2017年浙江省高考数学(含解析版)

2024-01-06·25页·517.5 K

2017浙江省高考数学试卷一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)1.(5分)已知集合P={x|1x1},Q={x|0x2},那么PQ=()A.(1,2)B.(0,1)C.(1,0)D.(1,2)2.(5分)椭圆+=1的离心率是()A.B.C.D.3.(5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm2)是()A.+1B.+3C.+1D.+34.(5分)若x、y满足约束条件,则z=x+2y的取值范围是()A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+)D.[4,+)5.(5分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则Mm()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关6.(5分)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(5分)函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()A.B.C.D.8.(5分)已知随机变量i满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1pi,i=1,2.若0p1p2,则()A.E(1)E(2),D(1)D(2)B.E(1)E(2),D(1)D(2)C.E(1)E(2),D(1)D(2)D.E(1)E(2),D(1)D(2)9.(5分)如图,已知正四面体DABC(所有棱长均相等的三棱锥),P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点,AP=PB,==2,分别记二面角DPRQ,DPQR,DQRP的平面角为、、,则()A.B.C.D.10.(5分)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=,I2=,I3=,则()A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I3二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分11.(4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的值计算到任意精度,祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6= .12.(6分)已知a、bR,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= ,ab= .13.(6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4= ,a5= .14.(6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2,点D为AB延长线上一点,BD=2,连结CD,则BDC的面积是 ,comBDC= .15.(6分)已知向量、满足||=1,||=2,则|+|+||的最小值是 ,最大值是 .16.(4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答)17.(4分)已知aR,函数f(x)=|x+a|+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是 .三、解答题(共5小题,满分74分)18.(14分)已知函数f(x)=sin2xcos2x2sinx cosx(xR).()求f()的值.()求f(x)的最小正周期及单调递增区间.19.(15分)如图,已知四棱锥PABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.()证明:CE平面PAB;()求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.20.(15分)已知函数f(x)=(x)ex(x).(1)求f(x)的导函数;(2)求f(x)在区间[,+)上的取值范围.21.(15分)如图,已知抛物线x2=y,点A(,),B(,),抛物线上的点P(x,y)(x),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.()求直线AP斜率的取值范围;()求|PA||PQ|的最大值.22.(15分)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN*),证明:当nN*时,()0xn+1xn;()2xn+1xn;()xn.2017年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)1.(5分)已知集合P={x|1x1},Q={x|0x2},那么PQ=()A.(1,2)B.(0,1)C.(1,0)D.(1,2)【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可.【解答】解:集合P={x|1x1},Q={x|0x2},那么PQ={x|1x2}=(1,2).故选:A.【点评】本题考查集合的基本运算,并集的求法,考查计算能力.2.(5分)椭圆+=1的离心率是()A.B.C.D.【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可.【解答】解:椭圆+=1,可得a=3,b=2,则c==,所以椭圆的离心率为:=.故选:B.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.3.(5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm2)是()A.+1B.+3C.+1D.+3【分析】根据几何体的三视图,该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成,画出图形,结合图中数据即可求出它的体积.【解答】解:由几何的三视图可知,该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成,圆锥的底面圆的半径为1,三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形,圆锥的高和棱锥的高相等均为3,故该几何体的体积为123+3=+1,故选:A【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题,解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征,是基础题目.4.