1.元素与集合的关系
xAxUA,xUAxA.
2.德摩根公式
痧U();()ABABABABUUU痧痧UU.
3.包含关系
ABAABBABBA痧UU
ABUUABR
4.容斥原理
card()ABcardAcardBcard()AB
card()ABCcardAcardBcardCcard()AB
card()()()()ABcardBCcardCAcardABC.
n
5．集合{,,,}a12aan的子集个数共有2个；真子集有–1个；非空子集有–
1个；非空的真子集有–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式f()xax2bxc(a0);
(2)顶点式f(x)a(xh)2k(a0);
(3)零点式f(x)a(xx12)(xx)(a0).
7.解连不等式Nf()xM常有以下转化形式
[f(x)M][f(x)N]0
MNMNf()xN
|fx()|0
22Mf()x
11
.
f()xNMN
8.方程f(x)0在(,)k1k2上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后
者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程ax2bxc0(a0)有且只有一个实根在
bkk
内,等价于,或f(k)0且k12,或f(k)0且
112a22
kkb
12k.
22a2
9.闭区间上的二次函数的最值
b
二次函数f()xax2bxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在x处及区
2a
间的两端点处取得，具体如下：
bb
(1)当a>0时，若xp,q，则f()xf(),()fxf(),()pfq；
2amin2amaxmax
b
xp,q，f(x)f(p),f(q)，f(x)f(p),f(q).
2amaxmaxminmin
(2)当a<0时，若，则f(x)minminf(p),f(q)，若
，则f(x)maxmaxf(p),f(q)，.
微信搜《高三标答公众号》
10.一元二次方程的实根分布
依据：若f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间(,)mn内至少有一个实根.
设f()xx2pxq，则
pq240
（1）方程在区间(,)m内有根的充要条件为f(m)0或p；
m
2
fm()0
fn()0
（2）方程在区间内有根的充要条件为或pq240
p
mn
2
fm()0fn()0
或或；
af(n)0af(m)0
pq240
（3）方程在区间(,)n内有根的充要条件为fm()0或p.
m
2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间(,)的子区间L（形如,，,，,不同）上含参
数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min0(xL).
(2)在给定区间的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(为参数)恒成
立的充要条件是f(x,t)man0(xL).
a0
a0
(3)42恒成立的充要条件是或.
f()xaxbxc0b02
b40ac
c0
12.真值表
非或且
真真假真真
真假假真假
假真真真假
假假真假假
13.常见结论的否定形式
原结论反设词原结论反设词
是不是至少有一个一个也没有
都是不都是至多有一个至少有两个
大于不大于至少有n个至多有（n1）个
小于不小于至多有个至少有（n1）个
对所有x，存在某，
成立不成立p或qp且q
对任何，存在某，
不成立成立且或
14.四种命题的相互关系
微信搜《高三标答公众号》
原命题互逆逆命题
若则若则
互互
互为为互
否否
逆逆
否否
否命题逆否命题
若非则非互逆若非则非
15.充要条件
（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.
（2）必要条件：若qp，则是必要条件.
（3）充要条件：若，且，则是充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设x1x2a,,bx1x2那么
f()()x1fx2
(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a,b上是增函数；
x1x2
f()()x1fx2
(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a,b上是减函数.
x1x2
(2)设函数yf()x在某个区间内可导，如果f(x)0，则f()x为增函数；如果
f(x)0，则为减函数.
17.如果函数f()x和g()x都是减函数,则在公共定义域内,和函数f()()xgx也是减
函数;如果函数yf()u和ug()x在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
yf[(gx)]是增函数.
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图
象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个
函数是偶函数．
19.若函数yf()x是偶函数，则f()()xafxa；若函数yf()xa是偶
函数，则f()()xafxa.
20.对于函数(xR),f()()xafbx恒成立,则函数f()x的对称轴
abab
是函数x;两个函数yf()xa与yf()bx的图象关于直线x对
22
称.
a
21.若f()()xfxa,则函数的图象关于点(,0)对称;若
2
f()()xfxa,则函数为周期为2a的周期函数.
nn1
22．多项式函数P()xannxa10xa的奇偶性
多项式函数Px()是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数yf()x的图象的对称性
(1)函数的图象关于直线xa对称f()()axfax
微信搜《高三标答公众号》
f(2ax)f(x).
ab
(2)函数yf()x的图象关于直线x对称f()()amxfbmx
2
f()()abmxfmx.
24.两个函数图象的对称性
(1)函数与函数yf()x的图象关于直线x0(即y轴)对称.
ab
(2)函数yf()mxa与函数yf()bmx的图象关于直线x对称.
2m
(3)函数yf()x和yf1()x的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf()xab的图
象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图
象.
26．互为反函数的两个函数的关系
f()abf1()ba.
