高三数学
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
2
A x log x 0 B x x x 2 0 A
1. 设集合 2 ， ，则 B （ ）
A. (,2) B. (1,0] C. (1,2) D. [1,0][1,2]
2. 已知复数 z1 1 i ， z2 a i ，若 z1 z2 为纯虚数，则实数 a 的值为（ ）
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
xcosx
3. 函数 f x 的图象大致为（ ）
e x
A. B.
C. D.
4. 已知, 是空间两个不同的平面， m,n 是空间两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 m / / ， n// ，且 m//n ，则 //
B. 若 m / / ， n// ，且 m n ，则
C. 若 m ， n// ，且 m n ，则
D. 若 m ， n ，且 m n ，则
5. 已知角 的始边为 x 轴非负半轴，终边经过点 (3, 3) ，将角 的终边顺时针旋转 后得到角 ，则
3
tan （ ）
3 3
A. B. C. 3 D. 3
3 3
6. 已知抛物线 E : y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，准线为l ，过 E 上的一点 A 作l 的垂线，垂足为 B ，若
AB 3 OF （ O 为坐标原点），且ABF 的面积为12 2 ，则 E 的方程为（ ）
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A. y2 4x B. y2 4 3x C. y2 8x D. y2 8 3x
7. 一个轴截面是边长为 2 3 的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为 1 的小球O1 后，再放入一个
球O2 ，则球O2 的表面积与容器表面积之比的最大值为（ ）
4 1 3 3
A B. C. D.
. 81 27 27 3
3 3 sin 2x,sin x cos x
8. 已知函数 f (x) 的定义域为 , ，且 f x ，若关于 x 的方程 f (x) a 有
4 4 sin x,sin x cos x
x1 x2 x3 x4
4 个不同实根 x1, x2 , x3 , x4 x1 x2 x3 x4 ，则 f x sin 的取值范围是（ ）
1 2
1 2 2 1
A. , B. , C. (1, 2) D. ( 2,1)
2 2 2 2
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 近年来，乡村游成为中国国民旅游的热点，下面图 1，2，3，4 分别为 2023 年中国乡村旅游消费者年
龄、性别、月收入及一次乡村旅游花费金额的有关数据分析，根据该图，下列结论错误的是（ ）
1
A. 2023 年中国乡村旅游消费者中年龄在19 ~ 50 岁之间的男性占比超过
3
B. 2023 年中国乡村旅游消费者中月收入不高于 1 万元的占比超过 70%
C. 2023 年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费 4 个范围占比的中位数为 30.6%
D. 2023 年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值高于 650 元（同一花费区间内的数据用
其中间值作代表）
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x2 y2
10. 若矩形 ABCD 的所有顶点都在椭圆 E : 1(a 0) 上，且 AB 2 2 ， AC 2 3 ，点 P 是
a2 2
E 上与 A, B,C, D 不重合的动点，则（ ）
1
A. E 的长轴长为 4 B. 存在点 P ，使得 PA PC
2
1 1
C. 直线 PA, PB 的斜率之积恒为 D. 直线 PA, PC 的斜率之积恒为
2 2
11. 已知正数 x, y, z 满足 5x 9y 15z ，则（ ）
A. xz 2yz 2xy 0 B. 5x 9y 15z C. xy 2z2 D. 9x 2y 16z
12. 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 满足 CP CD CC1 ，其中 [0,1]，
[0,1] ，则下列说法正确的是（ ）
1
A. 若 ，则 P 点轨迹所在直线与平面 ACD 平行
2 1
B. 若 1，则 A1C BP
2 5
C. 若 ，则 DP A1P 的最小值为
2
1
D. 若 BP 与平面 CC D D 所成角的大小为 ，则 的最大值为
1 1 4 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 已知函数 f (x) x2 3x ，则曲线 y f (x) 在点 (1,2) 处的切线方程为______.
5
14. x2 y2 2y 1 的展开式中 x2 y2 的系数为______.（用数字作答）
15. 求作一个立方体，使其体积等于已知立方体体积的 2 倍，这就是历史上有名的立方倍积问题.1837 年法
国数学家闻脱兹尔证明了立方倍积问题不能只用直尺与圆规作图来完成，不过人们发现，跳出直尺与圆规
作图的框框，可以找到不同的作图方法.如图是柏拉图（公元前 427—公元前 347 年）的方法：假设已知立
方体的边长为 a ，作两条互相垂直的直线，相交于点 O ，在一条直线上截取 OA a ，在另一条直线上截取
OB 2a ，在直线OB,OA 上分别取点 C, D ，使 ACD BDC 90 （只要移动两个直角尺，使一个
直角尺的边缘通过点 A ，另一个直角尺的边缘通过点 B ，并使两直角尺的另一边重合，则两直角尺的直角
顶点即为 C, D ），则线段 OC 即为所求立方体的一边.以直线 OA 、 OC 分别为 x 轴、 y 轴建立直角坐标
系，若圆 E 经过点 A,C, D ，则圆 E 的方程为______.