(5分)若x、y满足约束条件,则z=x+2y的取值范围是()A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+)D.[4,+)【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解即可.【解答】解:x、y满足约束条件,表示的可行域如图:目标函数z=x+2y经过坐标原点时,函数取得最小值,经过A时,目标函数取得最大值,由解得A(0,3),目标函数的直线为:0,最大值为:36目标函数的范围是[0,6].故选:A.【点评】本题考查线性规划的简单应用,画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键.5.(5分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则Mm()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关【分析】结合二次函数的图象和性质,分类讨论不同情况下Mm的取值与a,b的关系,综合可得答案.【解答】解:函数f(x)=x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x=为对称轴的抛物线,当1或0,即a2,或a0时,函数f(x)在区间[0,1]上单调,此时Mm=|f(1)f(0)|=|a|,故Mm的值与a有关,与b无关当1,即2a1时,函数f(x)在区间[0,]上递减,在[,1]上递增,且f(0)f(1),此时Mm=f(0)f()=,故Mm的值与a有关,与b无关当0,即1a0时,函数f(x)在区间[0,]上递减,在[,1]上递增,且f(0)f(1),此时Mm=f(0)f()=a,故Mm的值与a有关,与b无关综上可得:Mm的值与a有关,与b无关故选:B【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键.6.(5分)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S62S5,可以得到d0,根据充分必要条件的定义即可判断.【解答】解:S4+S62S5,4a1+6d+6a1+15d2(5a1+10d),21d20d,d0,故“d0”是“S4+S62S5”充分必要条件,故选:C【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件,属于基础题7.(5分)函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()A.B.C.D.【分析】根据导数与函数单调性的关系,当f(x)0时,函数f(x)单调递减,当f(x)0时,函数f(x)单调递增,根据函数图象,即可判断函数的单调性,然后根据函数极值的判断,即可判断函数极值的位置,即可求得函数y=f(x)的图象可能【解答】解:由当f(x)0时,函数f(x)单调递减,当f(x)0时,函数f(x)单调递增,则由导函数y=f(x)的图象可知:f(x)先单调递减,再单调递增,然后单调递减,最后单调递增,排除A,C,且第二个拐点(即函数的极大值点)在x轴上的右侧,排除B,故选D【点评】本题考查导数的应用,考查导数与函数单调性的关系,考查函数极值的判断,考查数形结合思想,属于基础题.8.(5分)已知随机变量i满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1pi,i=1,2.若0p1p2,则()A.E(1)E(2),D(1)D(2)B.E(1)E(2),D(1)D(2)C.E(1)E(2),D(1)D(2)D.E(1)E(2),D(1)D(2)【分析】由已知得0p1p2,1p21p11,求出E(1)=p1,E(2)=p2,从而求出D(1),D(2),由此能求出结果.【解答】解:随机变量i满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1pi,i=1,2,…,0p1p2,1p21p11,E(1)=1p1+0(1p1)=p1,E(2)=1p2+0(1p2)=p2,D(1)=(1p1)2p1+(0p1)2(1p1)=,D(2)=(1p2)2p2+(0p2)2(1p2)=,D(1)D(2)=p1p12()=(p2p1)(p1+p21)0,E(1)E(2),D(1)D(2).故选:A.【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.9.(5分)如图,已知正四面体DABC(所有棱长均相等的三棱锥),P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点,AP=PB,==2,分别记二面角DPRQ,DPQR,DQRP的平面角为、、,则()A.B.C.D.【分析】解法一:如图所示,建立空间直角坐标系.设底面ABC的中心为O.不妨设OP=3.则O(0,0,0),P(0,3,0),C(0,6,0),D(0,0,6),Q,R,利用法向量的夹角公式即可得出二面角.解法二:如图所示,连接OD,OQ,OR,过点O发布作垂线:OEDR,OFDQ,OGQR,垂足分别为E,F,G,连接PE,PF,PG.设OP=h.可得cos===.同理可得:cos==,cos==.由已知可得:OEOGOF.即可得出.【解答】解法一:如图所示,建立空间直角坐标系.设底面ABC的中心为O.不妨设OP=3.则O(0,0,0),P(0,3,0),C(0,6,0),D(0,0,6),Q,R,=,=(0,3,6),=(,5,0),=,=.设平面PDR的法向量为=(x,y,z),则,可得,可得=,取平面ABC的法向量=(0,0,1).则cos==,取=arccos.同理可得:=arccos.=arccos...解法二:如图所示,连接OD,OQ,OR,过点O发布作垂线:OEDR,OFDQ,OGQR,垂足分别为E,F,G,连接PE,PF,PG.设OP=h.则cos===.同理可得:cos==,cos==.由已知可得:OEOGOF.coscoscos,,,为锐角..故选:B.【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.10.(5分)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=,I2=,I3=,则()A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I3【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可.