2016年浙江省高考数学【文】（含解析版）

2016年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题1．（5分）（2016浙江）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（UP）Q=（）A．{1}B．{3，5}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，5}2．（5分）（2016浙江）已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则（）A．mlB．mnC．nlD．mn3．（5分）（2016浙江）函数y=sinx2的图象是（）A．B．C．D．4．（5分）（2016浙江）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A．B．C．D．5．（5分）（2016浙江）已知a，b0且a1，b1，若logab1，则（）A．（a1）（b1）0B．（a1）（ab）0C．（b1）（ba）0D．（b1）（ba）06．（5分）（2016浙江）已知函数f（x）=x2+bx，则“b0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）（2016浙江）已知函数f（x）满足：f（x）|x|且f（x）2x，xR．（）A．若f（a）|b|，则abB．若f（a）2b，则abC．若f（a）|b|，则abD．若f（a）2b，则ab8．（5分）（2016浙江）如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，AnAn+1，nN*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，BnBn+1，nN*，（PQ表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为AnBnBn+1的面积，则（）A．{Sn}是等差数列B．{Sn2}是等差数列C．{dn}是等差数列D．{dn2}是等差数列二、填空题9．（6分）（2016浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3．10．（6分）（2016浙江）已知aR，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是，半径是．11．（6分）（2016浙江）已知2cos2x+sin2x=Asin（x+）+b（A0），则A=，b=．12．（6分）（2016浙江）设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a0，且f（x）f（a）=（xb）（xa）2，xR，则实数a=，b=．13．（4分）（2016浙江）设双曲线x2=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是．14．（4分）（2016浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90，沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是．15．（4分）（2016浙江）已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则||+||的最大值是．三、解答题16．（14分）（2016浙江）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．17．（15分）（2016浙江）设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，nN*．（）求通项公式an；（）求数列{|ann2|}的前n项和．18．（15分）（2016浙江）如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB=90，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（）求证：BF平面ACFD；（）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．19．（15分）（2016浙江）如图，设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|1，（）求p的值；（）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．20．（15分）（2016浙江）设函数f（x）=x3+，x[0，1]，证明：（）f（x）1x+x2（）f（x）．2016年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2016浙江）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（UP）Q=（）A．{1}B．{3，5}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，5}【分析】先求出UP，再得出（UP）Q．【解答】解：UP={2，4，6}，（UP）Q={2，4，6}{1，2，4}={1，2，4，6}．故选C．【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．2．（5分）（2016浙江）已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则（）A．mlB．mnC．nlD．mn【分析】由已知条件推导出l，再由n，推导出nl．【解答】解：互相垂直的平面，交于直线l，直线m，n满足m，m或m或m，l，n，nl．故选：C．【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3．（5分）（2016浙江）函数y=sinx2的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可．【解答】解：sin（x）2=sinx2，函数y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C；由y=sinx2=0，则x2=k，k0，则x=，k0，故函数有无穷多个零点，排除B，故选：D【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）（2016浙江）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A．B．C．D．【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离．【解答】解：作出平面区域如图所示：当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等．联立方程组，解得A（2，1），联立方程组，解得B（1，2）．两条平行线分别为y=x1，y=x+1，即xy1=0，xy+1=0．平行线间的距离为d==，故选：B．【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题．5．（5分）（2016浙江）已知a，b0且a1，b1，若logab1，则（）A．（a1）（b1）0B．（a1）（ab）0C．（b1）（ba）0D．（b1）（ba）0【分析】根据对数的运算性质，结合a1或0a1进行判断即可．【解答】解：若a1，则由logab1得logablogaa，即ba1，此时ba0，b1，即（b1）（ba）0，若0a1，则由logab1得logablogaa，即ba1，此时ba0，b1，即（b1）（ba）0，综上（b1）（ba）0，故选：D．【点评】本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础．6．（5分）（2016浙江）已知函数f（x）=x2+bx，则“b0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出f（x）的最小值及极小值点，分别把“b0”和“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断．【解答】解：f（x）的对称轴为x=，fmin（x）=．（1）若b0，则，当f（x）=时，f（f（x））取得最小值f（）=，即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．“b0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．