时量：120分 满分：150分
一、选择题（本大题共8 个小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
A x log x 3 B x x 3k 1,k N
1. 已知集合 2 ， ，则 A B （ ）
A. 1,2,5,8 B. 1,2,5 C. 2,5,8 D. 2,5
z
2. 若虚部大于0 的复数 z 满足方程 z2 4 0 ，则复数 的共轭复数为
1 z
4 2 4 2 4 2 4 2
A. i B. i C. i D. i
5 5 5 5 5 5 5 5
3. 古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前 417—公元前 369 年）详细地讨论了无理数的理论，他通过
图来构造无理数 2 ， 3 ， 5 ，L ，如图，则 cosBAD （ ）
2 6 3 3 2 3 6
A. B.
6 6
2 3 6 2 6 3 3
C. D.
6 6
r
4. 设向量 a 与 b 的夹角为 ，定义 a b asin bcos ，已知 a 3,4 ， b 4,3 ，则 a b
（ ）
A. 3，4 B. 4,3 C. 5 D. 25
5. 血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种
新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者 A 给药 3 小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过 2 小时检
测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的 40% ，当血药浓度为峰值的1.024% 时，给药
时间为（ ）
A. 11 小时 B. 13 小时 C. 17 小时 D. 19 小时
6. 对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知 a 6ln5 ，
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b 7ln 4 ， c 8ln3 ，要比较 a ， b ， c 的大小，我们就可通过构造函数 f (x) ln x ln(11 x) 来进行比较，
通过计算，你认为下列关系正确的一项是（ ）
A. a b c B. a c b C. b c a D. c b a
7. 函数 f (x) 2sin(x ) （ 0 ， ）的部分图象如图所示，若 g(x) f (x) 1在[ ,]上
2 6
有且仅有 3 个零点，则 的最小值为（ ）
5
A. B. 3
2
19 9
C D.
. 6 2
8. 定义在 R 上的不恒为零的偶函数 f x 满足 xf x 2 x 2 f x ，且 f 2 4 .则
5
f 2k f 2k （ ）
k 1
A. 30 B. 60 C. 90 D. 120
二、选择题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项是
符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分）
9. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续 5 天的日平均温度均不低于 22 ”.现有甲、乙、丙三地连续 5
天的日平均温度（单位:）的记录数据（记录数据都是正整数）:
甲地：5 个数据的中位数为 24，众数为 22；
乙地：5 个数据的中位数为 27，总体平均数为 24；
丙地：5 个数据中有一个数据是 32，总体平均数为 26，总体方差为 10.8.
则肯定进入夏季的地区有（）
A. 一个都没有 B. 甲地
C. 乙地 D. 丙地
10. 点 P 是直线 y 3 上的一个动点，过点 P 作圆 x2 y2 4 的两条切线， A, B 为切点，则（ ）
A. 存在点 P ，使得 APB 90
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4 5
B. 弦长 AB 的最小值为
3
C. 点 A, B 在以 OP 为直径的圆上
D. 线段 AB 经过一个定点
11. 如 图 ， 直 四 棱 柱 ABCD A1B1C1D1 的 底 面 是 梯 形 ， ABCD ， AD DC ， BC CD 4 ，
DD1 AB 2 ，P 是棱 CC1 的中点．Q 是棱 C1D1 上一动点（不包含端点），则（ ）
A. AC 与平面 BPQ 有可能平行
B. B D 与平面 BPQ 有可能平行
1 1
C. 三角形 BPQ 周长的最小值为 17 29
D. 三棱锥 A BPQ 的体积为定值
0 1 k1 k
12. 设正整数 n a0 9 a1 9 ak1 9 ak 9 ，其中 ai 0,1,2,3,4,5,6,7,8i 0,1,2,,k .
记 n a0 a1 ak ，则（ ）
A. 11 3 B. 81n 29 n 5
9n 1
C. 9n 10 n 1 D. n
8
三、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）
5
13. 2x 1 x 1 的展开式中 x4 的系数为______.（用数字作答）
14. 写出一个同时具有下列两个性质的函数 f x ：______.
f x 的值域为 ,2 ；当 x , 时， f ( x) >0 .
x2 y2
15. 双曲线 C : 1(a 0,b 0) 的左，右焦点分别为 F ， F ，右支上有一点 M，满足
a2 b2 1 2
F1MF2 90 ，F1MF2 的内切圆与 y 轴相切，则双曲线 C 的离心率为________．
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16. 已知正四面体 A BCD 的外接球半径为 3，MN 为其外接球的一条直径，P 为正四面体 A BCD 表面
上任意一点，则 PM PN 的最小值为___________．
四、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
2 2
17. 在 ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 2(asinA csinC bsinB) a 1 cos2C.
