2014年浙江省高考数学【理】（含解析版）

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，,则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是( )A. 90 B. 129 C. 132 D. 1384. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）A. 向右平移 个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 5.在的展开式中,记项的系数，则= （ ）A. 45 B. 60 C. 120 D. 2106. 已知函数 ，且（ ）A. B. C. D. 7. 在同一直角坐标系中，函数， 的图像可能是（ ）8. 记，，设为平面向量，则（ ）A． B. C. D. 9. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.（a）放入 个球后，甲盒中含有红球的个数记为；（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为.则 ( )A. B. C. D. 10. 设函数，，，， ，记， 则 ( )A. B. C. D. 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11. 若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12. 随机变量的取值为0,1,2，若，，则=________.13.当实数满足时，恒成立，则实数的取值范围是________.14. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数若，则实数的取值范围是______16.设直线() 与双曲线（）两条渐近线分别交于点A，B.若点满足,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小.若 ，，,则的最大值是 (仰角 为直线AP与平面ABC所成角) 三. 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.（本题满分14分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 （）求角C的大小；（）若 ，求ABC的面积．19.（本题满分14分）已知数列和满足.若为等比数列，且 () 求与 ；() 设.记数列的前项和为,（i）求；（ii）求正整数，使得对任意均有.20.（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面 ,，,,. () 证明：平面;() 求二面角的大小.21(本题满分15分)如图，设椭圆C:动直线与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.() 已知直线的斜率为，用表示点P的坐标；() 若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.（本题满分14分）已知函数() 若在上的最大值和最小值分别记为，求；() 设若对恒成立，求的取值范围.2014年高考浙江理科数学试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【解析】=，【答案】B2.【解析】当时，，反之，即 ，则 解得 或【答案】A3.【解析】由三视图可知直观图左边一个横放的三棱柱右侧一个长方体，故几何体的表面积为： .【答案】D4.【解析】=而= 由 ，即故只需将的图象向右平移 个单位. 故选C【答案】C5.【解析】令 ，由题意知即为 展开式中 的系数，故=，故选C【答案】C6.【解析】由得 解得 ，所以 ,由 得 ，即，故选C【答案】C7.【解析】函数，分别的幂函数与对数函数答案A中没有幂函数的图像, 不符合；答案B中，中 ，中 ，不符合；答案C中，中，中，不符合；答案D中，中，中，符合. 故选D 【答案】D8.【解析】由向量运算的平行四边形法可知与的大小不确定，平行四边形法可知所对的角大于或等于 ，由余弦定理知，（或）.【答案】D9.【解析1】 ， = = ，故 又 ， 又=== 所以 ，故选A【答案】A【解析2】：在解法1中取 ，计算后再比较。10.【解析】由 ，故 由 故 = 故 ，故选B【答案】B【解析2】估算法： 的几何意义为将区间 等分为99个小区间，每个小区间的端点的函数值之差的绝对值之和.如图为将函数 的区间 等分为4个小区间的情形，因 在上递增，此时 =，同理对题中给出的 同样有 ；而略小于 ，略小于 ，所以估算得【答案】B填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.【解析】第一次运行结果 第二次运行结果第三次运行结果第四次运行结果第五次运行结果012P此时 ，输出 ，【答案】6 12.【解析】设 时的概率为，的分布列为 由 ，解得 012P的分布列为即为故 . 【答案】 13.【解析】作出不等式组所表示的区域如图，由恒成立，故 三点坐标代入，均成立得 解得 ，实数的取值范围是 ， 【答案】【解析2】作出不等式组所表示的区域如图，由得，由图分析可知， 且在 点取得最小值，在 取得最大值，故 得，故实数的取值范围是 ， 【答案】14.【解析1】不同的获奖分两种，一是有一人获两张奖券，一人获一张奖券，共有 二是有三人各获得一张奖券，共有 ，因此不同的获奖情况共有 种【解析2】将一、二、三等奖各1张分给4个人有 种分法，其中三张奖券都分给一个人的有4种分法，因此不同的获奖情况共有644=60种.