专题 04 立体几何
考点一 空间几何体的侧面积和表面积
1．（2021新高考）已知圆锥的底面半径为 2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 ( )
A．2 B． 2 2 C．4 D． 4 2
2．（2022上海）已知圆柱的高为 4，底面积为 9 ，则圆柱的侧面积为 ．
3．（2021上海）已知圆柱的底面圆半径为 1，高为 2， AB 为上底面圆的一条直径， C 是下底面圆周上的
一个动点，则 ABC 的面积的取值范围为 ．
4．（2021上海）已知圆柱的底面半径为 1，高为 2，则圆柱的侧面积为．
5．（2019上海）一个直角三角形的两条直角边长分别为 1 和 2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到
的两个圆锥的体积之比为 ( )
A．1 B．2 C．4 D．8
6．（2020浙江）已知圆锥的侧面积（单位： cm2 ) 为 2 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底
面半径（单位： cm) 是．
7．（2022新高考）已知正三棱台的高为 1，上、下底面边长分别为 3 3 和 4 3 ，其顶点都在同一球面
上，则该球的表面积为 ( )
A．100 B．128 C．144 D．192
8．（2021新高考）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球
静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的
距离）．将地球看作是一个球心为 O ，半径 r 为 6400km 的球，其上点 A 的纬度是指 OA 与赤道平面所成角
的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，该卫星信号覆盖地
球表面的表面积 S 2 r 2 (1 cos) （单位： km2 ) ，则 S 占地球表面积的百分比约为 ( )
A． 26% B． 34% C． 42% D． 50%
考点二 空间几何体的体积
9．（2022新高考）已知正四棱锥的侧棱长为 l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 36 ，且
3 l 3 3 ，则该正四棱锥体积的取值范围是 ( )
81 27 81 27 64
A．[18 ， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[18 ， 27]
4 4 4 4 3
10．（2022新高考）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已
知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km2 ；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为
180.0km2 ．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，
增加的水量约为 ( 7 2.65)( )
A．1.0109 m3 B．1.2109 m3 C．1.4109 m3 D．1.6109 m3
11．（2021新高考）正四棱台的上、下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为 ( )
56 28 2
A． 20 12 3 B． 28 2 C． D．
3 3
12．【多选】（2023新高考）下列物体中，能够被整体放入棱长为 1（单位： m) 的正方体容器（容器壁
厚度忽略不计）内的有 ( )
A．直径为 0.99m 的球体
B．所有棱长均为1.4m 的四面体
C．底面直径为 0.01m ，高为1.8m 的圆柱体
D．底面直径为1.2m ，高为 0.01m 的圆柱体
13．【 多 选 】（ 2022新高考） 如 图 ， 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 ， ED 平 面 ABCD ， FB / /ED ，
AB ED 2FB ．记三棱锥 E ACD ， F ABC ， F ACE 的体积分别为V1 ，V2 ，V3 ，则 ( )
A．V3 2V2 B．V3 V1 C．V3 V1 V2 D． 2V3 3V1
14．【多选】（2021新高考）在正三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AA1 1，点 P 满足 BP BC BB1 ，
其中 [0 ，1] ， [0 ，1] ，则 ( )
A．当 1时， AB1P 的周长为定值
B．当 1 时，三棱锥 P A1BC 的体积为定值
1
C．当 时，有且仅有一个点 P ，使得 A P BP
2 1
1
D．当 时，有且仅有一个点 P ，使得 A B 平面 AB P
2 1 1
15．（2023新高考）底面边长为 4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2，高
为 3 的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