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2
16. 已知数列a 满足 a a ，集合 S sina n N* ，若S 恰有 4 个子集，则 S ______.
n n1 n 3 n
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2
17. 记 Sn 为数列an 的前 n 项和，若 a1 3， (n 1) an1 (2n 1)Sn 2 .
（1）求 Sn ；
1
（2）若 bn 2 ，求数列bn 的前 n 项和Tn .
n (2n 1)Sn
18. 已知 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ， A 为锐角， ABC 的面积为S ，
4bS ab2 c2 a2 .
（1）判断 ABC 的形状，并说明理由；
3
（2）如图，若 ABC ， BC 5 ， O 为 ABC 内一点，且 OC 1 ， AOC ，求OB 的长.
4 4
19. 如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中， A1 A A1C 6 ， A1C1 6 2 ，平面 A1BC 平面 AA1C1C .
（1）求证： BC CC1 ；
1
（2）若 A B AC ，三棱锥 A ABC 的体积为 18，点 D 在棱 AC 上，且 AD DC ，求平面 A DB 与
1 1 1 2 1 1
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平面 ABC 夹角的余弦值.
20. 2023 年 5 月 28 日我国具有完全自主知识产权的国产大飞机 C919 开启全球首次商业载客飞行，C919 飞
机的研制，聚集了我国数十万科研人员的心血，其中 A、B、C、D、E、F 等高校为 C919 大飞机做出了
重要贡献，如 A 高校参与了气动总体、结构强度、航电、飞控和液压等设计，参加人数如下表：
气动总 结构强 航 飞 液
项目
体 度 电 控 压
参与人
5 5 3 4 3
数
B 高校有 8 位教师参加了相关设计论证，具体如下表：
气动总 气动外
结构强 航电设 液压系 起落架
设计论 体 形
度 计 统 的
证 设计论 设计论
论证 论证 论证 论证
证 证
参与教
a b,c d e, f g h
师
（1）某科普博主准备从 A、B、C、D、E、F 共 6 所高校中随机选 3 所高校介绍其为 C919 大飞机做出的
贡献，连续 3 天，每天发布一篇博文，每篇博文介绍一所高校（3 天将选中的 3 所高校全部介绍完），求
C、D 被选到，且 C 在第 2 天被介绍的概率；
（2）若从 A 高校参与设计的 20 人中随机选 3 人，在选到航电设计人员的条件下，求选到气动总体设计人
员的概率；
（3）若从 B 高校参与的6 个论证项目中随机选取 3 个，记这 3 个论证项目中 B 高校参与教师人数为 X，
求 X 的分布列与期望.
x2 y2 3
21. 已知双曲线 ： 1 a 0,b 0 ， A ， A2 为 的左、右顶点， P 7, 为 上一点，
2 2 1
a b 2
1
PA 的斜率与 PA 的斜率之积为 ．过点 A3,0 且不垂直于 x 轴的直线 l 与 交于 M，N 两点．
1 2 4
（1）求 的方程；
（2）若点 E，F 为直线 x 3 上关于 x 轴对称的不重合两点，证明：直线 ME，NF 的交点在定直线上．
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1
22 已知函数 f (x) ax2 (2a 1)x 2ln x(a R) .
. 2
（1）若 f (x) 有唯一极值，求 a 的取值范围；
（2）当 a 0 时，若 f (x1) f (x2 ) ， x1 x2 ，求证： x1x2 4 .
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高三数学
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
2
A x log x 0 B x x x 2 0 A
1. 设集合 2 ， ，则 B （ ）
A. (,2) B. (1,0] C. (1,2) D. [1,0][1,2]
【答案】D
【解析】
【分析】解对数不等式、一元二次不等式求集合，再应用补运算求集合.
【详解】由题设 A {x | 0 x 1} ， B {x | (x 1)(x 2) 0} {x | 1 x 2}，
所以 A [1,0] [1,2]
B .
故选：D
2. 已知复数 z1 1 i ， z2 a i ，若 z1 z2 为纯虚数，则实数 a 的值为（ ）
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】应用复数乘法及纯虚数定义列方程求参数.
【详解】 z1 z2 (1 i)(a i) a 1 (1 a)i 为纯虚数，
a 1 0
所以 a 1.
