2015年浙江省高考数学【理】（含解析版）

2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015浙江）已知集合P={x|x22x0}，Q={x|1x2}，则（RP）Q=（）A．[0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015浙江）已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d0，dS40B．a1d0，dS40C．a1d0，dS40D．a1d0，dS404．（5分）（2015浙江）命题“nN*，f（n）N*且f（n）n”的否定形式是（）A．nN*，f（n）N*且f（n）nB．nN*，f（n）N*或f（n）nC．n0N*，f（n0）N*且f（n0）n0D．n0N*，f（n0）N*或f（n0）n05．（5分）（2015浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是（）A．B．C．D．6．（5分）（2015浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（AB）card（AB），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题：对任意有限集A，B，“AB”是“d（A，B）0”的充分必要条件；命题：对任意有限集A，B，C，d（A，C）d（A，B）+d（B，C）A．命题和命题都成立B．命题和命题都不成立C．命题成立，命题不成立D．命题不成立，命题成立7．（5分）（2015浙江）存在函数f（x）满足，对任意xR都有（）A．f（sin2x）=sinxB．f（sin2x）=x2+xC．f（x2+1）=|x+1|D．f（x2+2x）=|x+1|8．（5分）（2015浙江）如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD折成ACD，所成二面角ACDB的平面角为，则（）A．ADBB．ADBC．ACBD．ACB二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015浙江）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015浙江）已知函数f（x）=，则f（f（3））=，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015浙江）若a=log43，则2a+2a=．13．（4分）（2015浙江）如图，三棱锥ABCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015浙江）若实数x，y满足x2+y21，则|2x+y2|+|6x3y|的最小值是．15．（6分）（2015浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，yR，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015浙江）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015浙江）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D平面A1BC；（2）求二面角A1BDB1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，bR），记M（a，b）是|f（x）|在区间[1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|2时，M（a，b）2；（2）当a，b满足M（a，b）2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015浙江）已知数列{an}满足a1=且an+1=anan2（nN*）（1）证明：12（nN*）；（2）设数列{an2}的前n项和为Sn，证明（nN*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）考点：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有专题：集合．分析：求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．解答：解：由P中不等式变形得：x（x2）0，解得：x0或x2，即P=（，0][2，+），RP=（0，2），Q=（1，2]，（RP）Q=（1，2），故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+222=．故选：C．点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）考点：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．解答：解：设等差数列{an}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．d0，，，=0．故选：B．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）考点：命题的否定．菁优网版权所有专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：n0N*，f（n0）N*或f（n0）n0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）考点：直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．解答：解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=1，过A，B分别作AEDE于E，交y轴于N，BDDE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|1=|BF|1，|AN|=|AE|1=|AF|1，则===，故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）考点：复合命题的真假．菁优网版权所有专题：集合；简易逻辑．分析：命题根据充要条件分充分性和必要性判断即可，借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题：对任意有限集A，B，若“AB”，则ABAB，则card（AB）card（AB），故“d（A，B）0”成立，若d（A，B）0”，则card（AB）card（AB），则ABAB，故AB成立，故命题成立，命题，d（A，B）=card（AB）card（AB），d（B，C）=card（BC）card（BC），d（A，B）+d（B，C）=card（AB）card（AB）+card（BC）card（BC）=[card（AB）+card（BC）][card（AB）+card（BC）]card（AC）card（AC）=d（A，C），故命题成立，故选：A点评：本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）考点：函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A．取x=0，则sin2x=0，f（0）=0；取x=，则sin2x=0，f（0）=1；f（0）=0，和1，不符合函数的定义；不存在函数f（x），对任意xR都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=，则f（0）=2+；f（0）有两个值，不符合函数的定义；该选项错误； C．取x=1，则f（2）=2，取x=1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；该选项错误；D．令|x+1|=t，t0，则f（t21）=t；令t21=x，则t=；；即存在函数f（x）=，对任意xR，都有f（x2+2x）=|x+1|；该选项正确．故选：D．点评：本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）考点：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分AC=BC，ACBC两种情况讨论即可．解答：解：当AC=BC时，ADB=；当ACBC时，如图，点A投影在AE上，=AOE，连结AA，易得ADAAOA，ADBAOE，即ADB综上所述，ADB，故选：B．点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，焦距是2c=2，渐近线方程是y=x．故答案为：2；y=x．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）考点：函数的值．菁优网版权所有专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据已知函数可先求f（3）=1，然后代入可求f（f（3））；由于x1时，f（x）=，当x1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：f（x）=，f（3）=lg10=1，则f（f（3））=f（1）=0，当x1时，f（x）=，即最小值，当x1时，x2+11，（x）=lg（x2+1）0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．