第三讲 圆的方程（教师版）

第三节圆的方程知识框架知识点归纳1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C(a，b)半径为r一般x2y2DxEyF0(D2E24F0)充要条件：D2E24F0圆心坐标：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(D,2)，\f(E,2)))半径req\f(1,2)eq\r(D2E24F)2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：(1)|MC|rM在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆外；(2)|MC|rM在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆上；(3)|MC|rM在圆内，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆内.[常用结论]1.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.3.圆心在任一弦的垂直平分线上.题型归类题型一圆的方程例1(1)已知圆M与直线3x4y0及3x4y100都相切，圆心在直线yx4上，则圆M的方程为________________________.答案(x3)2(y1)21解析到两直线3x4y0，3x4y100的距离都相等的直线方程为3x4y50，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x4y50，,yx4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3，,y1.))又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x3)2(y1)21.(2)(2022全国甲卷)设点M在直线2xy10上，点(3，0)和(0，1)均在M上，则M的方程为________________.答案(x1)2(y1)25解析法一设M的方程为(xa)2(yb)2r2，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2ab10，,（3a）2b2r2，,a2（1b）2r2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1，,b1，,r25，))M的方程为(x1)2(y1)25.法二设M的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则M(eq\f(D,2)，eq\f(E,2))，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（\f(D,2)）（\f(E,2)）10，,93DF0，,1EF0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D2，,E2，,F3，))M的方程为x2y22x2y30，即(x1)2(y1)25.法三设A(3，0)，B(0，1)，M的半径为r，则kABeq\f(10,03)eq\f(1,3)，AB的中点坐标为(eq\f(3,2)，eq\f(1,2))，AB的垂直平分线方程为yeq\f(1,2)3(xeq\f(3,2))，即3xy40.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3xy40，,2xy10，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1，,y1，))所以M(1，1)，r2|MA|2(31)2[0(1)]25，M的方程为(x1)2(y1)25.感悟提升求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.题型二与圆有关的最值问题角度1利用几何意义求最值例2已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上.(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求xy的最大值和最小值；(3)求eq\r(x2y22x4y5)的最大值和最小值.解(1)eq\f(y,x)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，eq\f(y,x)的最大值和最小值就是与该圆有公共点且过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为ykx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即eq\f(|2k3|,\r(k21))1，解得k2eq\f(2\r(3),3)或k2eq\f(2\r(3),3)，eq\f(y,x)的最大值为2eq\f(2\r(3),3)，最小值为2eq\f(2\r(3),3).(2)设txy，则yxt，t可视为直线yxt在y轴上的截距，xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即eq\f(|2（3）t|,\r(2))1，解得teq\r(2)1或teq\r(2)1.xy的最大值为eq\r(2)1，最小值为eq\r(2)1.(3)eq\r(x2y22x4y5)eq\r(（x1）2（y2）2)，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，3)到定点(1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(1，2)的距离为eq\r(34)，eq\r(x2y22x4y5)的最大值为eq\r(34)1，最小值为eq\r(34)1.