2014年上海高考数学真题（文科）试卷（word解析版）

绝密启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1． 函数的最小正周期是.2. 若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=___________.3. 设常数，函数，若，则.4. 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为 .6.若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.7. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.8. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于.9. 设若是的最小值，则的取值范围是.10.设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q= .11．若，则满足的取值范围是 .12. 方程在区间上的所有解的和等于.13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）.14. 已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15. 设,则“”是“”的（ ）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件16. 已知互异的复数满足，集合={,},则=（）（A）2（B）1（C）0（D）17. 如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB是在正方形的一条边，是小正方形的其余各个顶点，则的不同值的个数为（ ）（A）7（B）5（C）3（D）118. 已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ）（A）无论k，如何，总是无解 （B)无论k，如何，总有唯一解 （C）存在k，，使之恰有两解 （D）存在k，，使之有无穷多解三．解答题（本大题共5题，满分74分）19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥, zxxk其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。设常数，函数若=4，求函数的反函数；根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得zxxk求的长（结果精确到0.01米）？22（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若<0，则称点被直线分隔。若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线. = 1 \* GB2 \* MERGEFORMAT 求证：点被直线分隔； = 2 \* GB2 \* MERGEFORMAT 若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围； = 3 \* GB2 \* MERGEFORMAT 动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明轴为曲线E的分隔线.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列满足.若，求的取值范围；zxxk若是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围.上海数学（文）参考答案一、1. 2. 6 3. 3 4. 5.70 6. 7. 8.249. 10. 11. 12. 13. 14. 二、15. B 16.D 17.C 18.B19.解：由题得，三棱锥是正三棱锥侧棱与底边所成角相同且底面是边长为2的正三角形由题得，，又三点恰好在构成的的三条边上，三棱锥是边长为2的正四面体如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于为中点，为的重心，底面，，解：（1）由题得，，且当时，，对任意的都有，为偶函数当时，，，对任意的且都有，为奇函数当且时，定义域为，定义域不关于原定对称，为非奇非偶函数解：（1）由题得，，且，即，解得，，米由题得，，，米，米证明：（1）由题得，，被直线分隔。解：（2）由题得，直线与曲线无交点即无解或，证明：（理科）（3）由题得，设，，化简得，点的轨迹方程为。当过原点的直线斜率存在时，设方程为。联立方程，。令，，显然是开口朝上的二次函数由二次函数与幂函数的图像可得，必定有解，不符合题意，舍去当过原点的直线斜率不存在时，其方程为。显然与曲线没有交点，在曲线上找两点。，符合题意综上所述，仅存在一条直线是的分割线。证明：（文科）（3）由题得，设，，化简得，点的轨迹方程为。显然与曲线没有交点，在曲线上找两点。，符合题意。是的分割线。解：（1）由题得，（文科）（2），且数列是等比数列，，，，。，，又，的最小值为8，此时，即。（3）由题得，，且数列数列成等差数列，，，，2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）第卷（选择题 共50分）一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．（1）【2014年上海，文1，5分】函数的最小正周期是 ．【答案】【解析】，所以．（2）【2014年上海，文2，5分】若复数，其中i是虚数单位，则 ．【答案】6【解析】．（3）【2014年上海，文3，5分】设常数，函数，若，则 ．【答案】3【解析】，所以，所以，故．（4）【2014年上海，文4，5分】若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．【答案】【解析】椭圆的右焦点右焦点为，故，故该抛物线的准线方程为．（5）【2014年上海，文5，5分】某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ．【答案】70【解析】由分层抽样知高一、高二、高三抽取的学生数比为4:3:2，高三抽取的学生数为20，故高一、高二共需抽取的学生数为．（6）【2014年上海，文6，5分】若实数满足，则的最小值为 ．【答案】【解析】由基本不等式可得，故的最小值为．（7）【2014年上海，文7，5分】若圆锥的侧面积是底面积的三倍，则其母线与轴所成的角大小为 ．