（1）求 B.
（2）是否存在 A0, ，使得 a c 2b ，若存在，求 A; 若不存在，说明理由.
2 2a
a n
18. 已知数列an 满足 a1 ，且 n1 .
3 an 1
1
（1）求证：数列 1 是等比数列；
an
1 1 1 1
（2）若 100 ，求满足条件的最大整数 n.
a1 a2 a3 an
19. 如图所示，等腰梯形 ABCD 中， AB//CD ， AD AB BC 2 ， CD 4 ，E 为 CD 中点， AE 与
BD 交于点 O，将VADE 沿 AE 折起，使点 D 到达点 P 的位置（ P 平面 ABCE ）.
（1）证明：平面 POB 平面 PBC ；
（2）若 PB 6 ，试判断线段 PB 上是否存在一点 Q（不含端点），使得直线 PC 与平面 AEQ 所成角的
15
正弦值为 ，若存在，求三棱锥 P AQE 的体积，若不存在，说明理由.
5
ln x
20 已知函数 f (x) ex .
. a
（1）若 f (x) 在[1,2] 上是减函数，求实数 a 的最大值；
2 ln a
（2）若 0 a 1 ，求证： f (x) .
a
21. 新高考数学试卷中有多项选择题，每道多项选择题有 A，B，C，D 这四个选项，四个选项中仅有两个
或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.已知测试
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过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.某次多项选择题专项训练中，共有
1
k k N* 道题，正确选项设计如下：第一题正确选项为两个的概率为 ，并且规定若第
3
1
i i 1,2,,k 1 题正确选项为两个，则第i +1题正确选项为两个的概率为 ；若第 i i 1,2,,k 1
3
1
题正确选项为三个，则第i +1题正确选项为三个的概率为 .
3
（1）求第 n 题正确选项为两个的概率；
（2）请根据期望值来判断：第二题是选一个选项还是选两个选项，更能获得较高分.
x2 y2 3 6
22. 已知椭圆 C : 1 a b 0 过 1, 和 2, 两点.
2 2
a b 2 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为 A，B，当动点 M 在定直线 x 4 上运动时，直线 AM ， BM
分别交椭圆于两点 P 和 Q.
（i）证明：点 B 在以 PQ 为直径的 圆内；
（ii）求四边形 APBQ 面积的最大值.
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丰城九中 2023-2024 学年上学期高三月考数学试卷
时量：120分 满分：150分
一、选择题（本大题共8 个小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
A x log x 3 B x x 3k 1,k N
1. 已知集合 2 ， ，则 A B （ ）
A. 1,2,5,8 B. 1,2,5 C. 2,5,8 D. 2,5
【答案】D
【解析】
【分析】解对数不等式求出 A x 0 x 8 ，进而求出交集.
【详解】 log2 x 3 ，解得 0 x 8 ，故 A x 0 x 8 ，
因为 B x x 3k 1,k N ，所以 A B 2,5 .
故选：D
z
2. 若虚部大于0 的复数 z 满足方程 z2 4 0 ，则复数 的共轭复数为
1 z
4 2 4 2 4 2 4 2
A. i B. i C. i D. i
5 5 5 5 5 5 5 5
【答案】B
【解析】
z 2i 2i 4 4 2
【详解】由题可知： z 2i ，故 ，所以共轭复数为 i 故选B
1 z 1 2i 5 5 5
3. 古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前 417—公元前 369 年）详细地讨论了无理数的理论，他通过
图来构造无理数 2 ， 3 ， 5 ，L ，如图，则 cosBAD （ ）
2 6 3 3 2 3 6
A. B.
6 6
2 3 6 2 6 3 3
C. D.
6 6
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【答案】B
【解析】
【分析】利用直角三角形中边角关系和两角和的余弦公式即可求解.
2 3 6
【详解】记 BAC ,CAD ，由图知： sin cos ， sin ， cos ，
2 3 3
所以 cosBAD cosBAC CAD cos cos cos sin sin
2 6 2 3 2 3 6
.
2 3 2 3 6
故选：B.
r
4. 设向量 a 与 b 的夹角为 ，定义 a b asin bcos ，已知 a 3,4 ， b 4,3 ，则 a b
（ ）
A. 3，4 B. 4,3 C. 5 D. 25
【答案】C
【解析】
r
【分析】由 a 3,4 ， b 4,3 可得 a 5，以及向量 a 与 b 的夹角，结合题意可求得答案
r
【详解】因为 a 3,4 ， b 4,3 ，
2 2
所以 a 3 4 5 ， a b 3 4 43 0 ，即 a b ，
所以向量 a 与 b 的夹角为 ，
2
所以 a b asin bcos a 5，
2 2
故选：C
5. 血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种
新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者 A 给药 3 小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过 2 小时检
测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的 40% ，当血药浓度为峰值的1.024% 时，给药
时间为（ ）
A. 11 小时 B. 13 小时 C. 17 小时 D. 19 小时
【答案】B
【解析】
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【分析】利用题意，将给药时间与检测次数转化为等差数列模型，将给药时间与患者血药浓度转化为等比
数列模型，则利用数列的通项公式求解即可.
