2016年上海高考数学真题（理科）试卷（word解析版）

绝密启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设x,则不等式的解集为_____________．2．设，其中为虚数单位，则=_____________． 3．已知平行直线，则l1与l2的距离是_____________．4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是_________（米）．5．已知点在函数的图像上，则．6．如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成的角的大小为，则该正四棱柱的高等于____________．7．方程在区间上的解为___________ .8．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________． 9．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．10．设若关于的方程组，无解，则的取值范围是____________．11．无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，，则k的最大值为________.12．在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线上一个动点，则的取值范围是_____________.13.设.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为 . 14.如图，在平面直角坐标系中，O为正八边形的中心，.任取不同的两点，点P满足，则点P落在第一象限的概率是_____________.选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分.15.设，则“”是“”的（ ）.充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）. （B）（C） （D）已知无穷等比数列的公比为，前n项和为，且.下列条件中，使得恒成立的是（ ）. （B）（C） （D）18．设、、是定义域为R的三个函数，对于命题：若、、均是增函数，则、、中至少有一个增函数；若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.（A）和均为真命题 （B）和均为假命题（C）为真命题，为假命题 （D）为假命题，为真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.将边长为1的正方形（及其内部）绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小. 20．（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 有一块正方形菜地,所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到点或河边运走.于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图.[ 求菜地内的分界线的方程;菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为.设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另有一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值. 21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点.（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设，若的斜率存在，且，求的斜率. 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.（1）若具有性质，且，，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质，并说明理由；（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.考生注意：本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设x,则不等式的解集为_____________．【答案】（2,4）【解析】试题分析：由题意得：，解得.考点：绝对值不等式的基本解法.2．设，其中为虚数单位，则=_____________．【答案】-3【解析】试题分析：考点：1.复数的运算；2.复数的概念. 3．已知平行直线，则l1与l2的距离是_____________．【答案】【解析】试题分析：利用两平行线间的距离公式得.考点：两平行线间距离公式.4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是_________（米）．【答案】1.76考点：中位数的概念.5．已知点在函数的图像上，则．【答案】【解析】试题分析：将点（3，9）代入函数中得，所以，用表示得，所以.考点：反函数的概念以及指、对数式的转化.6．如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成的角的大小为，则该正四棱柱的高等于____________．【答案】【解析】试题分析：连结BD，则由题意得.考点：线面角7．方程在区间上的解为___________ .【答案】【解析】试题分析：化简得：，所以，解得或（舍去），又，所以.考点：二倍角公式及三角函数求值.8．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________．【答案】112【解析】试题分析：由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为，即，所以，又二项展开式的通项为，令，所以，所以，即常数项为112.考点：二项式定理.9．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．【答案】【解析】试题分析：利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为，所以此角的正弦值为，由正弦定理得,所以.考点：正弦、余弦定理.10．设若关于的方程组，无解，则的取值范围是____________．【答案】【解析】试题分析：将方程组中上面的式子化简得，代入下面的式子整理得，方程组无解应该满足且，所以且，所以由基本不等式得，即的取值范围是.考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.11．无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，，则k的最大值为________.【答案】4考点：数列的项与和.12．在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，-1），P是曲线上一个动点，则的取值范围是_____________.【答案】【解析】试题分析：由题意设, ，则，又，所以.考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想.13.设.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为 . 【答案】4【解析】试题分析：当时，，，又，，注意到，所以只有2组：, 满足题意；当时，同理可得出满足题意的也有2组，故共有4组.考点：三角函数14.如图，在平面直角坐标系中，O为正八边形的中心，.任取不同的两点，点P满足，则点P落在第一象限的概率是_____________.【答案】【解析】试题分析：共有种基本事件，其中使点P落在第一象限的情况有种，故所求概率为.考点：古典概型选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得五分，否则一律得零分.15.设，则“”是“”的（ ）.充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件【答案】A【解析】试题分析：，所以“”是“”的充分非必要条件，选A.考点：充要条件下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）. （B）（C） （D）【答案】D【解析】试题分析：依次取，结合图形可知只有满足，选D. 考点：极坐标方程已知无穷等比数列的公比为，前n项和为，且.下列条件中，使得恒成立的是（ ）. （B） （C） （D）【答案】B考点：1.数列的极限；2.等比数列求和.18．设、、是定义域为R的三个函数，对于命题：若、、均是增函数，则、、中至少有一个增函数；若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.（A）和均为真命题 （B）和均为假命题（C）为真命题，为假命题 （D）为假命题，为真命题 m]【答案】D【解析】试题分析：因为，所以,又、、均是以为周期的函数，所以，所以是周期为的函数，同理可得、均是以为周期的函数，正确；、、中至少有一个增函数包含一个增函数、两个减函数；两个增函数、一个减函数；三个增函数，其中当三个函数中一个为增函数、另两个为减函数时，由于减函数加减函数一定为减函数，所以不正确.选D. 考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.将边长为1的正方形（及其内部）绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小. 【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径，，再由三角形面积公式计算后即得.（2）设过点的母线与下底面交于点，根据，知或其补角为直线与所成的角，再结合题设条件确定，．得出即可．试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．由的长为，可知．，．从而直线与所成的角的大小为．考点：1.几何体的体积；2.空间角.[来 20．（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.有一块正方形菜地,所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到点或河边运走.于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图.求菜地内的分界线的方程;菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为.设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另有一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值.【答案】（1）（）；（2）矩形面积为，五边形面积为，五边形面积更接近于面积的“经验值”．【解析】试题分析：（1）由上的点到直线与到点的距离相等，知是以为焦点、以为准线的抛物线在正方形内的部分．（2）通过计算矩形面积，五边形面积，以及计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可．试题解析：（1）因为上的点到直线与到点的距离相等，所以是以为焦点、以为准线的抛物线在正方形内的部分，其方程为（）．（2）依题意，点的坐标为．所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为．矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”．考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积计算.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点.（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率. 【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设，根据题设条件得到，从而解得的值．（2）设，，直线与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据与双曲线交于两点，可得，且．再设的中点为，由即，从而得到，进而构建关于的方程求解即可．试题解析：（1）设．由，得．因为与双曲线交于两点，所以，且．设的中点为．由即，知，故．而，，，所以，得，故的斜率为．考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.平面向量的数量积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）由，得，从而得解．（2）将其转化为，讨论当、时，以及且时的情况即可．（3）讨论在上的单调性，再确定函数在区间上的最大值与最小值之差，从而得到，对任意成立．试题解析：（1）由，得，解得．（2），，当时，，经检验，满足题意．当时，，经检验，满足题意．当且时，，，．是原方程的解当且仅当，即；是原方程的解当且仅当，即．于是满足题意的．综上，的取值范围为．因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得．故的取值范围为．考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.[ （1）若具有性质，且，，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质，并说明理由；（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.【答案】（1）；（2）不具有性质，理由见解析；（3）见解析．【解析】试题分析：（1）根据已知条件，得到，结合求解即可．（2）根据的公差为，的公比为，写出通项公式，从而可得．通过计算，，，，即知不具有性质．（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明． 试题解析：（1）因为，所以，，．于是，又因为，解得．（2）的公差为，的公比为，所以，．．，但，，，所以不具有性质．[证]（3）充分性：当为常数列时，．对任意给定的，只要，则由，必有．充分性得证．[ 必要性：用反证法证明．假设不是常数列，则存在，使得，而．下面证明存在满足的，使得，但．设，取，使得，则，，故存在使得．考点：1.等差数列、等比数列的通项公式；2.充要条件的证明；3.反证法.