数学试题
一单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
A x x2 9 0 B x y ln 2 x
1. 已知集合 ， ，则 A B （ ）
A. 2,3 B. 3,2 C. 0,3 D. ,3
2. 已知命题 p ：存在 x R ， x sin x ，则命题 p 的否定为（ ）
A. p ：存在 x R ， x sin x B. p ：任意 x R ， x sin x
C. p ：存在 x R ， x sin x D. p ：任意 x R ， x sin x
3. 下列函数中，与函数 f x x 是同一函数的是（ ）
A. f x ( x)2 B. f x x2
t 2
C. f x 3 x3 D. f t
t
ln x
4. 已知 f x ，下列说法正确的是（ ）
x
A. f x 无零点 B. 单调递增区间为 ,e
1
C. f x 的极大值为 D. f x 的极小值点为 x e
e
1
5. 若函数 f (x) x2 x a 的定义域和值域均为[1,b] (b 1) ，则 a b 的值为（ ）
2
9 7 5 9 5
A B. C. D. 或
. 2 2 2 2 2
5 tan 1
6. 已知 为第二象限角， sin ，则 （ ）
13 1 tan
17 7 17 7
A. B. C. D.
7 17 7 17
7. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益
增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg / cm3 ，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少
20% ，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过 0.2mg / cm3 ，若要使该工厂的废气达标排放，
那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据： lg2 0.3,lg3 0.477 ）
A. 5 B. 7 C. 8 D. 9
8. 已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f 2 x f x 0 ，当 x 0,1 时， f x log2 x .若函数
F x f x sin x 在区间1,m 上有 10 个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. 3.5,4 B. 3.5,4 C. 5,5.5 D. 5,5.5
二多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 已知集合 A x x 0,B x x a ,若 x A 是 x B 的充分条件,则 a 可以是（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
x
10. (多选题)已知 a>0，且 a1，函数 y=logax，y=a ，y=x+a 在同一坐标系中的图象不可能是（ ）
A. B.
C. D.
1
11. 已知 为锐角，且 cos sin ，则下列选项中正确的有（ ）
5
4
A. 0, B. tan
4 3
12 7
C sin cos D. sin cos
. 25 5
x 1 2
12 已知函数 f x ae x a R 有两个极值点 x1, x2 x1 x2 ，则（ ）
. 2
1 1
A 0 a B. f x
. e 1 2
1
C. f x D. x1 x2 2
2 2
三填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 集合 A {x | x(x 2) 0}，则集合 A 的子集的个数为________.
14. 若函数 f (x) 的定义域为2,2 ，则函数 f (x 1) f (1 2x) 的定义域为________.
1 a x1, x 1,
15. 已知 且 ，若函数 f x 在 R 上单调递减，则 a 的取值范围为
a 0 a 1 2 11
x ax , x 1
4
______．
x 1
16. 定义在 R 上的函数 f x 满足 f 0 0 ， f x f 1 x 1 ， f f x ，且当 0 x x 1
5 2 1 2
1
时， f x1 f x2 ，则 f _______．
2019
四解答题：共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
x 2
17. 实数集为 R，集合 A xx2 x 2 0 集合 B x 0 求
x 1
（1） CR A B
（2） C {x2m 1 x m}, C A ，求实数 m 的范围．
5
sin 2 xcos xcos x
2
18. 已知 f x ．
9
cos xsin xsin x
2
（1）化简 f x ；
（2）已知 f 2 ，求 sin2 的值．
3
19. 已知函数 f (x) a ln x bx2 ，a, b R，若 f (x) 在 x 1处与直线 y x 相切．
2
（1）求 a,b 的值；
1
（2）求 f (x) 在[ ,e]上的极值．
e
20. 已知函数 f x x2 a 2 x a ln x .
（1）当 a 2 且 a 0 时，求函数 f x 的单调区间；
（2）若 a 4 ，关于 x 的方程 f x m 0 有三个不同的实根，求 m 的取值范围.
21. 某服装厂拟在 2022 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年
1
促销费用 x（0x10）万元满足 m 3 .已知 2022 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万
x 1
件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的 2 倍（产品成本包
括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
（1）将 2022 年该产品的利润 y 元表示为年促销费用 x 万元的函数；
（2）该服装厂 2022 年的促销费用投入多少万元时，利润最大?
