呼和浩特市2023-2024 学年第一学期高三年级学业质量监测
文科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上.
2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、选择题：本大题共 12 小题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
A x x 3 B x N x 4
1. 已知集合 ， ，则 A B （ ）
A. 3,3 B. 0,3 C. 0,1,2 D. 1,2
2. 已知复数 z 满足 z(1 i) i ，则 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知直线l 、m、n 与平面 、 ，下列命题正确的是（ ）
A. 若 ， l ，则 l B. 若 l ， l // ，则
C. 若 l n ， m n ，则 l // m D. 若 / / ， l ， n ，则 l / /n
4. 已知 f x ln ex 1 ax 是偶函数，则 a 的值是（ ）
1 1
A. 2 B. C. D. 2
2 2
5. 我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定
理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如
图，若大正方形的面积是 25，小正方形的面积是 1，则 AD FC （ ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 16
2x2 1
6. 函数 y sin2xln 的图象可能为（ ）
x2
第1页/共5页
A. B.
C. D.
2 2 2
7. 已知等比数列an 的首项为 1，公比为 3，则 a1 a2 an （ ）
2 1 1
A. 3n 2 B. 3n 1 C. 9n 1 D. 9n 1
2 8
kx
8. 用模型 y ae 拟合一组数据组 xi , yi i 1, 2,3,, 7 ，其中 x1 x2 x7 14 ，设 z ln y ，得
变换后的线性回归方程为 z x 1，则 y1 y2 y7 （ ）
A. e35 B. e21 C. 35 D. 21
9. 已知一个正三棱柱的三视图如下图所示，则该三棱柱的体积为（ ）
A. 8 3 B. 12 C. 12 3 D. 16
10. 直线 kx y 3k 1 0 （ k R ）截圆 x2 y2 2x 8 0 所得弦长的最小值是（ ）
A. 2 B. 5 C. 4 D. 6
11. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角
三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥 P ABC 为鳖臑， PA 平面 ABC ， PA AB 1， AC 2 ，三
棱锥 P ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ）
A. 3 B. 5 C. 6 D. 9
12. 定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f 1 x f 1 x ，且当 x 0,1 时， f x x2 ，则函数
1
g x f x 在4,12 上所有零点的和为（ ）
x 4
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A. 16 B. 24 C. 32 D. 40
二、填空题：本大题共 4 小题.
1
13. 抛物线 x y2 的焦点坐标为___________.
8
y 2
14. 当 x、y 满足条件 2x y 4 时， z 2x y 的最小值为__________.
x y 11
1
15. 已知等差数列an 是递增数列，且满足 a2a8 85 ， a3 a7 22 ，令 bn n 2 ，且
anan1
1
b ，则数列b 的前 n 项和为__________.
1 3 n
x2 y2
16. 已知双曲线 C ： 1 （ a 0 ，b 0 ）的左右焦点分别为 F1 、 F2 ，过 F2 的直线l 与双曲线 C 交
a2 b2
于 A 、 B 两点（ A 在第一象限， B 在第四象限），若 AF2 : BF2 : BF1 3:1:3，则该双曲线的离心率为
______.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个学生都
必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题
17. 2023 年秋末冬初，某市发生了一次流感疾病，某医疗团队为研究本地的流感疾病与当地居民生活习惯
（良好、不够良好）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100 人（称为病例组），同时在未患该疾病
的人群中随机调查了 100 人（称为对照组），得到如下数据：
良 不 够 良
好 好
病 例
25 75
组
对 照
45 55
组
（1）分别估计病例组和对照组中生活习惯为良好的概率；
（2）能否有 99%的把握认为感染此次流感疾病与生活习惯有关？
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nad bc2
附： K 2
a bc d a cb d
PK 2 k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6. 635 10.828
18. 在 ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别 为 a，b，c.已知 a 3 ，b 4 .
5
（1）若 cos B ，求角 A；
3
3 15
（2）若 ABC 的面积 S ，求边 c.
4
19. 如图 1，在直角梯形 ABCD 中， AD//BC ， BAD 90 ， AD 2AB 2BC 4 ，E 是 AD 的中
点， 是 与 的交点 将 沿 折起到如图 中 A BE 的位置，得到四棱锥 A BCDE
O AC BE . ABE BE 2 1 1 .
图 1 图 2
（1）证明： CD A1C ；
（2）当平面 A1BE 平面 BCDE 时，求三棱锥 D A1BC 的体积.
x2 y2 3
20. 已知椭圆 C ： 1a b 0 的焦距为 2，点 1, 在椭圆 C 上，A、B 分别为椭圆的左、右
a2 b2 2
顶点.
（1）求椭圆 C 的方程；
7
（2）若点 P 是椭圆 C 上第二象限内的点，点 Q 在直线 x 上，且 BP BQ ， BP BQ ，求
2
APQ 的面积.
21. 已知函数 f x x 3 3ax a .
（1）若 a R ，讨论函数 f x 的单调性；
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（2）若 0 a 9 ， x , x 0,3 ，求 f x f x 的取值范围.
1 2 1 2 max
（二）选考题
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
x 3 cos
22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 0 2 ），曲线 C2 的参数方程为
y sin
x tcos30
（ t 为参数）.
y 6 tsin30
（1）求曲线C1 的普通方程；
（ ）若 A 0,1 ， B 3,0 ，在曲线 C 上任取一点 ，求 的面积
2 2 C ABC .
[选修 4-5：不等式选讲]
23. 已知函数 f x 2 x x 2 .