1
27.若函数yf()kxb存在反函数,则其反函数为y[()]f1xb,并不是
k
1
y[()f1kxb,而函数y[()f1kxb是y[()]fxb的反函数.
k
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数f()xcx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.
(2)指数函数f()xax,f(xy)f()(),(1)xfyfa0.
(3)对数函数f(x)logax,fxy()fx()fyfa(),()1(a0,a1).
(4)幂函数f()xx,f(xy)f(x)f(y),f'(1).
(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，fxy()()()()()fxfygxgy，
gx()
f(0)1,lim1.
x0x
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）f()()xfxa，则f()x的周期T=a；
（2）f(x)f(xa)0，
1
或f()xa(f(x)0)，
f()x
1
或f()xa(fx()0),
fx()
1
或f()xf2()xf(xa),(()fx0,1),则的周期T=2a；
2
1
(3)f(x)1(f(x)0)，则的周期T=3a；
f()xa
f()()x1fx2
(4)f()x1x2且f()1(()afx1f()1,0|x2x1x2|2)a，则
1f(x1)f(x2)
的周期T=4a；
(5)fx()fxa()fx(2)(3)afxafx(4)a
fxfxafx()()(2)(afx3)(afx4)a,则的周期T=5a；
(6)f()()()xafxfxa，则的周期T=6a.
微信搜《高三标答公众号》
30.分数指数幂
m1
(1)an（a0,m,nN，且n1）.
nam
m
1
(2)n（，且）.
ama0,m,nN
an
31．根式的性质
（1）()naan.
（2）当n为奇数时，naan；
aa,0
当为偶数时，naan||.
aa,0
32．有理指数幂的运算性质
(1)arasars(a0,r,sQ).
(2)(ar)sars(a0,r,sQ).
(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ).
注：若a0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性
质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
b
.
logaNbaN(a0,a1,N0)
34.对数的换底公式
logmN
logaN(a0,且a1,m0,且m1,N0).
logma
nn
推论logmbblog(,且a1,mn,0,且,n1,).
ama
35．对数的四则运算法则
若a0，a1，M0，N0，则
(1)loga(MN)logaMlogaN;
M
(2)loglogMNlog;
aNaa
n
(3)logaaMnlogM(nR).
22
36.设函数f(x)logm(axbxc)(a)0,记b4ac.若f()x的定义域为
R,则a0，且0;若的值域为R,则，且0.对于a0的情形,需要
单独检验.
37.对数换底不等式及其推广
1
若,b0,x0,x,则函数ylog(bx)
aax
11
(1)当ab时,在(0,)和(,)上为增函数.
aa
，(2)当ab时,在和上为减函数.
推论:设nm1，p0，a0，且a1，则
（1）logmp(np)logmn.
微信搜《高三标答公众号》
mn
（2）logmnloglog2.
aaa2
38.平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有
yN(1p)x.
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
sn1,1
an(数列{}an的前n项的和为snna12aa).
snns1,2n
40.等差数列的通项公式
*
ana11(n1)ddnad()nN；
其前n项和公式为
n()aann(1)
s1nnad
n212
d1
n2()adn.
221
41.等比数列的通项公式
a
aaqnn1*1q()nN；
n1q
其前n项的和公式为
aq(1n)
1,1q
sn1q
na1,1q
aaq
1n,1q
或sn1q.
na1,1q
42.等比差数列an:ann11qad,ab(q0)的通项公式为
b(n1)d,q1
nn1
anbq()dbqd；
,1q
q1
其前n项和公式为
nbn(n1)d,(q1)
n
snd1qd.
()bn,(q1)
1qq11q
43.分期付款(按揭贷款)
ab(1b)n
每次还款x元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).
(1b)n1
44．常见三角不等式
(1)若x(0,)，则sinxxtanx.
2
微信搜《高三标答公众号》
(2)若x(0,)，则1sinxxcos2.
2
(3)|sinxx||cos|1.
45.同角三角函数的基本关系式
sin
sin22cos1，tan=，tancot1.
cos
46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
n
n(1)2sin,(n为偶数)
sin()
2n1
2
(1)cos,(n为奇数)
(n为偶数)
n
n(1)2cos,
cos()
n1(n为奇数)
2
(1)2sin,
47.和角与差角公式
sin()sincoscossin;
cos()coscossinsin;
tantan
tan().
1tantan
sin()sin()sin22sin(平方正弦公式);
cos()cos()cos22sin.
absincos=ab22sin()(辅助角所在象限由点(,)ab的象限决定,
b
tan).
a
48.二倍角公式
sin2sincos.
cos2cos2sin22cos2112sin2.
2tan
tan2.
1tan2
49.三倍角公式
sin33sin4sin34sinsin()sin().
33
cos34cos33cos4coscos()cos().
33
3tantan3
tan3tantan()tan().
13tan233
50.三角函数的周期公式
函数yxsin()，xR及函数yxcos()，xR(A,,为常数，且A0，
2
0)的周期T；函数yxtan()，xk,kZ(A,,为常数，且A
2
微信搜《高三标答公众号》
0，0)的周期T.
