2016年浙江省高考数学试卷(文科)一、选择题1.(5分)(2016浙江)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(UP)Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}2.(5分)(2016浙江)已知互相垂直的平面,交于直线l,若直线m,n满足m,n,则()A.mlB.mnC.nlD.mn3.(5分)(2016浙江)函数y=sinx2的图象是()A.B.C.D.4.(5分)(2016浙江)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.5.(5分)(2016浙江)已知a,b0且a1,b1,若logab1,则()A.(a1)(b1)0B.(a1)(ab)0C.(b1)(ba)0D.(b1)(ba)06.(5分)(2016浙江)已知函数f(x)=x2+bx,则“b0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(5分)(2016浙江)已知函数f(x)满足:f(x)|x|且f(x)2x,xR.()A.若f(a)|b|,则abB.若f(a)2b,则abC.若f(a)|b|,则abD.若f(a)2b,则ab8.(5分)(2016浙江)如图,点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+1,nN*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+1,nN*,(PQ表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为AnBnBn+1的面积,则()A.{Sn}是等差数列B.{Sn2}是等差数列C.{dn}是等差数列D.{dn2}是等差数列二、填空题9.(6分)(2016浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.10.(6分)(2016浙江)已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.11.(6分)(2016浙江)已知2cos2x+sin2x=Asin(x+)+b(A0),则A=,b=.12.(6分)(2016浙江)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a0,且f(x)f(a)=(xb)(xa)2,xR,则实数a=,b=.13.(4分)(2016浙江)设双曲线x2=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.14.(4分)(2016浙江)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,ADC=90,沿直线AC将ACD翻折成ACD,直线AC与BD所成角的余弦的最大值是.15.(4分)(2016浙江)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.三、解答题16.(14分)(2016浙江)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.17.(15分)(2016浙江)设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,nN*.()求通项公式an;()求数列{|ann2|}的前n项和.18.(15分)(2016浙江)如图,在三棱台ABCDEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.()求证:BF平面ACFD;()求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.19.(15分)(2016浙江)如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|1,()求p的值;()若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.20.(15分)(2016浙江)设函数f(x)=x3+,x[0,1],证明:()f(x)1x+x2()f(x).2016年浙江省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)(2016浙江)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(UP)Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}【分析】先求出UP,再得出(UP)Q.【解答】解:UP={2,4,6},(UP)Q={2,4,6}{1,2,4}={1,2,4,6}.故选C.【点评】本题考查了集合的运算,属于基础题.2.(5分)(2016浙江)已知互相垂直的平面,交于直线l,若直线m,n满足m,n,则()A.mlB.mnC.nlD.mn【分析】由已知条件推导出l,再由n,推导出nl.【解答】解:互相垂直的平面,交于直线l,直线m,n满足m,m或m或m,l,n,nl.故选:C.【点评】本题考查两直线关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.3.(5分)(2016浙江)函数y=sinx2的图象是()A.B.C.D.【分析】根据函数奇偶性的性质,以及函数零点的个数进行判断排除即可.【解答】解:sin(x)2=sinx2,函数y=sinx2是偶函数,即函数的图象关于y轴对称,排除A,C;由y=sinx2=0,则x2=k,k0,则x=,k0,故函数有无穷多个零点,排除B,故选:D【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键.比较基础.4.(5分)(2016浙江)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.【分析】作出平面区域,找出距离最近的平行线的位置,求出直线方程,再计算距离.【解答】解:作出平面区域如图所示:当直线y=x+b分别经过A,B时,平行线间的距离相等.联立方程组,解得A(2,1),联立方程组,解得B(1,2).两条平行线分别为y=x1,y=x+1,即xy1=0,xy+1=0.平行线间的距离为d==,故选:B.【点评】本题考查了平面区域的作法,距离公式的应用,属于基础题.5.