16．（2023新高考）在正四棱台 ABCD A1B1C1D1 中， AB 2 ， A1B1 1， AA1 2 ，则该棱台的体积
为 ．
17．（2020海南）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2， M 、 N 分别为 BB1 、 AB 的中点，则三棱锥
A NMD1 的体积为．
18．（ 2022上海） 如图所示三棱锥，底面为等边 ABC ， O 为 AC 边 中 点 ， 且 PO 底 面 ABC ，
AP AC 2 ．
（1）求三棱锥体积VP ABC ；
（2）若 M 为 BC 中点，求 PM 与面 PAC 所成角大小．
19．（2020上海）已知四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD 为正方形，边长为 3， PD 平面 ABCD ．
（1）若 PC 5 ，求四棱锥 P ABCD 的体积；
（2）若直线 AD 与 BP 的夹角为 60 ，求 PD 的长．
考点三 空间中直线与直线之间的位置关系
20．（2022上海）如图正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P 、 Q 、 R 、 S 分别为棱 AB 、 BC 、 BB1 、 CD 的中
点，联结 A1S ， B1D ．空间任意两点 M 、 N ，若线段 MN 上不存在点在线段 A1S 、 B1D 上，则称 MN 两点
可视，则下列选项中与点 D1 可视的为 ( )
A．点 P B．点 B C．点 R D．点 Q
21．（2021浙江）如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 ， M ， N 分别是 A1D ， D1B 的中点，则 ( )
A．直线 A1D 与直线 D1B 垂直，直线 MN / / 平面 ABCD
B．直线 A1D 与直线 D1B 平行，直线 MN 平面 BDD1B1
C．直线 A1D 与直线 D1B 相交，直线 MN / / 平面 ABCD
D．直线 A1D 与直线 D1B 异面，直线 MN 平面 BDD1B1
22．（2020上海） 在棱长为 10 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P 为左侧面 ADD1 A1 上一点，已知点 P 到
A1D1 的距离为 3， P 到 AA1 的距离为 2，则过点 P 且与 A1C 平行的直线交正方体于 P 、 Q 两点，则 Q 点所
在的平面是 ( )
A． AA1B1B B． BB1C1C C． CC1D1D D． ABCD
23．（2023上海）如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 为边 A1C1 上的动点，则下列直线中，始
终与直线 BP 异面的是 ( )
A． DD1 B． AC C． AD1 D． B1C
考点四 异面直线及其所成的角
24．【多选】（2022新高考）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 ，则 ( )
A．直线 BC1 与 DA1 所成的角为 90
B．直线 BC1 与 CA1 所成的角为 90
C．直线 BC1 与平面 BB1D1D 所成的角为 45
D．直线 BC1 与平面 ABCD 所成的角为 45
考点五 空间中直线与平面之间的位置关系
25．（2019上海）已知平面 、 、 两两垂直，直线 a 、 b 、 c 满足： a ， b ， c ，则直线
a 、 b 、 c 不可能满足以下哪种关系 ( )
A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面
26．【多选】（2021新高考）如图，下列正方体中， O 为底面的中心， P 为所在棱的中点， M ， N 为正
方体的顶点，则满足 MN OP 的是 ( )
A． B．
C． D．
考点六 直线与平面所成的角
27．（2020山东）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定
时间．把地球看成一个球（球心记为 O) ，地球上一点 A 的纬度是指 OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A
处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面．在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A
处的纬度为北纬 40 ，则晷针与点 A 处的水平面所成角为 ( )
A． 20 B． 40 C． 50 D． 90
28．（2021上海）如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，已知 AB BC 2 ， AA1 3 ．
（1）若 P 是棱 A1D1 上的动点，求三棱锥 C PAD 的体积；
（2）求直线 AB1 与平面 ACC1 A1 的夹角大小．
29．（2021浙江） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， ABC 120 ， AB 1 ，
