2024 届高三联考数学（理科）试卷
第卷 选择题（共 60 分）
本试卷共 4 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）
x
1．设集合 AxyxBxZ=== 3,0 ，则 AB= （ ）
x 4
A．x 0 x 4 B．x 0 x 4 C．x N x 4 D．x 0 x 3
2．已知向量 ammbm=++=+( 3,21,3,5) ( ) ，则“ m = 2 ”是“ ab ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
、
3.设 mn、 是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：
若 m ， n ，则 m . 若 mn ， ，则 m .
若 ， ，则 m . 若 ， ，则 .
其中正确命题的序号是( )
A. B. C. D.
4.已知 fx( 5) 是定义在 R 上的奇函数，且当 xm 时， fx( ) 单调递增，要确保 fx( ) 的
零点唯一，则 m 的值可以为（ ）
A． 4 B．0 C． 5 D．5
2 1 n
(3)x 3
5.若 2x 的展开式中含有常数项(非零),则正整数 n 的可能值是（ ）
A .3 B.4 C.5 D.6
2
6.某地市在 2023 年全市一模测试中，高三学生数学成绩 X 服从正态分布 N (90, ) ，已知
PX(88920.32= ) ， P( X=85) m ，则下列结论正确的是（ ）
A. 0m 0.34 B. m = 0.34
C. 0.34m 0.68 D. m = 0.68
7.函数 f( x) =sin( x + )( 0,0 ) 的部分图象如图，
BC x 轴，当 x 0, 时，不等式 f (x) m + sin 2x 恒成立，
4
高三联考理科数学试题 第 1 页 共 4 页
{#{QQABBQCEggioABBAARhCQQHYCkAQkAACAAoGAFAEoAIAABNABAA=}#}
则 m 的取值范围是（ ）
3 1
， ，
A． B． C． ( ， 3 D． ( ，1
2 2
a 231,9.aaaaa+== 2
8. 等 比 数 列 n 的 各 项 均 为 正 数 ， 且 12326 设
1
bnn=log3 a 1 + log 3 a 2 + ...... + log 3 a , bn
则数列 的前项和 Sn = （ ）
2n 1 1 4n
A. 2n B. C. [1-（ ）n ] D.
n +1 2 3 （nn+1）
xy22
9. 已知双曲线 E ： = 1(0,0)ab 的右焦点为 F( 5 ,0 ) ，过点 F 的直线交双曲线
ab22
于 A 、 B 两点.若 AB 的中点坐标为 (6 , 2 ) ，则 的方程为( )
xy22 xy22 xy22 xy22
A. =1 B. =1 C. =1 D. =1
520 169 916 1510
10．某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到 10 年内每年此农产
品的销售额（单位：万元）等于上一年的 1.3 倍再减去 3．已知第一年（2023 年）该公司该
产品的销售额为 100 万元，则按照计划该公司从 2023 年到 2032 年该产品的销售总额约为
（参考数据：1.313.7910 ）（ ）
A．3937 万元 B. 3837 万元 C．3737 万元 D．3637 万元
11.已知点 A，B，C 在圆 xy22+=4 上运动，且 ABBC，若点 P 的坐标为（3，0），则
||PAPBPC++ 的最大值为（ ）
A．7 B．10 C．11 D．14
fxxeaxx( ) =++( 32ln1) x ( ) (1, +) fx( )
12.已知函数 在 上有两个极值点,且 在
(1,2)
上单调递增,则实数 a 的取值范围是( )
(e,+) ee,2 2 eee,2222+ 2e2 +
A. B.( ) C. ( ) ( ) D. ( )
第卷（共 90 分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13.若 zi=1 ，则|iz 3 z | = .
14.在 ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 a2= b 2 + c 2 + 3 bc .已知
a = 3 , S 为 的面积,则 SBC+3cos cos 的最大值是 .
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n +1
15.已知数列a 的前 n 项和为 S ，若 a = 3,点 ( ,SS ) 在直线 yxnnN=++ 1()
n n 1 nn+1 n +
上.则数列 的通项是 .
16. 已 知 曲 线 f x() x e =+x 在点（0，f (0 )）处 的 切 线 与 曲 线 y x= a l n + ( 1 ) 相 切 ， 则
a = .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17.（本小题满分 12 分）
2
设函数 fxxx()cos(2)sin=++ 2 .
24
（1）求函数 fx()在区间[-,] 上的最大值和最小值；
123
1
（2）设函数 gx()对任意 xR ，有 gxgx()()+= ，且当 x [0,] 时，gxfx()()= ；
2 2 2
求函数 在[ ,0 ] 上的解析式.
18. （本小题满分 12 分）
2023 年 10 月 17 日至 18 日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，此会的
胜利召开进一步促进了国内产品走出国门.某工厂要为“一带一路”沿线某国生产一批内径为
28.50mm 的一种零件，为了了解零件的生产质量，在某次抽检中，从该厂的 1000 个零件
中抽出 50 个，测得其内径尺寸（单位： mm ）如下：
2 8 . 5 1 8 ， 28.526 ， 28.504 ， 28.4811
28.49 p ， 28.54 1， 28.53 7 ， 28.47q
这里用 xn 表示有 n 个尺寸为 xmm 的零件， pq, 均为正整数．若从这 50 个零件中随机抽
8
取 1 个，则这个零件的内径尺寸小于 28.49mm 的概率为 ．
25
（1）求 pq, 的值．
（2）已知这 50 个零件内径尺寸的平均数为 xmm ，标准差为 smm ，且 s = 0.02 ，在某次
抽检中，若抽取的零件中至少有 80% 的零件内径尺寸在 x+ s, x s 内，则称本次抽检的
零件合格．试问这次抽检的零件是否合格？说明你的理由．
19.（本小题满分 12 分）
高三联考理科数学试题 第 3 页 共 4 页
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如图，在底面 ABCD为矩形的四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD 平面 PCD．
(1)证明： AB 平面 PAD ；
(2)若 PB = 10, PD = 3 2, AD = 3, AB = 1， E 在棱 AD 上，
且 A D A= E3 ，求 PE 与平面 PBD 所成角的正弦值．
20.（本小题满分 12 分）
2 x 2
已知抛物线 C: y 2 (= 0 ) p x p 的准线与椭圆 +=y 2 1相交所得线段长为 3 .
4
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）设圆 M 过 A(2 ,0 ) ，且圆心 M 在抛物线 C 上， BD 是圆在 y 轴上截得的弦.当在
抛物线 C 上运动时，弦 BD 的长是否有定值？说明理由；
（3）过 F(1,0 )作互相垂直的两条直线交抛物线 C 于 G、H、R、S，求四边形G R H S 的面积
最小值．
21.（本小题满分 12 分）
1
已知函数 fxxax()ln=+ ．
x
（1）讨论 fx()的单调性；
fxfx( ) ( )
（2）若 fx()存在两个极值点 xx12, ，证明： 12a 2 ．
xx12
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
x = 3 cos
()为参数
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 ，以坐标原点为极点，以 x
y = sin
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin(+= ) 2 2 .
2 4
（1）写出 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标.
23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f( x )= | 2 x a | + a
（1）当 a=2 时，求不等式 fx( ) 6 的解集；
（2）设函数 g( x )= | 2 x 1|, 当 x R 时， f( x )+ g ( x ) 3 ，求 a 的取值范围.
高三联考理科数学试题 第 4 页 共 4 页
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