(5分)(2016浙江)已知a,b0且a1,b1,若logab1,则()A.(a1)(b1)0B.(a1)(ab)0C.(b1)(ba)0D.(b1)(ba)0【分析】根据对数的运算性质,结合a1或0a1进行判断即可.【解答】解:若a1,则由logab1得logablogaa,即ba1,此时ba0,b1,即(b1)(ba)0,若0a1,则由logab1得logablogaa,即ba1,此时ba0,b1,即(b1)(ba)0,综上(b1)(ba)0,故选:D.【点评】本题主要考查不等式的应用,根据对数函数的性质,利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键.比较基础.6.(5分)(2016浙江)已知函数f(x)=x2+bx,则“b0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】求出f(x)的最小值及极小值点,分别把“b0”和“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”当做条件,看能否推出另一结论即可判断.【解答】解:f(x)的对称轴为x=,fmin(x)=.(1)若b0,则,当f(x)=时,f(f(x))取得最小值f()=,即f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等.“b0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分条件.(2)若f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等,则fmin(x),即,解得b0或b2.“b0”不是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的必要条件.故选A.【点评】本题考查了二次函数的性质,简易逻辑关系的推导,属于基础题.7.(5分)(2016浙江)已知函数f(x)满足:f(x)|x|且f(x)2x,xR.()A.若f(a)|b|,则abB.若f(a)2b,则abC.若f(a)|b|,则abD.若f(a)2b,则ab【分析】根据不等式的性质,分别进行递推判断即可.【解答】解:A.若f(a)|b|,则由条件f(x)|x|得f(a)|a|,即|a||b|,则ab不一定成立,故A错误,B.若f(a)2b,则由条件知f(x)2x,即f(a)2a,则2af(a)2b,则ab,故B正确,C.若f(a)|b|,则由条件f(x)|x|得f(a)|a|,则|a||b|不一定成立,故C错误,D.若f(a)2b,则由条件f(x)2x,得f(a)2a,则2a2b,不一定成立,即ab不一定成立,故D错误,故选:B【点评】本题主要考查不等式的判断和证明,根据条件,结合不等式的性质是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.8.(5分)(2016浙江)如图,点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+1,nN*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+1,nN*,(PQ表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为AnBnBn+1的面积,则()A.{Sn}是等差数列B.{Sn2}是等差数列C.{dn}是等差数列D.{dn2}是等差数列【分析】设锐角的顶点为O,再设|OA1|=a,|OB1|=b,|AnAn+1|=|An+1An+2|=b,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d,由于a,b不确定,判断C,D不正确,设AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn,运用三角形相似知识,hn+hn+2=2hn+1,由Sn=dhn,可得Sn+Sn+2=2Sn+1,进而得到数列{Sn}为等差数列.【解答】解:设锐角的顶点为O,|OA1|=a,|OB1|=b,|AnAn+1|=|An+1An+2|=b,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d,由于a,b不确定,则{dn}不一定是等差数列,{dn2}不一定是等差数列,设AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn,由三角形的相似可得==,==,两式相加可得,==2,即有hn+hn+2=2hn+1,由Sn=dhn,可得Sn+Sn+2=2Sn+1,即为Sn+2Sn+1=Sn+1Sn,则数列{Sn}为等差数列.故选:A.【点评】本题考查等差数列的判断,注意运用三角形的相似和等差数列的性质,考查化简整理的推理能力,属于中档题.二、填空题9.(6分)(2016浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是80cm2,体积是40cm3.【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体下部为长方体,上部为正方体的组合体,结合图中数据求出它的表面积和体积即可.【解答】解:根据几何体的三视图,得;该几何体是下部为长方体,其长和宽都为4,高为2,表面积为244+242=64cm2,体积为242=32cm3;上部为正方体,其棱长为2,表面积是622=24 cm2,体积为23=8cm3;所以几何体的表面积为64+24222=80cm2,体积为32+8=40cm3.故答案为:80;40.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题,也考查了空间想象和计算能力,是基础题.10.(6分)(2016浙江)已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是(2,4),半径是5.【分析】由已知可得a2=a+20,解得a=1或a=2,把a=1代入原方程,配方求得圆心坐标和半径,把a=2代入原方程,由D2+E24F0说明方程不表示圆,则答案可求.【解答】解:方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,a2=a+20,解得a=1或a=2.当a=1时,方程化为x2+y2+4x+8y5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圆的圆心坐标为(2,4),半径为5;当a=2时,方程化为,此时,方程不表示圆,故答案为:(2,4),5.