5
22. 已知函数 f x kx lnx k k R ．
4
（1）求函数 f x 的单调区间和最大值；
1
（2）设函数 g x f x kx 有两个零点 x1, x2 ，证明： x1 x2 2 ．
x
濮阳市一高 2021 级高三上学期第三次质量检测
数学试题
一单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
A x x2 9 0 B x y ln 2 x
1. 已知集合 ， ，则 A B （ ）
A. 2,3 B. 3,2 C. 0,3 D. ,3
【答案】B
【解析】
【分析】根据解一元二次不等式的方法，结合对数型函数的定义域、集合交集的定义进行求解即可.
【详解】 x2 9 0 3 x 3 ， 2 x 0 x 2 ，
所以 A 3,3 ， B ,2 ，
则 A B 3,2 ，
故选：B
2. 已知命题 p ：存在 x R ， x sin x ，则命题 p 的否定为（ ）
A. p ：存在 x R ， x sin x B. p ：任意 x R ， x sin x
C. p ：存在 x R ， x sin x D. p ：任意 x R ， x sin x
【答案】B
【解析】
【分析】特称命题的否定为全称命题，否定的方法：改量词，否结论.
【详解】因为 p ：存在 x R ， x sin x ，
所以 p ：任意 x R ， x sin x ，
故选：B.
3. 下列函数中，与函数 f x x 是同一函数的是（ ）
A. f x ( x)2 B. f x x2
t 2
C. f x 3 x3 D. f t
t
【答案】C
【解析】
【分析】由同一函数的定义依次判断选项即可.
【详解】解：函数 f x x ，定义域为 R .
选项 A 中 f x ( x)2 x ，定义域为0, ，故 A 错误；
选项 B 中 f x x2 x ，定义域为 R ，故 B 错误；
选项 C 中 f x 3 x3 x ，定义域为 R ，故 C 正确；
t 2
选项 D 中 f t t ，定义域为t t 0 ，故 D 错误.
t
故选：C.
ln x
4. 已知 f x ，下列说法正确的是（ ）
x
A. f x 无零点 B. 单调递增区间为 ,e
1
C. f x 的极大值为 D. f x 的极小值点为 x e
e
【答案】C
【解析】
1 ln x
【分析】由 f x 的定义域为 0, ，可判定 B 不正确；求得 f x ，得到函数 f x 的单调
x2
性和极值的概念，可判定 C 正确，D 不正确；结合单调性和 f 1 0 ，可判定 A 不正确.
ln x
【详解】由函数 f x ，可得定义域为 x 0, ，所以 B 不正确；
x
1 ln x
又由 f x ，令 f x 0 ，解得 x e，
x2
当 x (0,e) 时， f ( x) >0 ， f x 单调递增；
当 x (e,) 时， f x 0 ， f x 单调递减，
1
所以当 x e时，函数 f x 取得极大值，极大值为 f e ，无极小值，
e
所以 C 正确，D 不正确；
当 x (0,1) 时， f x 0 ；当 x 1时， f 1 0 ；当 x 1时， f x 0 ，
所以函数 f x 在定义域内有一个零点，所以 A 不正确.
故选：C.
1
5. 若函数 f (x) x2 x a 的定义域和值域均为[1,b] (b 1) ，则 a b 的值为（ ）
2
9 7 5 9 5
A. B. C. D. 或
2 2 2 2 2
【答案】A
【解析】
【分析】
1 2 1
整理 f x x 1 a ,由二次函数的性质可知当 x [1,b] 时, f (x)min f (1) , f (x)max f (b) ,由
2 2
值域为[1,b] 求解即可
1 1 1
【详解】 f (x) x2 x a (x 1)2 a ,
2 2 2
1 1
当 x [1,b] (b 1) 时, f (x) f (1) a , f (x) f (b) b2 b a ,
min 2 max 2
又 f (x) 在[1,b] (b 1) 上的值域为[1,b] (b 1) ,
1
a 1
2 3
,解得 a , b 3 或 b 1（舍去）,
1 2
b2 b a b
2
3 9
a b 3
2 2
故选：A
【点睛】本题考查二次函数性质的应用,考查已知函数的值域、定义域求参问题
5 tan 1
6. 已知 为第二象限角， sin ，则 （ ）
13 1 tan
17 7 17 7
A. B. C. D.
7 17 7 17
【答案】C
【解析】
5 12
【分析】根据 为第二象限角， sin ，利用同角三角函数的基本关系求出 cos ，进而得到
13 13
5
tan ，代入计算即可求解.