【详解】解：检测第 n 次时，给药时间为 bn ，则bn 是以 3 为首项，2 为公差的的等差数列，
所以 bn 3 2n 1 2n 1，
设当给药时间为 2n +1 小时的时候，患者血药浓度为 an ，血药浓度峰值为 a，
n1
则数列an 是首项为 a，公比为 0.4 的等比数列，所以 an a0.4 ，
5 n1
令 an 0.01024a，即 0.4 a a0.4 ，解得 n 6 ，
当血药浓度为峰值的1.024% 时，给药时间为 b6 26 1 13，
故选：B.
6. 对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知 a 6ln5 ，
b 7ln 4 ， c 8ln3 ，要比较 a ， b ， c 的大小，我们就可通过构造函数 f (x) ln x ln(11 x) 来进行比较，
通过计算，你认为下列关系正确的一项是（ ）
A. a b c B. a c b C. b c a D. c b a
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数 f x ln x ln 11 x 讨论单调性，可得 ln 5ln 6 ln 4ln 7 ln 3ln8 ，即
eln5ln6 eln 4ln7 eln3ln8 ，化简即可得答案．
【详解】令 f x ln x ln 11 x ，
11 x11x
11x x ln
则 ln 11 x ln x ln 11 x ln x x ，
f x x
x 11 x x11 x x11 x
11 (11 x)11x
当11 x x 1，即1 x ， x11 x 0 ， 1，
2 xx
11
所以 f x 0 ， f (x) 在 1, 上单调递增，
2
11
因为1 3 4 5 ,
2
所以有 f 5 f 4 f 3 ，
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即 ln 5ln 6 ln 4ln 7 ln 3ln8 ，
ln5 ln 4 ln3
所以有 eln5ln6 eln 4ln7 eln3ln8 eln6 eln7 eln8 ，
即 6ln5 7ln 4 8ln3 ，
所以有 a b c ．
故选：A．
7. 函数 f (x) 2sin(x ) （ 0 ， ）的部分图象如图所示，若 g(x) f (x) 1在[ ,]上
2 6
有且仅有 3 个零点，则 的最小值为（ ）
5
A. B. 3
2
19 9
C. D.
6 2
【答案】A
【解析】
【分析】先求得 ，然后根据 g(x) f (x) 1在[ ,]上有且仅有 3 个零点列不等式，从而求得 的取值
6
范围，进而求得正确答案.
3
【详解】由图可知 f 0=2sin= 3,sin= ，
2
2 2
由于 ，所以 = ， f (x) 2sin(x )
2 3 3
2
令 g x=2sin x 1=0 ，
3
2 1 2 2 2
得 sin x = ，由 x 得 x ，
3 2 6 6 3 3 3
依题意， g(x) f (x) 1在[ ,]上有且仅有 3 个零点，
6
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2 2 7
3 6 3 6
故当 取值最小时，有 ，
2
3 4
6 3 6
5 5
解得 3 ，所以 的最小值为 .
2 2
故选：A
8. 定义在 R 上的不恒为零的偶函数 f x 满足 xf x 2 x 2 f x ，且 f 2 4 .则
5
f 2k f 2k （ ）
k 1
A. 30 B. 60 C. 90 D. 120
【答案】D
【解析】
f x 2 f x
【分析】首先等式变形为 ，再结合 f 2 4 以及偶函数的性质，即可求和.
x 2 x
f x 2 f x f 2
【详解】由条件可知， ，且 2 ，
x 2 x 2
f 2 f 4 f 6 f 8 f 10
则 2 ，
2 4 6 8 10
所以 f 2 f 4 f 6 f 8 f 10 22 4 6 8 10 60 ，
因为函数 f x 为偶函数，所以 f 2 f 4 f 6 f 8 f 10 60 ，
5
则 [ f (2k) f (2k)] 60 60 120 .
k 1
故选：D.
二、选择题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项是
符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分）
9. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续 5 天的日平均温度均不低于 22 ”.现有甲、乙、丙三地连续 5
天的日平均温度（单位:）的记录数据（记录数据都是正整数）:
甲地：5 个数据的中位数为 24，众数为 22；
乙地：5 个数据的中位数为 27，总体平均数为 24；
丙地：5 个数据中有一个数据是 32，总体平均数为 26，总体方差为 10.8.
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