1 a 0
故选：C
xcosx
3. 函数 f x 的图象大致为（ ）
e x
A. B.
C. D.
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【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的函数，利用奇偶性可排除两个选项，再利用当 x (0, ) 时，函数值的正负即可判断作
2
答.
x cos x x cosx x cos x
【详解】函数 f x 的定义域为 R， f x f x ，即函数 f (x) 是
e x e x e x
奇函数，排除 CD；
x cos x
当 x (0, ) 时， f x 0 ，即当 x (0, ) 时，函数 f (x) 的图象在 x 轴的上方，显然 A 不满
2 e x 2
足，B 满足.
故选：B
4. 已知, 是空间两个不同的平面， m,n 是空间两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 m / / ， n// ，且 m//n ，则 //
B. 若 m / / ， n// ，且 m n ，则
C. 若 m ， n// ，且 m n ，则
D. 若 m ， n ，且 m n ，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间线面、面面平行、垂直的判定定理和性质定理分别分析各个选项可得解.
【详解】对于 A，若 m / / ， n// ，且 m//n ，则, 可能相交或平行，故 A 错误；
对于 B，若 m / / ， n// ，且 m n ，则, 可能相交或平行，故 B 错误；
对于 C，若 m ， n// ，且 m n ，则, 可能相交或平行，故 C 错误；
对于 D，若 m ， m n ，则 n 在平面 内或 n / / ，又 n ，所以 ，故 D 正确.
故选：D.
5. 已知角 的始边为 x 轴非负半轴，终边经过点 (3, 3) ，将角 的终边顺时针旋转 后得到角 ，则
3
tan （ ）
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3 3
A. B. C. 3 D. 3
3 3
【答案】B
【解析】
3
【分析】由三角函数的定义可得 tan ，依题意得 ，结合两角差的正切公式运算求值.
3 3
3
【详解】因角 的终边经过点 (3, 3) ，由三角函数的定义可得 tan ，
3
tan tan
3
又依题意得 ，所以 tan =tan 3 ，
3 3 1 tan tan 3
3
故选：B.
6. 已知抛物线 E : y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，准线为l ，过 E 上的一点 A 作l 的垂线，垂足为 B ，若
AB 3 OF （ O 为坐标原点），且ABF 的面积为12 2 ，则 E 的方程为（ ）
A. y2 4x B. y2 4 3x C. y2 8x D. y2 8 3x
【答案】C
【解析】
【分析】表达出 AB 和点 A 坐标，利用ABF 的面积求出 p ，即可得出 E 的方程.
【详解】由题意，
在抛物线 E : y2 2 px( p 0) 中， AB 3 OF ，
p p
焦点 F ,0 ，准线 l : x
2 2
p 3
OF ， AB p ，则 A p, 2 p
2 2
1 1 3
S AB y p 2 p 12 2 ，解得： p 4
ABF 2 A 2 2
E 的方程为： y2 8x .
故选：C.
7. 一个轴截面是边长为 2 3 的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为 1 的小球O1 后，再放入一个
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球O2 ，则球O2 的表面积与容器表面积之比的最大值为（ ）
4 1 3 3
A. B. C. D.
81 27 27 3
【答案】A
【解析】
【分析】由题设易知放入一个半径为 1 的小球O1 后，圆锥轴截面中小球O1 的截面圆为内切圆，要使比值最
大，球O2 的半径 r2 最大，利用内切圆性质求 r2 ，进而求球体、圆锥表面积，即可得比值.
1 3
【详解】由边长为 2 3 的正三角形的内切圆半径为 r 2 3 1，
1 3 2
即轴截面是边长为 2 3 的正三角形的圆锥内切球半径为1，
所以放入一个半径为 1 的小球O1 后，再放一个球O2 ，如下图，
要使球O2 的表面积与容器表面积之比的最大，即球O2 的半径 r2 最大，
1 3 1
所以只需球O2 与球O1 、圆锥都相切，其轴截面如上图，此时 r (2 3 2r ) ，
2 3 2 1 3
4 1
所以球O 的表面积为 4r 2 ，圆锥表面积为 3 2 3 2 3 9 ，
2 2 9 2
4
所以球O 的表面积与容器表面积之比的最大值为 .
2 81
故选：A
3 3 sin 2x,sin x cos x
8. 已知函数 f (x) 的定义域为 , ，且 f x ，若关于 x 的方程 f (x) a 有
4 4 sin x,sin x cos x
x1 x2 x3 x4
4 个不同实根 x1, x2 , x3 , x4 x1 x2 x3 x4 ，则 f x sin 的取值范围是（ ）
1 2
1 2 2 1
A. , B. , C. (1, 2) D. ( 2,1)
2 2 2 2
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