51.正弦定理
abc
2R.
sinABCsinsin
52.余弦定理
a2b2c22bccosA;
b2c2a22cacosB;
c2a2b22abcosC.
53.面积定理
111
（1）Sahbhch（h、、hh分别表示a、b、c边上的高）.
2a2b2cabc
111
（2）SabsinCbcsinAcasinB.
222
1
(3)S(|OA||OB|)22(OAOB).
OAB2
54.三角形内角和定理
在ABC中，有ABCCAB()
CAB
2CAB22().
222
55.简单的三角方程的通解
sinxaxk(1)karcsina(kZ,|a|1).
cosxax2karccosa(kZ,|a|1).
tanxaxkarctana(kZR,a).
特别地,有
sinsinkk(1)k(Z).
coscos2kk(Z).
tantankk()Z.
56.最简单的三角不等式及其解集
sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.
sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.
cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.
cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.
tanxa(aRZ)x(karctana,k),k.
2
tanxa(aRZ)x(k,karctana),k.
2
57.实数与向量的积的运算律
设、为实数，那么
(1)结合律：(a)=()a;
(2)第一分配律：(+)a=a+a;
(3)第二分配律：(a+b)=a+b.
58.向量的数量积的运算律：
(1)ab=ba（交换律）;
(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;
(3)（a+b）c=ac+bc.
微信搜《高三标答公众号》
59.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且
只有一对实数1、2，使得a=1e1+2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
60．向量平行的坐标表示
设a=(,)xy11,b=(,)xy22，且b0，则ab(b0)x1y2x2y10.
53.a与b的数量积(或内积)
ab=|a||b|cos．
61.ab的几何意义
数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积．
62.平面向量的坐标运算
(1)设a=,b=，则a+b=(,)x1x2y1y2.
(2)设a=,b=，则a-b=(,)x1x2y1y2.
(3)设A，B,则ABOBOA(,)x2x1y2y1.
(4)设a=(x,y),R，则a=(,)xy.
(5)设a=,b=，则ab=()x1x2y1y2.
63.两向量的夹角公式
xxyy
cos1212(a=,b=).
2222
x1y1x2y2
64.平面两点间的距离公式
dAB,=||ABABAB
22
()()x2x1y2y1(A(,)xy11，B(,)xy22).
65.向量的平行与垂直
设a=,b=，且b0，则
A||bb=a.
ab(a0)ab=0x1x2y1y20.
66.线段的定比分公式
设P1(,)x1y1，P2(,)x2y2，P(,)xy是线段PP12的分点,是实数，且PP12PP，则
xx
x12
1OPOP
OP12
yy1
y12
1
1
OPtOP(1t)OP（t）.
121
67.三角形的重心坐标公式
ABC三个顶点的坐标分别为A(x11,y)、B(x22,y)、C(x33,y),则ABC的重心的坐
xxxyyy
标是G(,)123123.
33
68.点的平移公式
x''xhxxh
OP''OPPP.
''
yykyyk
注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F'上的对应点为P'''(,)xy，且PP'的
微信搜《高三标答公众号》
坐标为(,)hk.
69.“按向量平移”的几个结论
（1）点P(,)xy按向量a=平移后得到点P'(,)xhyk.
(2)函数yf()x的图象C按向量a=平移后得到图象C',则的函数解析式
为yf()xhk.
(3)图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数
解析式为yf()xhk.
(4)曲线:f(x,y)0按向量a=平移后得到图象,则的方程为
f(xh,yk)0.
(5)向量m=(,)xy按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.
70.三角形五“心”向量形式的充要条件
设O为ABC所在平面上一点，角ABC,,所对边长分别为abc,,，则
222
（1）为的外心OAOBOC.
（2）为的重心OAOBOC0.
（3）为的垂心OAOBOBOCOCOA.
（4）为的内心aOAbOBcOC0.
（5）为的A的旁心aOAbOBcOC.
71.常用不等式：
（1）ab,Ra22b2ab(当且仅当ab时取“=”号)．
ab
（2）ab,Rab(当且仅当ab时取“=”号)．
2
（3）a3b3c33abc(a0,b0,c0).
（4）柯西不等式
(a2b2)(c2d2)(acbd),,,,2abcdR.
（5）ababab.
72.极值定理
已知x,y都是正数，则有
（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；
1
（2）若和是定值s，则当时积有最大值s2.
4
推广已知xy,R，则有(xy)2(xy)22xy
（1）若积是定值,则当|xy|最大时,|xy|最大；
当最小时,|xy|最小.
（2）若和|xy|是定值,则当最大时,|xy|最小；
当最小时,|xy|最大.
73.一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)，如果a与
ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两
根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；
xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).
74.含有绝对值的不等式
当a>0时，有
微信搜《高三标答公众号》