（2）若f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等，则fmin（x），即，解得b0或b2．“b0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件．故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题．7．（5分）（2016浙江）已知函数f（x）满足：f（x）|x|且f（x）2x，xR．（）A．若f（a）|b|，则abB．若f（a）2b，则abC．若f（a）|b|，则abD．若f（a）2b，则ab【分析】根据不等式的性质，分别进行递推判断即可．【解答】解：A．若f（a）|b|，则由条件f（x）|x|得f（a）|a|，即|a||b|，则ab不一定成立，故A错误，B．若f（a）2b，则由条件知f（x）2x，即f（a）2a，则2af（a）2b，则ab，故B正确，C．若f（a）|b|，则由条件f（x）|x|得f（a）|a|，则|a||b|不一定成立，故C错误，D．若f（a）2b，则由条件f（x）2x，得f（a）2a，则2a2b，不一定成立，即ab不一定成立，故D错误，故选：B【点评】本题主要考查不等式的判断和证明，根据条件，结合不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．8．（5分）（2016浙江）如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，AnAn+1，nN*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，BnBn+1，nN*，（PQ表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为AnBnBn+1的面积，则（）A．{Sn}是等差数列B．{Sn2}是等差数列C．{dn}是等差数列D．{dn2}是等差数列【分析】设锐角的顶点为O，再设|OA1|=a，|OB1|=b，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，b不确定，判断C，D不正确，设AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，运用三角形相似知识，hn+hn+2=2hn+1，由Sn=dhn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，进而得到数列{Sn}为等差数列．【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=b，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，b不确定，则{dn}不一定是等差数列，{dn2}不一定是等差数列，设AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，由三角形的相似可得==，==，两式相加可得，==2，即有hn+hn+2=2hn+1，由Sn=dhn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，即为Sn+2Sn+1=Sn+1Sn，则数列{Sn}为等差数列．故选：A．【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题．二、填空题9．（6分）（2016浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是80cm2，体积是40cm3．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体下部为长方体，上部为正方体的组合体，结合图中数据求出它的表面积和体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2，表面积为244+242=64cm2，体积为242=32cm3；上部为正方体，其棱长为2，表面积是622=24 cm2，体积为23=8cm3；所以几何体的表面积为64+24222=80cm2，体积为32+8=40cm3．故答案为：80；40．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，也考查了空间想象和计算能力，是基础题．10．（6分）（2016浙江）已知aR，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是（2，4），半径是5．【分析】由已知可得a2=a+20，解得a=1或a=2，把a=1代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把a=2代入原方程，由D2+E24F0说明方程不表示圆，则答案可求．【解答】解：方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，a2=a+20，解得a=1或a=2．当a=1时，方程化为x2+y2+4x+8y5=0，配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（2，4），半径为5；当a=2时，方程化为，此时，方程不表示圆，故答案为：（2，4），5．【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．11．（6分）（2016浙江）已知2cos2x+sin2x=Asin（x+）+b（A0），则A=，b=1．【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．【解答】解：2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+（cos2x+sin2x）+1=sin（2x+）+1，A=，b=1，故答案为：；1．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键．12．（6分）（2016浙江）设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a0，且f（x）f（a）=（xb）（xa）2，xR，则实数a=2，b=1．【分析】根据函数解析式化简f（x）f（a），再化简（xb）（xa）2，根据等式两边对应项的系数相等列出方程组，求出a、b的值．【解答】解：f（x）=x3+3x2+1，f（x）f（a）=x3+3x2+1（a3+3a2+1）=x3+3x2（a3+3a2）（xb）（xa）2=（xb）（x22ax+a2）=x3（2a+b）x2+（a2+2ab）xa2b，且f（x）f（a）=（xb）（xa）2，，解得或（舍去），故答案为：2；1．【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题．13．（4分）（2016浙江）设双曲线x2=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是．【分析】由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出PF2F1和F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值，可得F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围．【解答】解：如图，由双曲线x2=1，得a2=1，b2=3，．不妨以P在双曲线右支为例，当PF2x轴时，把x=2代入x2=1，得y=3，即|PF2|=3，此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8；由PF1PF2，得，又|PF1||PF2|=2，两边平方得：，|PF1||PF2|=6，联立解得：，此时|PF1|+|PF2|=．使F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（）．故答案为：（）．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．14．（4分）（2016浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90，沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是．【分析】如图所示，取AC的中点O，AB=BC=3，可得BOAC，在RtACD中，AC=．作DEAC，垂足为E，DE=．CO=，CE==，EO=COCE=．过点B作BFBO，作FEBO交BF于点F，则EFAC．连接DF．FBD为直线AC与BD所成的角．则四边形BOEF为矩形，BF=EO=．EF=BO=．则FED为二面角DCAB的平面角，设为．利用余弦定理求出DF2的最小值即可得出．