（结果用反三角函数值表示）【答案】【解析】由题意可得，，解得，记母线与轴所成的角为，则，即．（8）【2014年上海，文8，5分】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 ．【答案】24【解析】由三视图可知，被割去的两个小长方体长为2，宽为3，高为2，故切割掉的两个小长 方体的体积之和为2322=24．（9）【2014年上海，文9，5分】设，若是的最小值，则的取值范围为 ．【答案】【解析】，当时，，因为是的最小值，故．（10）【2014年上海，文10，5分】设无穷等比数列的公比为，若 ． 【答案】【解析】因为无穷等比数列的极限存在，所以，又因为即，解得．（11）【2014年上海，文11，5分】若，则满足的的取值范围是 ． 【答案】【解析】函数的定义域为，即，在同一坐标系中作出（） 的图象（如图），由图象可知，当时，.故满足的的取值范围是．（12）【2014年上海，文12，5分】方程在区间上的所有解的和等于 ．【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，所以由可得或，解得，所以．（13）【2014年上海，文13，5分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）． 【答案】【解析】记“选择的3天恰好为连续3天”的概率为P，从10天中选择3天共有种方法，从10天中选择连续的3天有8种选择方法，故．（14）【2014年上海，文14，5分】已知曲线，直线．若对于点，存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 ．【答案】【解析】由题意可设（），又因为，所以点P、A、Q在一条直线上，且A点为线段PQ的中点．所以，，又，所以．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分．（15）【2014年上海，文15，5分】设，则“”是“且”的（ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件【答案】B【解析】由不能推出且，如满足，但不能满足且；如果且，由不等式的性质可得；故“”是“且”的必要非充分条件，故选B．（16）【2014年上海，文16，5分】已知互异的复数满足，集合，则（ ） （A）2 （B）1 （C）0 （D）【答案】D【解析】（1）当时，可看作是的根，此时与矛盾，故舍去；（2）当时，可得，（*）因为，所以，所以（*）即为，即，所以，此时；当时，，与矛盾且不满足集合的互异性，故舍去；当时，，但此时不能满足集合的互异性，故舍去；当时，，且满足集合的互异性，符合题意，此时；当时，，且满足集合的互异性，符合题意，此时；综上所述，，故选D．（17）【2014年上海，文17，5分】如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为（ ） （A）7 （B）5 （C）3 （D）1【答案】C【解析】如图，以点A为原点，建立坐标系，则，故 ，通过计算可得的值有0,2,4,共3个，故选C．（18）【2014年上海，文18，5分】已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ） （A）无论如何，总是有解 （B）无论如何，总有唯一解 （C）存在，使之恰有两解 （D）存在，使之有无穷多解【答案】B【解析】解法一：由已知得，代入得解得，即直线与恒交于点（为常数），故选B．解法二：由已知条件，，，有唯一解，故选B．三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．（19）【2014年上海，文19，12分】底面边长为的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图．求的各边长及此三棱锥的体积．解：根据题意可得共线，，，，，同理，是等 边三角形，是正四面体，所以边长为4；．（20）【2014年上海，文20，14分】设常数，函数．（1）若，求函数的反函数；（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．解：（1），，，， ，． ……6分（2）当时，，定义域为，故函数是偶函数；当时，定义域为，，故函数是奇函数；当时， 关于原点不对称，故函数既不是奇函数，也不是偶函数．……14分（21）【2014年上海，文21，14分】如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长米，长米． 设点在同一水平面上，从和看的仰角分别为和．（1）设计中是铅垂方向． 若要求，问的长至多为多少（结果精确到米）？（2）施工完成后，与铅垂方向有偏差．现在实测得，，求的长（结果精确 到米）．解：（1）设的长为米，则，， ，，，解得，的长至多为米． ……6分 （2）设，，则，解得的长为米．……14分（22）【2014年上海，文22，16分】在平面直角坐标系中，对于直线和点，记． 若，则称点被直线分隔． 若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．（1）求证：点被直线分隔；（2）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；（3）动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线，求的方程，并证明轴为曲线的分隔线．解：（1）将分别代入，得， 点被直线分隔． ……3分（2）直线与曲线有公共点的充要条件是方程组有解，即．因为直线是曲线的分隔线，故它们没有公共点，即．当时，对于直线，曲线上的点和满足，即点和被分隔．故实数的取值范围是． ……9分（3）设M的坐标为，则曲线E的方程为．对任意的不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点．又曲线E上的点对于轴满足，即点被y轴分隔．所以y轴为曲线E的分割线． ……16分（23）【2014年上海，文23，18分】已知数列满足，，．（1）若，求的取值范围；（2）若是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围．解：（1）依题意，，，又，，综上可得．……3分（2）设的公比为．由，且，得．因为，所以．从而，解得．时，．所以，的最小值为8，时，的公比为． ……9分（3）设数列的公差为．则，当时，，所以，即．当时，符合条件．当时，，所以，，又，所以．综上，的公差的取值范围为． ……18分