高三年级数学试卷
2023.12
出卷老师 审卷老师 考试时间 120分钟
本试卷共 22大题 满分 150分
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
A x | x 2 0 B x | 2x 1
1. 若集合 ，集合 ，则 A B （ ）
A. (2,) B. (0,2) C. (,2) D. R
2. 已知复数 z (1 2i) 在复平面内对应点的坐标为（3,1），则 z （ ）
1 7 1 1 1 7
A. i B. i C. i D. i
5 5 5 5 5 5
3
3. 已知 a m,2 ， b 3,4 ，若 a b ，则 a b =（ ）
2
A. 20 B. 15 C. 10 D. 5
sin( )
4. 如图所示， 为射线 OA ，OB 的夹角， AOx ，点 P(1,3) 在射线OB 上，则 3
4
cos
（ ）
2 3 2 3
A. B.
2 2
2 3 1 2 3 1
C. D.
2 2
5. 下列函数中，既是偶函数又在 0,2 上单调递减的是（ ）
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A. y 2 x B. y x3
x 2 x
C. y cos D. y ln
2 2 x
x2 y2
6. 设 O 为坐标原点， F1, F2 为椭圆 C : 1 的焦点，点 P 在 C 上， OP 3 ，则 cos F1PF2
4 2
（ ）
1 1 2 2
A. B. 0 C. D.
3 3 3
7. 净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的 PP 棉滤芯过滤，
其中第一级过滤一般由孔径为 5 微米的 PP 棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去
除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层 PP 棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过
滤前水中大颗粒杂质含量为 80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过 2mg/L，则 PP 棉滤芯的
层数最少为（参考数据： lg 2 0.30 ， lg3 0.48）（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
1
8. 设函数 f (x) x2 4x a ln x ，若函数 y f (x) 存在两个极值点 x , x ，且不等式
2 1 2
f (x1) f (x2 ) x1 x2 t 恒成立，则 t 的取值范围为（ ）
e2
A. ，1 B. ，16 8ln 2 C. ， 4e D. ，13
2
二、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若样本数据 x1, x2 ,, x6 的方差为 2，则数据 2x1 1,2x2 1,,2x6 1的方差为 7
2
B 若 P(A) 0.6, P(B) 0.8, P(A | B) 0.5 ，则 P(B | A) ．
. 3
C. 在一组样本数据 (x1, y1),(x2 , y2 ),,(xn , yn ) ，（ n 2 ， x1, x2 ,, xn ，不全相等）的散点图中，若所有
1 1
样本点 (x , y )(i 1,2, ,n) 都在直线 y x 1上，则这组样本数据的线性相关系数为
i i 2 2
D. 以模型 y cekx 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 z lny ，求得线性回归方程为
z 4x 0.3 ，则 c,k 的值分别是 e0.3 和 4
第2页/共5页
10. 已知函数 f x Asin x A 0, 0, 的部分图象如图所示．则（ ）
2
A. f (x) 的图象关于 ,0 中心对称
12
5
B. f (x) 在区间 ,2 上单调递增
3
C. 函数 f x 的图象向右平移 个单位长度可以得到函数 g x = 2sin 2x 的图象
6 ( )
1
D. 将函数 f (x) 的图象所有点的横坐标缩小为原来的 ，得到函数 h(x) 2sin(4x ) 的图象
2 6
2 2 2 2
11. 已知圆 O ： x y 4 与圆 C : x y 2x 4y 4 0 相交于 A ， B 两点，直线
l : x 2y 5 0 ，点 P 为直线l 上一动点，过 P 作圆 O 的切线 PM ， PN ，（ M ， N 为切点），则说法正
确的是（ ）
4 5
A. 直线 AB 的方程为 x 2y 4 0 B. 线段 AB 的长为
5
4 8
C. 直线 MN 过定点 , D. PM 的最小值是1．
5 5
12. 如图，从 1 开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或
右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从 1 移动到 9，13456789 就是一条移动
路线，（ ）
A. 从 1 移动到 9，一共有 34 条不同的移动路线
B. 从 1 移动到 9 过程中，恰好漏掉两个数字的移动路线有 15 条．
3
C. 若每次移动都是随机的，则移动过程中恰好跳过 4 的概率为
8
第3页/共5页
D. 若每次移动都是随机的，记 Pi 为经过 i 的概率，则 P7 P8 P9
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
3 4
13. (x 1)(x 2) 展开式中 x3 项的系数为________ ．
14. ABC中，A 7,8 , B 10,4 ,C 2,4 , 则 S 为_________ ．
ABC
3
15. 甲乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 S 和 S ，体积分别为
2 甲 乙
S甲 V甲
V甲 和V乙 .若 2 ，则 __________.