12
5 12
【详解】因为 为第二象限角，且 sin ，所以 cos 1 sin2 ，
13 13
5
1
sin 5 tan 1 17
则 tan ，所以 12 ，
5
cos 12 1 tan 1 7
12
故选： C .
7. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益
增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg / cm3 ，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少
20% ，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过 0.2mg / cm3 ，若要使该工厂的废气达标排放，
那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据： lg2 0.3,lg3 0.477 ）
A. 5 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】设该污染物排放前过滤的次数为 n n N * ，由题意1.2 0.8n 0.2 ，两边取以 10 为底的对数
lg 2 lg3
可得 n ，根据参考数据即可求解.
1 3lg 2
n
* n 5
【详解】解：设该污染物排放前过滤的次数为 n n N ，由题意1.2 0.8 0.2 ，即 6 ，
4
n
5 5 2
两边取以 10 为底的对数可得 lg lg 6 ，即 nlg lg 2 lg3，
4 8
lg 2 lg3
所以 n ，
1 3lg 2
lg 2 lg3 0.3 0.477
因为 lg2 0.3,lg3 0.477 ，所以 7.77 ，
1 3lg 2 1 3 0.3
*
所以 n 7.77 ，又 n N ，所以 nmin 8 ，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为 8 次.
故选：C.
8. 已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f 2 x f x 0 ，当 x 0,1 时， f x log2 x .若函数
F x f x sin x 在区间1,m 上有 10 个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. 3.5,4 B. 3.5,4 C. 5,5.5 D. 5,5.5
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可知 f x 和 sin x 都是周期为 2 的周期函数，因此可将 F x f x sin x 的零
点问题转换为 f x 和 sin x 的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第 10 个零点坐标，而 m
的取值范围就在第 10 个零点和第 11 个零点之间.
【详解】由 f 2 x f x 0 f x f 2 x f x 2 得 f x 是一个周期为 2 的奇函数，
1 1
当 x 0,1 时， f x log2 x ，因此 f log2 1， f 1 0
2 2
1
因为 f x 是奇函数，所以 f 0 0 ， f 1， f 1 0
2
2 1 1
且 g x sin x 的周期为T 2 ，且 g 1 0 ， g 1， g 0 0 ， g 1，
2 2
g 1 0
求 F x f x sin x 的零点，即是 f x 与 g x 的交点，如图：
为 f x 与 g x 在1,1 区间的交点图形，因为 f x 与 g x 均为周期为 2 的周期函数，
因此交点也呈周期出现，由图可知 F x 的零点周期为 1 ，
2
若在区间1,m 上有 10 个零点，则第 10 个零点坐标为 3.5,0 ，
第 11 个零点坐标为 4,0 ，因此 3.5 m 4 .
故选：A
【点睛】思路点睛：函数的零点问题，往往可以转化为常见函数的交点的个数问题，而图象的刻画需结合
函数的奇偶性、周期性等来处理.
二多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 已知集合 A x x 0,B x x a ,若 x A 是 x B 的充分条件,则 a 可以是（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】AB
【解析】
【分析】根据充分条件的概念,得出集合之间的包含关系,即可得出 a 的范围,选出选项.
【详解】解:因为 x A 是 x B 的充分条件,
所以 A B ,所以有 a 0 .
故选:AB
x
10. (多选题)已知 a>0，且 a1，函数 y=logax，y=a ，y=x+a 在同一坐标系中的图象不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
x
【分析】根据函数 y=logax，y=a 图象关于 y = x 对称且同一坐标系中底数 a 相同，而一次函数图象中 a 是
y 轴上的截距，即可判断各选项的正误
【详解】选项 A，指数函数和对数函数图象可知 a>1，而一次函数知 a<1，故错误
x
选项 B，函数 y=a 与 y=logax 的图象关于直线 y=x 对称，故错误
选项 C，正确;
选项 D，指数函数和对数函数可知 0
故选：ABD
【点睛】本题考查了对数函数图象及性质，结合同底指数函数、对数函数关于 y = x 对称，及一次函数性
质，判断图象的正误
1
11. 已知 为锐角，且 cos sin ，则下列选项中正确的有（ ）
5
4
A. 0, B. tan
4 3
12 7
C. sin cos D. sin cos
25 5