【点评】本题考查圆的一般方程,考查圆的一般方程化标准方程,是基础题.11.(6分)(2016浙江)已知2cos2x+sin2x=Asin(x+)+b(A0),则A=,b=1.【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边,即可得到答案.【解答】解:2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+(cos2x+sin2x)+1=sin(2x+)+1,A=,b=1,故答案为:;1.【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用,熟练掌握公式是解题的关键.12.(6分)(2016浙江)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a0,且f(x)f(a)=(xb)(xa)2,xR,则实数a=2,b=1.【分析】根据函数解析式化简f(x)f(a),再化简(xb)(xa)2,根据等式两边对应项的系数相等列出方程组,求出a、b的值.【解答】解:f(x)=x3+3x2+1,f(x)f(a)=x3+3x2+1(a3+3a2+1)=x3+3x2(a3+3a2)(xb)(xa)2=(xb)(x22ax+a2)=x3(2a+b)x2+(a2+2ab)xa2b,且f(x)f(a)=(xb)(xa)2,,解得或(舍去),故答案为:2;1.【点评】本题考查函数与方程的应用,考查化简能力和方程思想,属于中档题.13.(4分)(2016浙江)设双曲线x2=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.【分析】由题意画出图形,以P在双曲线右支为例,求出PF2F1和F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值,可得F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围.【解答】解:如图,由双曲线x2=1,得a2=1,b2=3,.不妨以P在双曲线右支为例,当PF2x轴时,把x=2代入x2=1,得y=3,即|PF2|=3,此时|PF1|=|PF2|+2=5,则|PF1|+|PF2|=8;由PF1PF2,得,又|PF1||PF2|=2,两边平方得:,|PF1||PF2|=6,联立解得:,此时|PF1|+|PF2|=.使F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是().故答案为:().【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查双曲线定义的应用,考查数学转化思想方法,是中档题.14.(4分)(2016浙江)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,ADC=90,沿直线AC将ACD翻折成ACD,直线AC与BD所成角的余弦的最大值是.【分析】如图所示,取AC的中点O,AB=BC=3,可得BOAC,在RtACD中,AC=.作DEAC,垂足为E,DE=.CO=,CE==,EO=COCE=.过点B作BFBO,作FEBO交BF于点F,则EFAC.连接DF.FBD为直线AC与BD所成的角.则四边形BOEF为矩形,BF=EO=.EF=BO=.则FED为二面角DCAB的平面角,设为.利用余弦定理求出DF2的最小值即可得出.【解答】解:如图所示,取AC的中点O,AB=BC=3,BOAC,在RtACD中,=.作DEAC,垂足为E,DE==.CO=,CE===,EO=COCE=.过点B作BFBO,作FEBO交BF于点F,则EFAC.连接DF.FBD为直线AC与BD所成的角.则四边形BOEF为矩形,BF=EO=.EF=BO==.则FED为二面角DCAB的平面角,设为.则DF2=+2cos=5cos,cos=1时取等号.DB的最小值==2.直线AC与BD所成角的余弦的最大值===.故答案为:.【点评】本题考查了空间位置关系、空间角,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.15.(4分)(2016浙江)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.【分析】由题意可知,||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,由此可知,当与共线时,||+||取得最大值,即.【解答】解:||+||=,其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,当与共线时,取得最大值.=.故答案为:.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量在向量方向上的投影的概念,考查学生正确理解问题的能力,是中档题.三、解答题16.(14分)(2016浙江)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.【分析】(1)由b+c=2acosB,利用正弦定理可得:sinB+sinC=2sinAcosB,而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代入化简可得:sinB=sin(AB),由A,B(0,),可得0AB,即可证明.(II)cosB=,可得sinB=.cosA=cos2B=2cos2B1,sinA=.利用cosC=cos(A+B)=cosAcosB+sinAsinB即可得出.【解答】(1)证明:b+c=2acosB,sinB+sinC=2sinAcosB,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,sinB=sinAcosBcosAsinB=sin(AB),由A,B(0,),0AB,B=AB,或B=(AB),化为A=2B,或A=(舍去).A=2B.(II)解:cosB=,sinB==.cosA=cos2B=2cos2B1=,sinA==.cosC=cos(A+B)=cosAcosB+sinAsinB=+=.【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.(15分)(2016浙江)设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,nN*.