2016年高考真题数学【理】(山东卷)（原卷版）

2016年普通高等学校招生全国统一考试 (山东卷)理科数学第卷一、选择题(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2016山东理，1)若复数z满足2zeq \x\to(z)32i，其中i为虚数单位，则z等于()A．12i B．12i C．12i D．12i2．(2016山东理，2)设集合A{y|y2x，xR}，B{x|x21<0}，则AB等于()A．(1,1) B．(0,1) C．(1，) D．(0，)3．(2016山东理，3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A．56 B．60 C．120 D．1404．(2016山东理，4)若变量x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(xy2，,2x3y9，,x0，))则x2y2的最大值是()A．4 B．9 C．10 D．125．(2016山东理，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq \f(1,3)eq \f(2,3) B.eq \f(1,3)eq \f(\r(2),3)C.eq \f(1,3)eq \f(\r(2),6) D．1eq \f(\r(2),6)6．(2016山东理，6)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．(2016山东理，7)函数f(x)(eq \r(3)sin xcos x)(eq \r(3)cos xsin x)的最小正周期是()A.eq \f(,2) B．C.eq \f(3,2) D．28．(2016山东理，8)已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cos〈m，n〉eq \f(1,3).若n(tmn)，则实数t的值为()A．4 B．4 C.eq \f(9,4) D．eq \f(9,4)9．(2016山东理，9)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)x31；当1x1时，f (x)f (x)；当x>eq \f(1,2)时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(1,2)))f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(1,2)))，则f(6)等于()A．2 B．1 C．0 D．210．(2016山东理，10)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf (x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是()A．ysin x B．yln xC．yex D．yx3第卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2016山东理，11)执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为________．12．(2016山东理，12)若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2\f(1,\r(x))))5的展开式中x5的系数为80，则实数a________.13．(2016山东理，13)已知双曲线E：eq \f(x2,a2)eq \f(y2,b2)1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是________．14．(2016山东理，14)在[1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为________．15．(2016山东理，15)已知函数f(x)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|x|，xm，,x22mx4m，x>m，)) 其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是________．三、解答题：本答题共6小题，共75分．16．(2016山东理，16)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tan Atan B)eq \f(tan A,cos B)eq \f(tan B,cos A).(1)证明：ab2c；(2)求cos C的最小值．17．(2016山东理，17)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线．(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；(2)已知EFFBeq \f(1,2)AC2eq \r(3)，ABBC，求二面角F-BC-A的余弦值．18．(2016山东理，18)已知数列{an}的前n项和Sn3n28n，{bn}是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cneq \f(an1n1,bn2n)，求数列{cn}的前n项和Tn.19．(2016山东理，19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是eq \f(3,4)，乙每轮猜对的概率是eq \f(2,3)；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．20．(2016山东理，20)已知f(x)a(xln x)eq \f(2x1,x2)，aR.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a1时，证明f(x)>f(x)eq \f(3,2)对于任意的x[1,2]成立．21．(2016山东理，21)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq \f(x2,a2)eq \f(y2,b2)1(a>b>0)的离心率是eq \f(\r(3),2)，抛物线E：x22y的焦点F是C的一个顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.求证：点M在定直线上；直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为S1，PDM的面积为S2，求eq \f(S1,S2)的最大值及取得最大值时点P的坐标．