2016年高考真题数学【理】(山东卷)(原卷版)

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2016年普通高等学校招生全国统一考试 (山东卷)理科数学第卷一、选择题(本大题共10个小题;每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(2016山东理,1)若复数z满足2zeq \x\to(z)32i,其中i为虚数单位,则z等于()A.12i B.12i C.12i D.12i2.(2016山东理,2)设集合A{y|y2x,xR},B{x|x21<0},则AB等于()A.(1,1) B.(0,1) C.(1,) D.(0,)3.(2016山东理,3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A.56 B.60 C.120 D.1404.(2016山东理,4)若变量x,y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(xy2,,2x3y9,,x0,))则x2y2的最大值是()A.4 B.9 C.10 D.125.(2016山东理,5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.eq \f(1,3)eq \f(2,3) B.eq \f(1,3)eq \f(\r(2),3)C.eq \f(1,3)eq \f(\r(2),6) D.1eq \f(\r(2),6)6.(2016山东理,6)已知直线a,b分别在两个不同的平面,内,则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.(2016山东理,7)函数f(x)(eq \r(3)sin xcos x)(eq \r(3)cos xsin x)的最小正周期是()A.eq \f(,2) B.C.eq \f(3,2) D.28.(2016山东理,8)已知非零向量m,n满足4|m|3|n|,cos〈m,n〉eq \f(1,3).若n(tmn),则实数t的值为()A.4 B.4 C.eq \f(9,4) D.eq \f(9,4)9.(2016山东理,9)已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)x31;当1x1时,f (x)f (x);当x>eq \f(1,2)时,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(1,2)))f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(1,2))),则f(6)等于()A.2 B.1 C.0 D.210.(2016山东理,10)若函数yf(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称yf (x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.ysin x B.yln xC.yex D.yx3第卷二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2016山东理,11)执行如图所示的程序框图,若输入的a,b的值分别为0和9,则输出的i的值为________.12.(2016山东理,12)若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2\f(1,\r(x))))5的展开式中x5的系数为80,则实数a________.13.(2016山东理,13)已知双曲线E:eq \f(x2,a2)eq \f(y2,b2)1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|3|BC|,则E的离心率是________.14.(2016山东理,14)在[1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为________.15.(2016山东理,15)已知函数f(x)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|x|,xm,,x22mx4m,x>m,)) 其中m>0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根,则m的取值范围是________.三、解答题:本答题共6小题,共75分.16.(2016山东理,16)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tan Atan B)eq \f(tan A,cos B)eq \f(tan B,cos A).(1)证明:ab2c;(2)求cos C的最小值.17.(2016山东理,17)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O的直径,FB是圆台的一条母线.(1)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH平面ABC;(2)已知EFFBeq \f(1,2)AC2eq \r(3),ABBC,求二面角F-BC-A的余弦值.18.(2016山东理,18)已知数列{an}的前n项和Sn3n28n,{bn}是等差数列,且anbnbn1.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)令cneq \f(an1n1,bn2n),求数列{cn}的前n项和Tn.19.(2016山东理,19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是eq \f(3,4),乙每轮猜对的概率是eq \f(2,3);每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X).20.(2016山东理,20)已知f(x)a(xln x)eq \f(2x1,x2),aR.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a1时,证明f(x)>f(x)eq \f(3,2)对于任意的x[1,2]成立.21.(2016山东理,21)平面直角坐标系xOy中,椭圆C:eq \f(x2,a2)eq \f(y2,b2)1(a>b>0)的离心率是eq \f(\r(3),2),抛物线E:x22y的焦点F是C的一个顶点.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.求证:点M在定直线上;直线l与y轴交于点G,记PFG的面积为S1,PDM的面积为S2,求eq \f(S1,S2)的最大值及取得最大值时点P的坐标.

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