角度2利用对称性求最值例3已知A(0，2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA||PQ|的最小值是________.答案2eq\r(5)解析因为圆C：x2y24x2y0，所以圆C是以C(2，1)为圆心，半径req\r(5)的圆.设点A(0，2)关于直线xy20的对称点为A(m，n)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m0,2)\f(n2,2)20，,\f(n2,m0)1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m4，,n2，))故A(4，2).连接AC交圆C于Q(图略)，此时，|PA||PQ|取得最小值，由对称性可知|PA||PQ||AP||PQ||AQ||AC|r2eq\r(5).角度3建立函数关系求最值例4(2023湘潭质检)设点P(x，y)是圆：x2(y3)21上的动点，定点A(2，0)，B(2，0)，则eq\o(PA,\s\up6())eq\o(PB,\s\up6())的最大值为________.答案12解析由题意，知eq\o(PA,\s\up6())(2x，y)，eq\o(PB,\s\up6())(2x，y)，所以eq\o(PA,\s\up6())eq\o(PB,\s\up6())x2y24，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2(y3)21，故x2(y3)21，所以eq\o(PA,\s\up6())eq\o(PB,\s\up6())(y3)21y246y12.由圆的方程x2(y3)21，易知2y4，当y4时，eq\o(PA,\s\up6())eq\o(PB,\s\up6())的值最大，最大值为641212.感悟提升与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如eq\f(yb,xa)，taxby，(xa)2(yb)2形式的最值问题.(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.(3)求解形如|PM||PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.题型三与圆有关的轨迹问题例5如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和2eq\r(6)，高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程.解(1)设圆心E(0，b)，则C(eq\r(6)，3)，B(3，0).由|EB||EC|，得eq\r(（03）2（b0）2)eq\r(（0\r(6)）2（b3）2)，解得b1，所以圆的方程为x2(y1)210.(2)设P(x，y)，由于P是MN中点，由中点坐标公式，得M(2x5，2y2)，代入x2(y1)210，化简得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(5,2)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y\f(3,2)))eq\s\up12(2)eq\f(5,2)，即线段MN的中点P的轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(5,2)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y\f(3,2)))eq\s\up12(2)eq\f(5,2).感悟提升求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.课时训练一、单选题1．圆C：关于直线对称的圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据点关于直线对称的性质，结合圆的标准方程进行求解即可.【详解】由圆C：，可知圆心坐标：，半径为，因为点关于直线的对称点为，所以圆C：关于直线对称的圆的方程是，故选：C2．方程表示圆，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】将圆的方程变形为，进而可得，求得实数的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，方程变形为，若其表示圆，则有，解得或，即实数的取值范围为；故选C．【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，其中解答中把圆的一般方程与标准方程，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．圆关于原点对称的圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】将圆的方程表示为标准形式求出已知圆的圆心和半径，求出关于原点对称的点的坐标，即可得到对称的圆的标准方程.【详解】圆即的圆心，半径等于，关于原点对称的点的坐标为，故对称圆的方程为，故选：B．【点睛】本题考查求一个圆关于一个点的对称圆的方程的求法，求出圆心关于原点对称点的坐标是解题的关键，属于基础题.4．已知，两点，以线段AB为直径的圆的标准方程是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由中点坐标公式求出的中点坐标即为圆心，再根据两点间的距离公式求出的长即直径，即可求得圆的标准方程.【详解】由，，知的中点坐标为，且，则以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径，所以圆的标准方程为，故选：D5．已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切，则圆的方程为A．B．C．D．【答案】B【分析】将圆心坐标代入直线方程，计算圆心坐标，计算半径，结合圆方程计算方法，即可．【详解】，半径，圆方程为.【点睛】本道题考查了圆方程计算方法，结合相关性质，计算方程，即可得出答案．