菁优网版权所有专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x）+，易得最小正周期，解不等式2k+2x2k+可得函数的单调递减区间．解答：解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1cos2x）+sin2x+1=sin（2x）+，原函数的最小正周期为T==，由2k+2x2k+可得k+xk+，函数的单调递减区间为[k+，k+]（kZ）故答案为：；[k+，k+]（kZ）点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）考点：对数的运算性质．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：直接把a代入2a+2a，然后利用对数的运算性质得答案．解答：解：a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2a=+=．故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）考点：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有专题：空间角．分析：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是EMC通过解三角形，求解即可．解答：解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则MEAN，异面直线AN，CM所成的角就是EMC，AN=2，ME==EN，MC=2，又ENNC，EC==，cosEMC===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）考点：函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：根据所给x，y的范围，可得|6x3y|=6x3y，再讨论直线2x+y2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．解答：解：由x2+y21，可得6x3y0，即|6x3y|=6x3y，如图直线2x+y2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y20，即|2+y2|=2x+y2，此时|2x+y2|+|6x3y|=（2x+y2）+（6x3y）=x2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y20，即|2+y2|=（2x+y2），此时|2x+y2|+|6x3y|=（2x+y2）+（6x3y）=83x4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y2|+|6x3y|的最小值为3．故答案为：3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）考点：空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有专题：创新题型；空间向量及应用．分析：由题意和数量积的运算可得=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|（|2=（x+）2+（y2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y2）2+t2取最小值1，由模长公式可得|．解答：解：=||||cos=cos=，=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，=（，，t），（）=（xy，，t），|（|2=（xy）2+（）2+t2=x2+xy+y24x5y+t2+7=（x+）2+（y2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2故答案为：1；2；2点评：本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）考点：余弦定理．菁优网版权所有专题：解三角形．分析：（1）由余弦定理可得：，已知b2a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由==3，可得c，即可得出b．解答：解：（1）A=，由余弦定理可得：，b2a2=bcc2，又b2a2=c2．bcc2=c2．b=c．可得，a2=b2=，即a=．cosC===．C（0，），sinC==．tanC==2．（2）==3，解得c=2．=3．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过==0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答：（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（，0，0），A（0，，0），D（0，，），B1（，，），=（0，，0），=（，，），=（，0，0），=（2，0，0），=（0，0，），=0，A1DOA1，又=0，A1DBC，又OA1BC=O，A1D平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），cos，===，又该二面角为钝角，二面角A1BDB1的平面角的余弦值为．点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）考点：二次函数在闭区间上的最值．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）2得到3a+b1且3ba1，进一步求出|a|+|b|的求值．解答：解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（1）=1a+b，对称轴为x=，因为|a|2，所以或1，所以函数f（x）在[1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（1）|}=max{|1+a+b|，|1a+b|}，所以M（a，b）（|1+a+b|+|1a+b|）|（1+a+b）（1a+b）||2a|2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x[1，1]．有2x2+ax+b2得到3a+b1且3ba1，易知|a|+|b|=max{|ab|，|a+b|}=3，在b=1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）考点：直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y22mny+n22=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得SOAB=，再利用均值不等式即可得出．解答：解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y22mny+n22=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，=4m2n24（m2+2）（n22）=8（m2n2+2）0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=m+n=，由于点P在直线y=mx+上，=+，，代入0，可得3m4+4m240，解得m2，或m．（2）直线AB与x轴交点纵坐标为n，SOAB==|n|=，由均值不等式可得：n2（m2n2+2）=，SAOB=，当且仅当n2=m2n2+2，即2n2=m2+2，又，解得m=，当且仅当m=时，SAOB取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）考点：数列的求和；数列与不等式的综合．菁优网版权所有专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过题意易得0an（nN*），利用anan+1=可得1，利用==2，即得结论；（2）通过=anan+1累加得Sn=an+1，利用数学归纳法可证明an（n2），从而，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0an（nN*），又a2=a1=，==2，又anan+1=，anan+1，1，==2，12（nN*）；（2）由已知，=anan+1，=an1an，…，=a1a2，累加，得Sn=++…+=a1an+1=an+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n2时，=．下面证明：an（n2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则ak+1=+，由二次函数单调性知：an+1+=，an+1+=，，即当n=k+1时仍然成立，故对n2，均有an，==，即（nN*）．点评：本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．