高三数学
（考试时间：150 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．某篮球兴趣小组 7 名学生参加投篮比赛，每人投 10 个，投中的个数分别为 8，5，7，5，8，6，8，则
这组数据的众数和中位数分别为（ ）．
A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7
2．设椭圆的两个焦点分别为 F1 、 F2 ，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ，若F1PF2 为等腰直角三角
形，则椭圆的离心率是（ ）
2 2 1
A． B． C． 2 1 D． 2
2 2
3．若数列an 满足 2an1 an an2 ，其前 n 项和为 Sn ，若 a8 0 ， a16 a17 18 ，则 S17 （ ）
18 35
A． 0 B．18 C． D．
17 17
4．已知 、 是两个不同的平面， m 、 n 是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若 m ， n// ，则 m n B．若 m ， n ， // ，则 m//n
C．若 // ， m ，则 m / / D．若 m n ， m ， n// ，则
5．在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行
政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲乙丙丁 4 名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指
导教育教学工作，则每个地区至少安排 1 名专家的概率为（ ）
1 4 1 8
A． B． C． D．
9 9 3 27
6．设 F 为抛物线 y2 2x 的焦点， A，B，C 为该抛物线上三点，若 FA FB FC 0 ，则
| FA | FB | | FC | （ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
3 1 sin2
7．已知 , , tan2 4tan ，则 （ ）
4 4 2cos2 sin2
1 3 3
A． B． C．1 D．
4 4 2
x2 y2
8．已知 F , F 分别为双曲线 1(a 0,b 0) 的左、右焦点，过 F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线
1 2 a2 b2 2
交双曲线于点 P ，若 PF1 4 PF2 ，则双曲线的离心率为 （ ）
21
A． 7 B． C． 3 D． 21
3
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．若函数 f x sin 2x 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g x 的图象，则（ ）
8 8
A． g x 的最小正周期为
B． g x 是奇函数
3
C． g x 的图象关于直线 x 对称
16
D． g x 在 0, 上单调递增
8
10．已知复数 z 2 i ， z1 x yi （ x ， y R ）（i 为虚数单位）， z 为 z 的共轭复数，则下列结论正确的
是（ ）
A． z 的虚部为i
B． z2 | z |2
| z |
C． 1
| z |
D．若 z - z1 1，则在复平面内 z1 对应的点形成的图形的面积为
11．已知函数 f x ， g x 的定义域均为 R，且 g x f 4 x ， f x y f x y g x 4 f y ，
g 3 1，则下列说法正确的有（ ）
A． f 1 1 B． f x 为奇函数
2026
C． f x 的周期为 6 D． f k 3
k 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．已知集合 A x 3 x 2, B x x a 且 A B ，则实数 a 的取值范围是 ．
13．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱
的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为 4 3 ，则该模
型中圆柱的表面积为 .
a 2
14．对于任意两个正实数 a，b，定义 a b ，其中常数 ,1 ．若u v 0 ，且u v 与 v u 都
b 2
n
是集合 x | x ，n Z的元素，则u v ．
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）已知函数 f x lnx x2 ax 2 在点2, f 2 处的切线与直线 2x 3y 0 垂直．
（1）求 a ；
（2）求函数的单调性和极值.
16．（15 分）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有 4 个黑球，
3 个红球，1 个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出 3 个球，观察颜色后放回.若摸
出的球中有 X 个红球，则分得 X 个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
17．（15 分）如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD 和侧面 BCC1B1 都是矩形， D1D D1C 5
， AB 2BC 2 .
(1)求证： AD D1C ；
D P
(2)若点 P 的在线段 BD 上，且二面角 P CD B 的大小为 ，求 1 的值.
1 4 PB
18．（17 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 E : y2 2 px( p 0) 的焦点为 F, E 的准线l 交 x 轴于点 K ，
过 K 的直线l 与抛物线 E 相切于点 A ，且交 y 轴正半轴于点 P .已知 E 上的动点 B 到点 F 的距离与到直线
x 2的距离之和的最小值为 3.
(1)求抛物线 E 的方程；
(2)过点 P 的直线交 E 于 M , N 两点，过 M 且平行于 y 轴的直线与线段OA 交于点T ，点 H 满足 MT TH .证
明：直线 HN 过定点.