【解答】解:ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC=2,AOB=COD90,由图象知OAOC,OBOD,0,0,即I3I1I2,故选:C.【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用,根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键.二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分11.(4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的值计算到任意精度,祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.【分析】根据题意画出图形,结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积.【解答】解:如图所示,单位圆的半径为1,则其内接正六边形ABCDEF中,AOB是边长为1的正三角形,所以正六边形ABCDEF的面积为S6=611sin60=.故答案为:.【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题,是基础题.12.(6分)已知a、bR,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=5,ab=2.【分析】a、bR,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),可得3+4i=a2b2+2abi,可得3=a2b2,2ab=4,解出即可得出.【解答】解:a、bR,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),3+4i=a2b2+2abi,3=a2b2,2ab=4,解得ab=2,,.则a2+b2=5,故答案为:5,2.【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.13.(6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=16,a5=4.【分析】利用二项式定理的展开式,求解x的系数就是两个多项式的展开式中x与常数乘积之和,a5就是常数的乘积.【解答】解:多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,(x+1)3中,x的系数是:3,常数是1;(x+2)2中x的系数是4,常数是4,a4=34+14=16;a5=14=4.故答案为:16;4.【点评】本题考查二项式定理的应用,考查计算能力,是基础题.14.(6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2,点D为AB延长线上一点,BD=2,连结CD,则BDC的面积是,comBDC=.【分析】如图,取BC得中点E,根据勾股定理求出AE,再求出SABC,再根据SBDC=SABC即可求出,根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出【解答】解:如图,取BC得中点E,AB=AC=4,BC=2,BE=BC=1,AEBC,AE==,SABC=BCAE=2=,BD=2,SBDC=SABC=,BC=BD=2,BDC=BCD,ABE=2BDC在RtABE中,cosABE==,cosABE=2cos2BDC1=,cosBDC=,故答案为:,【点评】本题考查了解三角形的有关知识,关键是转化,属于基础题15.(6分)已知向量、满足||=1,||=2,则|+|+||的最小值是4,最大值是.【分析】通过记AOB=(0),利用余弦定理可可知|+|=、||=,进而换元,转化为线性规划问题,计算即得结论.【解答】解:记AOB=,则0,如图,由余弦定理可得:|+|=,||=,令x=,y=,则x2+y2=10(x、y1),其图象为一段圆弧MN,如图,令z=x+y,则y=x+z,则直线y=x+z过M、N时z最小为zmin=1+3=3+1=4,当直线y=x+z与圆弧MN相切时z最大,由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的倍,也就是圆弧MN所在圆的半径的倍,所以zmax==.综上所述,|+|+||的最小值是4,最大值是.故答案为:4、.【点评】本题考查函数的最值及其几何意义,考查数形结合能力,考查运算求解能力,涉及余弦定理、线性规划等基础知识,注意解题方法的积累,属于中档题.16.(4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有660种不同的选法.(用数字作答)【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男,再计算即可【解答】解:第一类,先选1女3男,有C63C21=40种,这4人选2人作为队长和副队有A42=12种,故有4012=480种,第二类,先选2女2男,有C62C22=15种,这4人选2人作为队长和副队有A42=12种,故有1512=180种,根据分类计数原理共有480+180=660种,故答案为:660【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理,属于中档题17.(4分)已知aR,函数f(x)=|x+a|+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是(,).【分析】通过转化可知|x+a|+a5且a5,进而解绝对值不等式可知2a5x+5,进而计算可得结论.【解答】解:由题可知|x+a|+a5,即|x+a|5a,所以a5,又因为|x+a|5a,所以a5x+a5a,所以2a5x+5,又因为1x4,4x+5,所以2a54,解得a,故答案为:(,).【点评】本题考查函数的最值,考查绝对值函数,考查转化与化归思想,注意解题方法的积累,属于中档题.三、解答题(共5小题,满分74分)18.(14分)已知函数f(x)=sin2xcos2x2sinx cosx(xR).()求f()的值.()求f(x)的最小正周期及单调递增区间.【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式,()代入可得:f()的值.