【答案】6015.【解析】由题意 或 ，解得 当 或 解得 【答案】 16.【解析1】由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为 和 ，分别与直线： 联立方程组，解得，,，设AB中点为，由 得，则 即 ，PQ与已知直线垂直， ，即 即得 ，即，即 ，所以 【解析2】不妨设 ，渐近线方程为即 由 消去 得 设AB中点为，由韦达定理得：…… ，又 ，由得 即得得 代入得得 ，所以 ，所以 ，得 【答案】17.【解析1】：AB=15cm，AC=25cm，ABC=90，BC=20cm，过P作PPBC，交BC于P，1当P在线段BC上时，连接AP，则 设BP=x，则CP=20-x，（ ）由BCM=30，得在直角ABP中， 令，则函数在x[0，20]单调递减，x=0时， 取得最大值为2当P在线段CB的延长线上时，连接AP，则设BP=x，则CP=20+x，（ ）由BCM=30，得在直角ABP中， ，令，则，所以，当 时 ；当 时 所以当 时此时时， 取得最大值为 综合1，2可知 取得最大值为【解析2】：如图以B为原点，BA、BC所在的直线分别为x,y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，AB=15cm，AC=25cm，ABC=90，BC=20cm，由BCM=30，可设 （其中 ）， ，，所以设()，所以，当 时 ；当 时 所以当 时所以 取得最大值为【解析3】:分析知，当 取得最大时，即最大，最大值即为平面ACM与地面ABC所成的锐二面角的度量值，如图，过B在面BCM内作BDBC交CM于D，过B作BHAC于H，连DH，则BHD即为平面ACM与地面ABC所成的二面角的平面角， 的最大值即为 ，在 中，由等面积法可得=12， 所以 = 三. 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.【解析】：（）由题得 ，即 由 得 ，又 ，得即 ，所以 （），， ，得 由 得 ，从而 故 = 所以，ABC的面积为 19.【解析】：（） ，当n2，nN*时，，由知：当 时， ，令n=3，则有 b3=6+b2， a3=8．{an}为等比数列，且a1=2，{an}的公比为q，则 由题意知an0，q0，q=2．an2n（nN*）．又由，得：即bn=n（n+1）（nN*）．（）（i） = = = = （ii）因为c1=0，c20，c30，c40；当n5时， 而 ，得 所以，当n5时，cn0，综上，对任意nN*恒有 ，故k=4．20.证明：（）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC= ，由 ，AB=2得 ，即ACBC，又平面ABC平面BCDE，从而AC平面BCDE，所以ACDE，又DEDC，从而DE平面ACD；()【方法1】作BFAD，与AD交于点F，过点F作FGDE，与AB交于点G，连接BG，由（）知DEAD，则FGAD，所以BFG就是二面角B-AD-E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BDBC，又平面ABC平面BCDE，得BD平面ABC，从而BDAB，由于AC平面BCDE，得ACCD．在RtACD中，由DC=2, ，得 ；在RtAED中，由ED=1，得 ；在RtABD中，由 ，AB=2，得 ， ，从而 ，在ABE，ABG中，利用余弦定理分别可得 ， ．在BFG中, ，所以，BFG= ，即二面角B-AD-E的大小为 .【方法2】以D的原点，分别以射线DE，DC为x,y轴的正半轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示.由题意知各点坐标如下： ， ， ， ， .设平面ADE的法向量为 平面ABD的法向量为，可算得： ， ， 由 即 ，可取 由即可取于是 由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B-AD-E的大小为21.【解析】：（）【方法1】设直线l的方程为 ，由 ，消去y得 由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故=0，即，解得点P的坐标为 又点P在第一象限，故点P的坐标为【方法2】作变换 ，则椭圆C：变为圆 ： 切点 变为点 ，切线（ 变为 .在圆 中设直线 的方程为（ ） ，由 解得 即 ，由于 ，所以 ，得 ，即 代入得 即，利用逆变换代入即得： （）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离整理得: 因为，所以当且仅当 时等号成立．所以，点P到直线 的距离的最大值为 ．23.【解析】：（） ,，由于 （）当 时，有 ，故 此时，f（x）在上是增函数，因此 ， ，故 （）当时，若x（a，1），，在（a，1）上是增函数；若x（-1，a），，在（-1，a）上是减函数， ， 由于 ，因此当 时， ；当 时，；（）当时，有，故，此时 在上是减函数，因此，，故；综上，（）令，则，因为[f（x）+b]24对x[-1，1]恒成立，即对x[-1，1]恒成立，所以由（）知，（）当时，在上是增函数， 在上的最大值是，最小值，则且矛盾；（）当 时，在上的最小值是，最大值是，所以且，从而 且令，则， 在 上是增函数，故，因此 （）当 时，在上的最小值是，最大值是，所以由且，解得 ()当时，在上的最大值是，最小值是，所以由且，解得3a+b=0．综上， 的取值范围是.