S乙 V乙
16. 在数列求和中，裂项相消法是很常用的方法．例如在计算 Sn 1 2 3 n 的过程中，可以选
1
择将通项作如下处理： a n n 1n nn 1 ，从而求出
n 2
1 nn 1
S 011 2 1 2 23 n 1n nn 1 ，类比上述方法，计算
n 2 2
S 1 2 23 nn 1 ______________，并由此结果推导出自然数的平方和公式
n
12 22 32 n2 ___________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
a 2 ,n 6
n *
17. 设数列an 满足 an1 ， n N 且 a2 a9 0 .
3an ,n 7
（1）求数列an 的通项公式 an ；
（2）求数列an 的前 n 项和公式 Sn .
sin B sin C cos B cos A
18. 在 ABC 中， a 19 ，且
cos B cos A sin C
（1）求角 A ；
BD 3
（2）若点 D 为 BC 边上一点， 且 AD AC ，求 ABC 的面积.
DC 4
如图，直三棱柱 ABC - A B C 中， 为等腰直角三角形， ， ， 分别是棱 AA ,CC
19. 1 1 1 ABC CA CB E F 1 1
上的点，平面 BEF 平面 ABB1 A1 ，M 是 AB 的中点．
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（1）证明： CM // 平面 BEF ；
（2）若 AC AE 2 ，求平面 BEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值．
x2 y2 3 3
20. 椭圆 1(a b 0) 的离心率为 ，且经过点 C(1, )
a2 b2 2 2
（1）求椭圆方程
（2）点 A 为椭圆的上顶点，过点 B(1,0) 的直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，直线 AP，AQ 分别交 x 轴于点
M，N，若 MN 4 7 ，求直线 l 的方程
21. 设函数 f (x) ln x, g(x) x2 a
（1）若函数 y f (x) 与 y g(x) 的图象存在公切线，求 a 的取值范围
（2）若函数 F(x) f (x) g(x) 有两个零点 x1, x2 (x1 x2 ) ，求证： x1 x2 2 .
22. 甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另
一人没投进，则投进者得 1 分，没进者得-1 分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得 0 分，当
两人各自累计总分相差 4 分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为 0.5，乙投进的概
率为 0.6，每次投球都是相互独立的．
（1）若两人起始分都为 0 分，求恰好经过 4 轮比赛，甲获胜的 概率．
（2）若规定两人起始分都为 2 分，记 P(i) （ i 0,1,2,3,4 ）为甲累计总分为 i 时，甲最终获胜的概率，
则 P(0) 0, P(4) 1
求证P(i 1) P(i) （ i 0,1,2,3 ）为等比数列
求 P(2) 的值．
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常州市联盟学校 2023—2024 学年度第一学期学情调研
高三年级数学试卷
2023.12
出卷老师 审卷老师 考试时间 120分钟
本试卷共 22大题 满分 150分
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
A x | x 2 0 B x | 2x 1
1. 若集合 ，集合 ，则 A B （ ）
A. (2,) B. (0,2) C. (,2) D. R
【答案】B
【解析】
【分析】求得集合 A x | x 2 ， B x | x 0 ，根据集合交集的运算，即可求解.
x
【详解】由题意，集合 A x | x 2 0 x | x 2 ， B x | 2 1 x | x 0，
根据集合交集的运算，可得 A B x | 0 x 2 .
故选：B.
2. 已知复数 z (1 2i) 在复平面内对应点的坐标为（3,1），则 z （ ）
1 7 1 1 1 7
A. i B. i C. i D. i
5 5 5 5 5 5
【答案】A
【解析】
【分析】由已知得到 z (1 2i) 3 i ，利用复数的除法求出 z 即可.
【详解】由已知复数 z (1 2i) 在复平面内对应点的坐标为（3,1），
则 z (1 2i) 3 i ，
3 i 3 i1 2i 1 7i 1 7
所以 z i .
1 2i 1 2i1 2i 5 5 5
故选：A.
3
3. 已知 a m,2 ， b 3,4 ，若 a b ，则 a b =（ ）
2
第1页/共 23页
A. 20 B. 15 C. 10 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量平行，求出 m 的值，再结合向量的坐标运算求模.
3
【详解】因为 a b ，所以： 4m 23 0 m .
2
3 3 3
所以： a b ,2 3,4 6,8
2 2 2
3
所以： a b 6,8 10 .
2
故选：C
sin( )
4. 如图所示， 为射线 OA ，OB 的夹角， AOx ，点 P(1,3) 在射线OB 上，则 3
4
cos
（ ）
2 3 2 3
A. B.
2 2
2 3 1 2 3 1
C. D.
2 2
【答案】A
【解析】
3 10 10
【分析】射线OB 所对的角为 ，由三角函数的定义可得 sin ， cos 且 ，于
10 10 4
2 5 5
是 有 ，再根据两角差的正、余弦公式可求得 sin ， cos ， 进 而 可 得
4 5 5
第2页/共 23页
2 5 15
sin( ) ，代入求解即可.