()求通项公式an;()求数列{|ann2|}的前n项和.【分析】()根据条件建立方程组关系,求出首项,利用数列的递推关系证明数列{an}是公比q=3的等比数列,即可求通项公式an;()讨论n的取值,利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|ann2|}的前n项和.【解答】解:()S2=4,an+1=2Sn+1,nN*.a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1,解得a1=1,a2=3,当n2时,an+1=2Sn+1,an=2Sn1+1,两式相减得an+1an=2(SnSn1)=2an,即an+1=3an,当n=1时,a1=1,a2=3,满足an+1=3an,=3,则数列{an}是公比q=3的等比数列,则通项公式an=3n1.()ann2=3n1n2,设bn=|ann2|=|3n1n2|,则b1=|3012|=2,b2=|322|=1,当n3时,3n1n20,则bn=|ann2|=3n1n2,此时数列{|ann2|}的前n项和Tn=3+=,则Tn==.【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算,根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{an}是等比数列是解决本题的关键.求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和.18.(15分)(2016浙江)如图,在三棱台ABCDEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.()求证:BF平面ACFD;()求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【分析】()根据三棱台的定义,可知分别延长AD,BE,CF,会交于一点,并设该点为K,并且可以由平面BCFE平面ABC及ACB=90可以得出AC平面BCK,进而得出BFAC.而根据条件可以判断出点E,F分别为边BK,CK的中点,从而得出BCK为等边三角形,进而得出BFCK,从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF平面ACFD;()由BF平面ACFD便可得出BDF为直线BD和平面ACFD所成的角,根据条件可以求出BF=,DF=,从而在RtBDF中可以求出BD的值,从而得出cosBDF的值,即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值.【解答】解:()证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示:平面BCFE平面ABC,且ACBC;AC平面BCK,BF平面BCK;BFAC;又EFBC,BE=EF=FC=1,BC=2;BCK为等边三角形,且F为CK的中点;BFCK,且ACCK=C;BF平面ACFD;()BF平面ACFD;BDF是直线BD和平面ACFD所成的角;F为CK中点,且DFAC;DF为ACK的中位线,且AC=3;;又;在RtBFD中,,cos;即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为.【点评】考查三角形中位线的性质,等边三角形的中线也是高线,面面垂直的性质定理,以及线面垂直的判定定理,线面角的定义及求法,直角三角形边的关系,三角函数的定义.19.(15分)(2016浙江)如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|1,()求p的值;()若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.【分析】()利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程,进一步求得p值;()设出直线AF的方程,与抛物线联立,求出B的坐标,求出直线AB,FN的斜率,从而求出直线BN的方程,根据A、M、N三点共线,可求出M的横坐标的表达式,从而求出m的取值范围.【解答】解:()由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=1的距离,由抛物线定义得,,即p=2;()由()得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设(t2,2t),t0,t1,AF不垂直y轴,设直线AF:x=sy+1(s0),联立,得y24sy4=0.y1y2=4,B(),又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为,从而得FN:,直线BN:y=,则N(),设M(m,0),由A、M、N三点共线,得,于是m==,得m0或m2.经检验,m0或m2满足题意.点M的横坐标的取值范围为(,0)(2,+).【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查数学转化思想方法,属中档题.20.(15分)(2016浙江)设函数f(x)=x3+,x[0,1],证明:()f(x)1x+x2()f(x).【分析】()根据题意,1x+x2x3=,利用放缩法得,即可证明结论成立;()利用0x1时x3x,证明f(x),再利用配方法证明f(x),结合函数的最小值得出f(x),即证结论成立.【解答】解:()证明:因为f(x)=x3+,x[0,1],且1x+x2x3==,所以,所以1x+x2x3,即f(x)1x+x2;()证明:因为0x1,所以x3x,所以f(x)=x3+x+=x++=+;由()得,f(x)1x+x2=+,且f()=+=,所以f(x);综上,f(x).【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值,分段函数等基础知识,也考查了推理与论证,分析问题与解决问题的能力,是综合性题目.
2016年浙江省高考数学【文】(含解析版)
2024-01-06·17页·332.5 K
VIP会员专享最低仅需0.2元/天
VIP会员免费下载,付费最高可省50%
开通VIP
导出为PDF
图片预览模式
文字预览模式
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报
预览说明:图片预览排版和原文档一致,但图片尺寸过小时会导致预览不清晰,文字预览已重新排版并隐藏图片