y f=+ x m ()是偶函数,求| m |的最小值；
1 7 3 1
(2)令 g x( )=f x 4 ( ) 1 + ,记函数 gx() 在 x , 上的零点从小到大依次为
1 2 1 2
x12 x,x , , , n 求 xxxxx1231+++++222 nn 的值；
(3)设函数 y x= x D( ) , ，如果对于定义域 D 内的任意实数 x , 对于给定的非零常数 P ，
总存在非零常数 T ，恒有( )x ( T+= ) P x 成立,则称函数()x 是 上的“ 级周期函
x
1
数”，周期为 .请探究是否存在非零实数 ，使函数 h( x )= f ( x ) 是 R 上的周期
26
为 的 级周期函数，并证明你的结论.
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