19．（17 分）今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按原
来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以 M 余数为 N 的项，将这样
的操作记为 L(M , N ) 操作.设数列an 是无穷非减正整数数列.
n1
（1）若 an 2 ,n N ，an 进行 L(2,1) 操作后得到bn ，设 an bn 前 n 项和为 Sn
求 Sn ．
是否存在 p,q,r N ，使得 SP , Sq , Sr 成等差？若存在，求出所有的 ( p,q,r) ；若不存在，说明理由．
（2）若 an n,n N ，对an 进行 L(4,0) 与 L(4,1) 操作得到bn ，再将bn 中下标除以 4 余数为 0，1 的
项删掉最终得到cn 证明：每个大于 1 的奇平方数都是cn 中相邻两项的和．
2024 年 1 月“九省联考”考后提升卷
高三数学
（考试时间：150 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．某篮球兴趣小组 7 名学生参加投篮比赛，每人投 10 个，投中的个数分别为 8，5，7，5，8，6，8，则
这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7
【答案】D
【解析】数据由小到大排列为 5，5，6，7，8，8，8，
因此，这组数据的众数为 8，中位数为 7．故选：D．
2．设椭圆的两个焦点分别为 F1 、 F2 ，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ，若F1PF2 为等腰直角三角
形，则椭圆的离心率是（ ）
2 2 1
A． B． C． 2 1 D． 2
2 2
【答案】C
【解析】依题意，设椭圆的长轴为 2a ，半焦距为 c ，
则 F1F2 2c ，则 PF2 2c ， PF1 2 2c ，
于是 2a PF1 PF2 2 2c 2c ，
c 2c 2c
e 2 1.故选：C.
a 2a 2 2c 2c
3．若数列an 满足 2an1 an an2 ，其前 n 项和为 Sn ，若 a8 0 ， a16 a17 18 ，则 S17 （ ）
18 35
A． 0 B．18 C． D．
17 17
【答案】B
【解析】因为数列an 满足 2an1 an an2 ，则数列an 为等差数列，
18
设数列a 的公差为d ，则 a a a 8d a 9d 17d 18 ，可得 d ，
n 16 17 8 8 17
18
所以， a a d ，
9 8 17
17a a 17 2a 18
所以， S 1 17 9 17a 17 18，故选 B.
17 2 2 9 17
4．已知 、 是两个不同的平面， m 、 n 是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若 m ， n// ，则 m n B．若 m ， n ， // ，则 m//n
C．若 // ， m ，则 m / / D．若 m n ， m ， n// ，则
【答案】D
【解析】对于 A 选项，因为 n// ，过直线 n 作平面 ，使得 a ，
因为 n// ， n ， a ，则 n//a ，
因为 m ， a ，则 m a ，故 m n ，A 对；
对于 B 选项，若 m ， // ，则 m ，又因为 n ，故 m//n ，B 对；
对于 C 选项，若 // ， m ，则 m / / ，C 对；
对于 D 选项，若 m n ， m ， n// ，则 、 平行或相交，D 错.
故选 D.
5．在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行
政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲乙丙丁 4 名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指
导教育教学工作，则每个地区至少安排 1 名专家的概率为（ ）
1 4 1 8
A． B． C． D．
9 9 3 27
【答案】B
【解析】甲乙丙丁 4 名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：34 81种；
2 3
每个地区至少安排 1 名专家的安排方法有： C4A3 36 种；
36 4
由古典概型的计算公式，每个地区至少安排 1 名专家的概率为： .
81 9
故选：B.
6．设 F 为抛物线 y2 2x 的焦点， A，B，C 为该抛物线上三点，若 FA FB FC 0 ，则
| FA | FB | | FC | （ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
【答案】D
1 1
【解析】设 A(x1 ， y1 ) ， B(x2 ， y2 ) ， C(x3 ， y3 ) ，抛物线焦点坐标 F ,0 ，准线方程： x ，
2 2
FA FB FC 0 ，点 F 是 AABC 重心，
3
则 x x x ， y y y 0 .
1 2 3 2 1 2 3
1 1 1 1 1 1
而 FA x1 x1 ， FB x2 x2 ， FC x3 x3
2 2 2 2 2 2
1 1 1 3 3 3
FA FB FC x x x x x x 3 ，
1 2 2 2 3 2 1 2 3 2 2 2
故选：D．
3 1 sin2
7．已知 , , tan2 4tan ，则 （ ）
4 4 2cos2 sin2
1 3 3
A． B． C．1 D．
4 4 2
【答案】A
3
【解析】由题 , , tan2 4tan ，
4 4
2 tan 4tan 1 2
得 4tan 1 2 tan ，
1 tan2 1 tan
1
则2 tan 1tan 2 0 tan 2 或 tan ，
2
3 1
因为 , , tan 1,0，所以 tan ，
4 2
1 sin2 sin2 cos2 2sincos tan2 1 2tan
2cos2 sin2 2cos2 2sincos 2 2tan
1
11
1
4 .