（1）求不等式 f x 3 x 的解集；
（2）将函数 f x 的图象与直线 y 4 围成图形的面积记为 t ，若正数 a 、 b 、 c 满足 a 2b c t ，求
1 3 b
证： .
a c 4
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文科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上.
2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、选择题：本大题共 12 小题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
A x x 3 B x N x 4
1. 已知集合 ， ，则 A B （ ）
A. 3,3 B. 0,3 C. 0,1,2 D. 1,2
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式，得到 A x 3 x 3 ，利用交集概念进行求解.
【详解】 A x x 3 x 3 x 3，
故 A B x 3 x 3x N x 4 0,1,2.
故选：C
2. 已知复数 z 满足 z(1 i) i ，则 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】用复数的四则运算法则求出 z ，接着求出 z ，即可得出共轭复数在复平面内对应的点所在的象限.
i i1 i 1 i 1 1
【详解】由已知得 z i ，
1 i 1 i1 i 2 2 2
1 1
则 z i ，则 z 在复平面内对应的点位于第四象限，
2 2
故选： D .
3. 已知直线l 、m、n 与平面 、 ，下列命题正确的是（ ）
A. 若 ， l ，则 l B. 若 l ， l // ，则
C. 若 l n ， m n ，则 l // m D. 若 / / ， l ， n ，则 l / /n
【答案】B
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【解析】
【分析】ACD 可举出反例；B 选项，作出辅助线，由线面平行得到线线平行，进而由线面垂直得到面面垂
直.
【详解】A 选项，如图 1，满足 ， l ，但 l, 不垂直，A 错误；
B 选项，如图 2，因为 l // ，
所以作平面 ，使得 l ，且 a ，
则 l/ / a ，
因为 l ，则 a ，又 a ，故 ，B 正确；
C 选项，如图 3，满足 l n ， m n ，但 l,m 不平行，C 错误；
D 选项，如图 4，满足 / / ， l ， n ，但 l,n 不平行，D 错误.
第2页/共 20页
故选：B
4. 已知 f x ln ex 1 ax 是偶函数，则 a 的值是（ ）
1 1
A. 2 B. C. D. 2
2 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由 f x f x ，得到 ln ex 1 ax ln ex 1 ax ，结合对数的运算法则，即可
求解.
【详解】由函数 f x ln ex 1 ax 是偶函数，则 f x f x ，
可得 ln ex 1 ax ln ex 1 ax ，即 2ax ln ex 1 ln ex 1 ln ex x ，
1
所以 2a 1，解得 a .
2
故选：C.
5. 我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定
理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如
图，若大正方形的面积是 25，小正方形的面积是 1，则 AD FC （ ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 16
【答案】B
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【解析】
【分析】设 DE AH x ，根据勾股定理求得 x 3 ，得出 cosDAE ，再根据数量积的定义即可得解.
【详解】因为大正方形的面积是 25，小正方形的面积是 1，所以 AD 5, EH 1,
设 DE AH x ，则 AE AH EH x 1，
2
在 RtAED 中， AD2 DE 2 AE 2 ，即 25 x2 x 1 ，解得 x 3 或 4 （舍去），
AE 4
所以 cosDAE ，
AD 5
易知在正方形 ABCD 中， AD BC ， BCF DAE ， FC DE 3 ，
4
所以 AD FC BC FC BC FC cosBCF 53 12 .
5
故选：B.
2x2 1
6. 函数 y sin2xln 的图象可能为（ ）
x2
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数在 (0, ) 上函数值的正负情况，利用排除法判断即可.
2
2x2 1
【详解】函数 y f (x) sin 2x ln 的定义域为x | x 0，
x2
2(x)2 1 2x2 1
又 f (x) sin 2(x)ln sin 2x ln f (x) ，
(x)2 x2
2x2 1
因此函数 y sin2xln 为奇函数，函数图象关于原点对称，BD 错误；
x2
2x2 1 1 2x2 1
当 x (0, ) 时， sin 2x 0 ， 2 2 ，则 ln 0 ，
2 x2 x2 x2
第4页/共 20页
2x2 1
因此 sin 2x ln 0 ，C 错误，A 符合题意.
x2
故选：A
2 2 2
7. 已知等比数列an 的首项为 1，公比为 3，则 a1 a2 an （ ）
2 1 1
A. 3n 2 B. 3n 1 C. 9n 1 D. 9n 1
2 8
【答案】D
【解析】
2 2
【分析】由定义得到an 为首项为1 1，公比为 9 的等比数列，利用求和公式求出答案.
2
an1 2
【详解】由题意得 2 3 9 ，
an
2 2
故an 为首项为1 1，公比为 9 的等比数列，
1 9n 1
则 2 2 2 n .
a1 a2 an 9 1
1 9 8
故选：D
kx
8. 用模型 y ae 拟合一组数据组 xi , yi i 1, 2,3,, 7 ，其中 x1 x2 x7 14 ，设 z ln y ，得
变换后的线性回归方程为 z x 1，则 y1 y2 y7 （ ）
A. e35 B. e21 C. 35 D. 21
【答案】B
【解析】
【分析】求出 x, z ，即 ln y1 y2 y7 21，得到答案.
x x x
【详解】由题意得 x 1 2 7 2 ，
7
故 z x 1 3，
即 ln y1 ln y2 ln y7 37 21，
21
故 ln y1 y2 y7 21，解得 y1 y2 y7 e .
故选：B
9. 已知一个正三棱柱的三视图如下图所示，则该三棱柱的体积为（ ）
第5页/共 20页