6．已知点，，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（）A．5B．C．D．【答案】D【分析】如图，先得到点为直线上一点，再将的最小值转化为的最小值，找到点关于直线的对称点为，利用对称性知的最小值为，代入坐标运算即可.【详解】解：圆的圆心为，圆的圆心为，因为，则点为直线上一点，其与坐标轴交于点，如图，连接，，要求的最小值，即求的最小值，明显四边形为正方形，则点关于直线的对称点为，连接则，又，则的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查直线上一点到直线同侧两点距离和最小的问题，可根据几何特点快速求出点关于线的对称点，考查学生的转化能力和计算能力，是一道中档题.二、多选题7．已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（）A．圆的圆心为B．圆的半径为5C．点不在圆上D．圆关于对称【答案】BD【分析】将圆的一般方程化成标准方程，求得圆心半径，判断出A错误、B正确；将点带入圆的方程，满足方程判断点在圆上，故C错误；在直线上，所以圆关于对称.【详解】可化为：，所以圆的圆心为，半径为5，故A错误、B正确；因为，所以点在圆上，故C错误；因为圆心为在直线上，所以圆关于对称，故D正确；故选：BD.8．已知三角形的三个顶点分别为，，，则（）A．三角形OMN外接圆的方程为B．三角形OMN外接圆的半径长为5C．三角形OMN外接圆的圆心坐标D．大于三角形OMN外接圆的半径【答案】ABC【分析】求出线段的垂直平分线的方程，两条垂直平分线的交点坐标即为圆心坐标，再求得半径后可得圆标准方程，求出后可判断各选项．【详解】OM中点，中点，OM的垂直平分线PE的直线方程为．MN的垂直平分线PF的直线方程为．联立，得解得则点为PE，PF的交点，即为圆心，，即为圆的半径．所以圆的方程为．．故选：ABC．三、填空题9．已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为______.【答案】【解析】求出圆心坐标和半径可得．【详解】因为圆心的坐标为，，所以该圆的标准方程为.故答案为：．【点睛】本题考查求圆的标准方程，属于基础题．10．方程表示一个圆，且过点有两条直线与该圆相切，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】根据，以及点在圆外即可求得的范围.【详解】由题可知：且，解得且.故.故答案为：.【点睛】本题考查方程表示圆求参数范围，以及根据点和圆的位置关系求参数，属综合基础题.11．已知圆，，是圆上两点，点且，则线段中点的轨迹方程是______.【答案】【分析】依题意设是线段的中点，则，可得，在中利用勾股定理计算可得；【详解】解：如图所示，是线段的中点，则，因为，于是，在中，，，，由勾股定理得，整理得的轨迹是.故答案为：【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，属于中档题.12．已知圆：，在圆内随机取一点，直线交圆于，两点（为坐标原点），则的概率为_____．【答案】【分析】当时，，确定时的区域和面积，再利用几何概型求解.【详解】由已知得，当时，，所以当时，点在如图所示的阴影部分，，所以.【点睛】本题主要考查几何概型的计算，考查面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.四、解答题13．求过点，且圆心在直线上的圆的方程.【答案】.【详解】试题分析：由的坐标计算可得的垂直平分线方程，进而得到：，解可得的值，即可得圆心坐标，而圆的半径，代入圆的标准方程计算即可得到答案．解析:由已知得线段的中点坐标为，所以所以弦的垂直平分线的斜率为，所以的垂直平分线方程为又圆心在直线上，所以解得即圆心为圆的半径为所以圆的方程为.14．已知圆经过点，，且圆与轴相切．(1)求圆的一般方程；(2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）设圆的方程为，依题意可得圆心在轴右侧，且跟轴的切点为，即可得到圆心的纵坐标为，再将点的坐标代入方程，即可得到方程组，解得即可；（2）设则，再由点是圆上的动点，代入圆的方程，即可得解.【详解】（1）解：设圆的方程为，因为圆过点，，又跟轴相切，圆必在轴右侧，且跟轴的切点为，圆心的纵坐标为．，解得，圆的方程为，化简得．（2）解：设．因为为线段的中点，所以，因为点是圆上的动点，所以，即，所以的轨迹方程为．15．若圆的内接矩形的周长最大值为．(1)求圆O的方程；(2)若过点的直线与圆O交于A，B两点，如图所示，且直线的斜率，求的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】(1)设矩形在第一象限点为(x，y)(x>0，y>0)，则，表示出矩形的周长，利用基本不等式求其最大值，根据等号的成立条件可得，进而可得圆的方程；(2))设直线AB：，，联立：，利用韦达定理求出和，利用单调性求出的取值范围.【详解】解：(1)设矩形在第一象限点为(x，y)(x>0，y>0)，则，矩形周长，，，，当且仅当取“=”矩形周长的最大值为，r=2，圆O的方程：(2)设直线AB：，,联立：，消去y并整理得，，，同理：，，异号，，，，.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查利用韦达定理解决最值问题，是中档题.16．在以O为原点的直角坐标系中，点为OAB的直角顶点，已知，且点B的纵坐标大于零.(1)求的坐标；(2)设点，求以OC为直径的圆M关于直线OB对称的圆的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，根据题意列出方程组，即可求得答案；（2）求出圆M的方程以及直线OB的方程，求得点M关于直线OB的对称点坐标，即可求得答案.【详解】（1）设，则或,B点的纵坐标大于零，.（2）由可得，直线OB的方程为：，圆M的方程为：，设关于直线OB的对称点为，则，所以，所求圆方程为.