2 1 4
故选：A
x2 y2
8．已知 F , F 分别为双曲线 1(a 0,b 0) 的左、右焦点，过 F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线
1 2 a2 b2 2
交双曲线于点 P ，若 PF1 4 PF2 ，则双曲线的离心率为 （ ）
21
A． 7 B． C． 3 D． 21
3
【答案】B
【解析】
b
如图，不妨设点 P 为与双曲线渐近线 y x 平行的直线与双曲线的交点.
a
由已知结合双曲线的定义可得 PF1 PF2 3 PF2 2a ，
2 8 b
所以， PF a ， PF a ， tan F F P ，且 F F P 为锐角.
2 3 1 3 1 2 a 1 2
sin F F P b
1 2 tan F F P 2 2
又 1 2 ，sin F1F2 P cos F1F2 P 1，
cosF1F2 P a
a
所以， cosF F P .
1 2 c
又 F1F2 2c ，
在AF1F2 P 中，由余弦定理可得
2 2
2 2 8
PF 2 F F 2 PF 2 a 2c a
2 1 2 1 3 3 a
cosF1F2 P ，
2 PF F F 2 c
2 1 2 2 a 2c
3
整理可得，3c2 7a2 ，
7 21 c 21
所以 c a2 a ， e .
3 3 a 3
故选：B.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．若函数 f x sin 2x 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g x 的图象，则（ ）
8 8
A． g x 的最小正周期为
B． g x 是奇函数
3
C． g x 的图象关于直线 x 对称
16
D． g x 在 0, 上单调递增
8
【答案】ACD
【解析】由题意，可得 g x sin 2 x sin 2x ，
8 8 8
则 g x 的最小正周期为 ，且 g x 不是奇函数，所以 A 正确，B 不正确；
3 3
当 x 时，可得 g x sin(2 ) sin 1，
16 16 8 2
3
所以 g x 的图象关于直线 x 对称，所以 C 正确；
16
3
由 x 0, ，得 2x , ，所以 g x 在 0, 上单调递增，所以 D 正确．
8 8 8 8 8
故选：ACD.
10．已知复数 z 2 i ， z1 x yi （ x ， y R ）（i 为虚数单位）， z 为 z 的共轭复数，则下列结论正确的
是（ ）
A． z 的虚部为i
B． z2 | z |2
| z |
C． 1
| z |
D．若 z - z1 1，则在复平面内 z1 对应的点形成的图形的面积为
【答案】CD
【解析】由题意可得 z 2 i ，所以 z 的虚部为 1，A 错误，
z2 2 i2 3 4i, z 22 12 5 ，故 z2 z |2 ，B 错误，
| z | 22 (1)2
1，C 正确，
| z | 22 12
z - z1 1表示点 x, y 到 (2,1) 的距离不大于 1 的点构成的图形，故为以 (2,1) 为圆心，以 1 为半径的圆以及
内部，故面积为 ，D 正确，
故选：CD
11．已知函数 f x ， g x 的定义域均为 R，且 g x f 4 x ， f x y f x y g x 4 f y ，
g 3 1，则下列说法正确的有（ ）
2026
A． f 1 1 B． f x 为奇函数 C． f x 的周期为 6 D． f k 3
k 1
【答案】ACD
【解析】对于 A， g 3 f 1 1，故 A 正确；
g x f 4 x ， g x 4 f x ，
f x y f x y f x f y ，令 y 1，
则 f x 1 f x 1 f x ，
f x 2 f x f x 1 ，
+可得 f x 1 f x 2 0 ，
f x f x 3 0 ， f x 3 f x 6 0 ，
f x f x 6 ，因此T 6 ，故 C 正确；
令 x 0 ， f y f y f 0 f y ，
令 x 1， y 0 ， 2 f 1 f 1 f 0 ，
则 f 0 2 ，故 x 0 ， f y f y 2 f y f y f y ，
故 f x 为偶函数，所以 B 不正确；
因为 f x f x 6 f x ，故 f x 关于 x 3对称，
且 f 0 2 ， f 1 1，令 x 1， y 1，
则 f 2 1，令 x 2 ， y 1， f 3 2 ，
则 f 4 f 2 1， f 5 f 1 1，