3 10
3 3 10 1 10
【详解】解：设射线OB 所对的角为 ，则有 sin ， cos ，
10 10 10 10
又因为 ，
4
所以 ，
4
2 2 5 5
sin sin( ) (sin cos ) ， cos cos( ) ，
4 2 5 4 5
1 3 2 5 15
所以 sin( ) sin cos ，
3 2 2 10
2 5 15
sin( )
2 3
所以 3 10 .
cos 5 2
5
故选：A.
5. 下列函数中，既是偶函数又在 0,2 上单调递减的是（ ）
A. y 2 x B. y x3
x 2 x
C. y cos D. y ln
2 2 x
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性和单调性的定义以及导数分别判断四个选项即可得出答案.
【详解】对于 A，函数 f (x) 2 x 的定义域为 R，关于原点对称，
且 f (x) 2 x 2 x f (x) ，所以函数 f (x) 为偶函数，
当 x (0,2) 时 f (x) 2x ，函数 f (x) 单调递增，故 A 不符合题意；
对于 B，函数 f (x) x3 的定义域为 R，关于原点对称，
且 f (x) (x)3 x3 f (x) ，所以函数 f (x) 为奇函数，
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由幂函数的性质知函数 y x3 在 R 上单调递增，
所以函数 f (x) x3 在 R 上单调递减，故 B 不符合题意；
x
对于 C，函数 f (x) cos 的定义域为 R，关于原点对称，
2
x x
且 f (x) cos( ) cos f (x) ，所以函数 f (x) 为偶函数，
2 2
x
当 x (0,2) 时 (0,1) ，又 0,1 0, ，
2 2
x
所以函数 f (x) cos 在( 0, 1) 上单调递减，故 C 符合题意；
2
2 x
对于 D，函数 f (x) ln 的定义域为 (2,2) ，关于原点对称，
2 x
2 x 2 x 2 x
且 f x ln ln( )1 ln f x ，
2 x 2 x 2 x
1 1 2x
所以 f x 是奇函数，又 f (x) ，
2 x 2 x (2 x)(2 x)
令 f (x) 0 2 x 0 ，令 f (x) 0 0 x 2 ，
所以函数 f x 在 (2,0) 上单调递减，在 (0,2) 上单调递增，故 D 不符合题意.
故选：C.
x2 y2
6. 设 O 为坐标原点， F1, F2 为椭圆 C : 1 的焦点，点 P 在 C 上， OP 3 ，则 cos F1PF2
4 2
（ ）
1 1 2 2
A. B. 0 C. D.
3 3 3
【答案】C
【解析】
m2 n2 8
【分析】设 PF1 m, PF2 n ，利用余弦定理可得 cos F PF ，再由向量表示可知
1 2 2mn
2 2 1
PF PF 2PO ，即可得 m n 2mncos F PF 12 ；联立即可求得 cos F PF .
1 2 1 2 1 2 3
【详解】如下图所示：
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不妨设 PF1 m, PF2 n ，根据椭圆定义可得 m n 2a 4 ， F1F2 2c 2 2 ；
m2 n2 8
由余弦定理可知 cos F PF ；
1 2 2mn
2 2
又因为 PF PF 2PO ，所以 ，又 OP 3 ，
1 2 PF1 PF2 2PO
2 2 2 2
即可得 m n 2mncos F1PF2 12 ，解得 m n 10 ；
2
又 m2 n2 m n 2mn 16 2mn 10 ，即 mn 3 ；
m2 n2 8 10 8 1
所以可得 cos F PF ；
1 2 2mn 6 3
故选：C
7. 净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的 PP 棉滤芯过滤，
其中第一级过滤一般由孔径为 5 微米的 PP 棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去
除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层 PP 棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过
滤前水中大颗粒杂质含量为 80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过 2mg/L，则 PP 棉滤芯的
层数最少为（参考数据： lg 2 0.30 ， lg3 0.48）（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】首先由条件抽象出经过 n 层 PP 棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量 y 的函数，再结合指对运算，解不
等式.
n n
y 1 2
【详解】设经过 n 层 PP 棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为 ，则 y 801 80 ，
3 3
n n
2 2 1 2 1 3
令80 2 ，解得 ，两边取常用对数得 nlg lg ，即 nlg lg 40
3 3 40 3 40 2
即 nlg3lg2 12lg2 ，因为 lg 2 0.30 ， lg3 0.48，
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