()根据正弦型函数的图象和性质,可得f(x)的最小正周期及单调递增区间【解答】解:函数f(x)=sin2xcos2x2sinx cosx=sin2xcos2x=2sin(2x+)()f()=2sin(2+)=2sin=2,()=2,故T=,即f(x)的最小正周期为,由2x+[+2k,+2k],kZ得:x[+k,+k],kZ,故f(x)的单调递增区间为[+k,+k],kZ.【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值,三角函数的周期性,三角函数的单调区间,难度中档.19.(15分)如图,已知四棱锥PABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.()证明:CE平面PAB;()求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.【分析】()以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,过D作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角系,利用向量法能证明CE平面PAB.()求出平面PBC的法向量和,利用向量法能求出直线CE与平面PBC所成角的正弦值.【解答】证明:()四棱锥PABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,过D作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角系,设PC=AD=2DC=2CB=2,则C(0,1,0),D(0,0,0),P(1,0,1),E(),A(2,0,0),B(1,1,0),=(),=(1,0,1),=(0,1,1),设平面PAB的法向量=(x,y,z),则,取z=1,得=(1,1,1),==0,CE平面PAB,CE平面PAB.解:()=(1,1,1),设平面PBC的法向量=(a,b,c),则,取b=1,得=(0,1,1),设直线CE与平面PBC所成角为,则sin=|cos|===.直线CE与平面PBC所成角的正弦值为.【点评】本题考查线面平行的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.20.(15分)已知函数f(x)=(x)ex(x).(1)求f(x)的导函数;(2)求f(x)在区间[,+)上的取值范围.【分析】(1)求出f(x)的导数,注意运用复合函数的求导法则,即可得到所求;(2)求出f(x)的导数,求得极值点,讨论当x1时,当1x时,当x时,f(x)的单调性,判断f(x)0,计算f(),f(1),f(),即可得到所求取值范围.【解答】解:(1)函数f(x)=(x)ex(x),导数f(x)=(12)ex(x)ex=(1x+)ex=(1x)(1)ex;(2)由f(x)的导数f(x)=(1x)(1)ex,可得f(x)=0时,x=1或,当x1时,f(x)0,f(x)递减;当1x时,f(x)0,f(x)递增;当x时,f(x)0,f(x)递减,且xx22x1(x1)20,则f(x)0.由f()=e,f(1)=0,f()=e,即有f(x)的最大值为e,最小值为f(1)=0.则f(x)在区间[,+)上的取值范围是[0,e].【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,考查化简整理的运算能力,正确求导是解题的关键,属于中档题.21.(15分)如图,已知抛物线x2=y,点A(,),B(,),抛物线上的点P(x,y)(x),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.()求直线AP斜率的取值范围;()求|PA||PQ|的最大值.【分析】()通过点P在抛物线上可设P(x,x2),利用斜率公式结合x可得结论;()通过(I)知P(x,x2)、x,设直线AP的斜率为k,联立直线AP、BP方程可知Q点坐标,进而可用k表示出、,计算可知|PA||PQ|=(1+k)3(1k),通过令f(x)=(1+x)3(1x),1x1,求导结合单调性可得结论.【解答】解:()由题可知P(x,x2),x,所以kAP==x(1,1),故直线AP斜率的取值范围是:(1,1);()由(I)知P(x,x2),x,所以=(x,x2),设直线AP的斜率为k,则AP:y=kx+k+,BP:y=x++,联立直线AP、BP方程可知Q(,),故=(,),又因为=(1k,k2k),故|PA||PQ|==+=(1+k)3(k1),所以|PA||PQ|=(1+k)3(1k),令f(x)=(1+x)3(1x),1x1,则f(x)=(1+x)2(24x)=2(1+x)2(2x1),由于当1x时f(x)0,当x1时f(x)0,故f(x)max=f()=,即|PA||PQ|的最大值为.【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题,考查运算求解能力,考查函数思想,注意解题方法的积累,属于中档题.22.(15分)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN*),证明:当nN*时,()0xn+1xn;()2xn+1xn;()xn.【分析】()用数学归纳法即可证明,()构造函数,利用导数判断函数的单调性,把数列问题转化为函数问题,即可证明,()由2xn+1xn得2()0,继续放缩即可证明【解答】解:()用数学归纳法证明:xn0,当n=1时,x1=10,成立,假设当n=k时成立,则xk0,那么n=k+1时,若xk+10,则0xk=xk+1+ln(1+xk+1)0,矛盾,故xn+10,因此xn0,(nN*)xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1,因此0xn+1xn(nN*),()由xn=xn+1+ln(1+xn+1)得xnxn+14xn+1+2xn=xn+122xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1),记函数f(x)=x22x+(x+2)ln(1+x),x0f(x)=+ln(1+x)0,f(x)在(0,+)上单调递增,f(x)f(0)=0,因此xn+122xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)0,故2xn+1xn;()xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1+xn+1=2xn+1,xn,由2xn+1xn得2()0,2()…2n1()=2n2,xn,综上所述xn.【点评】本题考查了数列的概念,递推关系,数列的函数的特征,导数和函数的单调性的关系,不等式的证明,考查了推理论证能力,分析解决问题的能力,运算能力,放缩能力,运算能力,属于难题

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