【解答】解：如图所示，取AC的中点O，AB=BC=3，BOAC，在RtACD中，=．作DEAC，垂足为E，DE==．CO=，CE===，EO=COCE=．过点B作BFBO，作FEBO交BF于点F，则EFAC．连接DF．FBD为直线AC与BD所成的角．则四边形BOEF为矩形，BF=EO=．EF=BO==．则FED为二面角DCAB的平面角，设为．则DF2=+2cos=5cos，cos=1时取等号．DB的最小值==2．直线AC与BD所成角的余弦的最大值===．故答案为：．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．15．（4分）（2016浙江）已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则||+||的最大值是．【分析】由题意可知，||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，由此可知，当与共线时，||+||取得最大值，即．【解答】解：||+||=，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值．=．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题．三、解答题16．（14分）（2016浙江）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．【分析】（1）由b+c=2acosB，利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB，而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入化简可得：sinB=sin（AB），由A，B（0，），可得0AB，即可证明．（II）cosB=，可得sinB=．cosA=cos2B=2cos2B1，sinA=．利用cosC=cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB即可得出．【解答】（1）证明：b+c=2acosB，sinB+sinC=2sinAcosB，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，sinB=sinAcosBcosAsinB=sin（AB），由A，B（0，），0AB，B=AB，或B=（AB），化为A=2B，或A=（舍去）．A=2B．（II）解：cosB=，sinB==．cosA=cos2B=2cos2B1=，sinA==．cosC=cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB=+=．【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）（2016浙江）设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，nN*．（）求通项公式an；（）求数列{|ann2|}的前n项和．【分析】（）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列{an}是公比q=3的等比数列，即可求通项公式an；（）讨论n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|ann2|}的前n项和．【解答】解：（）S2=4，an+1=2Sn+1，nN*．a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得a1=1，a2=3，当n2时，an+1=2Sn+1，an=2Sn1+1，两式相减得an+1an=2（SnSn1）=2an，即an+1=3an，当n=1时，a1=1，a2=3，满足an+1=3an，=3，则数列{an}是公比q=3的等比数列，则通项公式an=3n1．（）ann2=3n1n2，设bn=|ann2|=|3n1n2|，则b1=|3012|=2，b2=|322|=1，当n3时，3n1n20，则bn=|ann2|=3n1n2，此时数列{|ann2|}的前n项和Tn=3+=，则Tn==．【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{an}是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和．18．（15分）（2016浙江）如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB=90，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（）求证：BF平面ACFD；（）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．【分析】（）根据三棱台的定义，可知分别延长AD，BE，CF，会交于一点，并设该点为K，并且可以由平面BCFE平面ABC及ACB=90可以得出AC平面BCK，进而得出BFAC．而根据条件可以判断出点E，F分别为边BK，CK的中点，从而得出BCK为等边三角形，进而得出BFCK，从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF平面ACFD；（）由BF平面ACFD便可得出BDF为直线BD和平面ACFD所成的角，根据条件可以求出BF=，DF=，从而在RtBDF中可以求出BD的值，从而得出cosBDF的值，即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值．【解答】解：（）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：平面BCFE平面ABC，且ACBC；AC平面BCK，BF平面BCK；BFAC；又EFBC，BE=EF=FC=1，BC=2；BCK为等边三角形，且F为CK的中点；BFCK，且ACCK=C；BF平面ACFD；（）BF平面ACFD；BDF是直线BD和平面ACFD所成的角；F为CK中点，且DFAC；DF为ACK的中位线，且AC=3；；又；在RtBFD中，，cos；即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为．【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义．19．（15分）（2016浙江）如图，设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|1，（）求p的值；（）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．【分析】（）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p值；（）设出直线AF的方程，与抛物线联立，求出B的坐标，求出直线AB，FN的斜率，从而求出直线BN的方程，根据A、M、N三点共线，可求出M的横坐标的表达式，从而求出m的取值范围．【解答】解：（）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=1的距离，由抛物线定义得，，即p=2；（）由（）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0），可设（t2，2t），t0，t1，AF不垂直y轴，设直线AF：x=sy+1（s0），联立，得y24sy4=0．y1y2=4，B（），又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而得FN：，直线BN：y=，则N（），设M（m，0），由A、M、N三点共线，得，于是m==，得m0或m2．经检验，m0或m2满足题意．点M的横坐标的取值范围为（，0）（2，+）．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属中档题．20．（15分）（2016浙江）设函数f（x）=x3+，x[0，1]，证明：（）f（x）1x+x2（）f（x）．【分析】（）根据题意，1x+x2x3=，利用放缩法得，即可证明结论成立；（）利用0x1时x3x，证明f（x），再利用配方法证明f（x），结合函数的最小值得出f（x），即证结论成立．【解答】解：（）证明：因为f（x）=x3+，x[0，1]，且1x+x2x3==，所以，所以1x+x2x3，即f（x）1x+x2；（）证明：因为0x1，所以x3x，所以f（x）=x3+x+=x++=+；由（）得，f（x）1x+x2=+，且f（）=+=，所以f（x）；综上，f（x）．【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．