BC 4 ， PA 15 ， M ， N 分别为 BC ， PC 的中点， PD DC ， PM MD ．
（）证明： AB PM ；
（）求直线 AN 与平面 PDM 所成角的正弦值．
30．（2020海南）如图，四棱锥 P ABCD 的底面为正方形， PD 底面 ABCD ．设平面 PAD 与平面 PBC
的交线为 l ．
（1）证明： l 平面 PDC ；
（2）已知 PD AD 1， Q 为 l 上的点， QB 2 ，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值．
31．（2020上海）已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，正方形 ABCD 绕 AB 旋转形成一个圆柱．
（1）求该圆柱的表面积；
（2）正方形 ABCD 绕 AB 逆时针旋转 至 ABC D ，求线段 CD 与平面 ABCD 所成的角．
2 1 1 1
32．（2020山东）如图，四棱锥 P ABCD 的底面为正方形， PD 底面 ABCD ．设平面 PAD 与平面 PBC
的交线为 l ．
（1）证明： l 平面 PDC ；
（2）已知 PD AD 1， Q 为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值．
33．（2020浙江） 如图，在三棱台 ABC DEF 中，平面 ACFD 平面 ABC ， ACB ACD 45 ，
DC 2BC ．
（）证明： EF DB ；
（）求直线 DF 与平面 DBC 所成角的正弦值．
34．（ 2019上海） 如 图 ， 在 长 方 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， M 为 BB1 上 一 点 ， 已 知 BM 2 ， CD 3 ，
AD 4 ， AA1 5 ．
（1）求直线 A1C 和平面 ABCD 的夹角；
（2）求点 A 到平面 A1MC 的距离．
35．（ 2019浙江） 如 图 ， 已 知 三 棱 柱 ABC A1B1C1 ， 平 面 A1 ACC1 平 面 ABC ， ABC 90 ，
BAC 30 ， A1 A A1C AC ， E ， F 分别是 AC ， A1B1 的中点．
（）证明： EF BC ；
（）求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值．
考点七 二面角的平面角及求法
36．（2022浙江）如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C1 ， AC AA1 ， E ， F 分别是棱 BC ， A1C1 上的点．记
EF 与 AA1 所成的角为 ， EF 与平面 ABC 所成的角为 ，二面角 F BC A 的平面角为 ，则 ( )
A． B． C． D．
37．（2019浙江） 设三棱锥 V ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等， P 是棱 VA上的点（不含端
点）．记直线 PB 与直线 AC 所成角为 ，直线 PB 与平面 ABC 所成角为 ，二面角 P AC B 的平面角为
，则 ( )
A． ， B． ， C． ， D． ，
38．【多选】（2023新高考）已知圆锥的顶点为 P ，底面圆心为 O ， AB 为底面直径， APB 120 ，
PA 2 ，点 C 在底面圆周上，且二面角 P AC O 为 45 ，则 ( )
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 4 3
C． AC 2 2 D． PAC 的面积为 3
39．（2023上海）已知直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 ， AB AD ， AB / /CD ， AB 2 ， AD 3 ， CD 4 ．
（1）证明：直线 A1B / / 平面 DCC1D1 ；
（2）若该四棱柱的体积为 36，求二面角 A1 BD A 的大小．
40．（2023新高考）如图，三棱锥 A BCD 中， DA DB DC ， BD CD ， ADB ADC 60 ， E
为 BC 中点．
（1）证明 BC DA ；
（2）点 F 满足 EF DA ，求二面角 D AB F 的正弦值．
41．（2023新高考）如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D 中， AB 2 ， AA1 4 ．点 A2 ， B2 ， C2 ， D2 分
别在棱 AA1 ， BB1 ， CC1 ， DD1 上， AA2 1 ， BB2 DD2 2 ， CC2 3 ．
（1）证明： B2C2 / / A2 D2 ；
（2）点 P 在棱 BB1 上，当二面角 P A2C2 D2 为150 时，求 B2 P ．
42．（2022浙江）如图，已知 ABCD 和 CDEF 都是直角梯形， AB / /DC ， DC / /EF ， AB 5 ， DC 3 ，
EF 1， BAD CDE 60 ，二面角 F DC B 的平面角为 60 ．设 M ， N 分别为 AE ， BC 的中点．
（）证明： FN AD ；
（）求直线 BM 与平面 ADE 所成角的正弦值．