数学（文科）试题
注意事项：
1.本试卷共 4 页，全卷满分 150 分，答题时间 120 分钟
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在
本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，
一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 A {xx m}, B {x 2 x 3} ，若 A B ，则实数 m 的取值范围为（ ）
A. ,2 B. ,2 C. 3, D.3,
2.若复数 z 满足 z i 1 2i ，则 z （ ）
A.1 i B.1 i C. 1i D. 1i
y2
3.已知双曲线 C : x2 1m 0 的一条渐近线方程为 y 2x ，则 C 的焦点坐标为（ ）
m
A. 3,0 B. 0, 3 C. 1,0 D. 0,1
2
4.设函数 f x log0.5 ax x 在区间 0,1 单调递减，则 a 的取值范围是（ ）
A. ,2 B.2,0 C. 0,2 D.2,
3
5.已知 cos cos ，则 cos 2 （ ）
3 2 3
1 1 3 3
A. B. C. D.
2 2 4 4
6.已知圆 C : (x a)2 (y b)2 1 经过点 A3,4 ，则其圆心到原点的距离的最大值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
7.如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱
靶，则其命中 9 环的概率为（ ）
3 1 1 1
A. B. C. D.
16 16 8 5
8.已知函数 f x sin2x cos2x ，则下列说法中不正确的是（ ）
A. f x 的最小正周期为 B. f x 的最大值为 2
C. f x 在区间 , 上单调递增 D. f x f x
4 4 8 8
9.设ABC 的内角满足 A B, A C ，则“ABC 是锐角三角形”是“ sinA… cosC ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
x2 y2
10.已知原点为 O ，椭圆 C : 1(a b 0) 与直线 l : x y 1 0 交于 A, B 两点，线段 AB 的中点为
a2 b2
1
M ，若直线 OM 的斜率为 ，则椭圆 C 的离心率为（ ）
4
1 3 5 1 6
A. B. C. D.
2 2 2 3
11.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F,G 分别为 BC,CD, DD1 的中点，若 AB 4 ，则平面 EFG 截正
方体所得截面的面积为（ ）
A. 6 2 B. 6 3 C.12 2 D.12 3
lnx
12.若函数 f x ax2 有两个极值点，则实数 a 的取值范围为（ ）
x
1 1 1 1 1
A. 4 ,0 B. 0, 4 C. 0, 4 D. 4 , 4
e 6e e e 6e
二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.某校高一年级甲，乙两名同学 8 次历史测试（100 分制）成绩如茎叶图所示，则甲，乙两名同学成绩的
中位数之和为__________.
14.已知点 O 为ABC 外接圆的圆心，且 OA OB CO 0 ，则 cos AC, BC __________.
15.已知函数 f x 是定义域为 R 的偶函数，且 f x 1 为奇函数，写出函数 f x 的一个解析式为
f x __________.
16.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重
量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种
简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边
形 ABCD 是边长为 2 的正方形，且ADE,BCF 均为正三角形 , EF CD, EF 4 ，则该木楔子的外接
球的表面积为__________.
三解答题：共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第 17~21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答.第 2223 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.（本小题满分 12 分）
已知数列 a 满足： n1 n *
n a1 4a2 4 an n4 ,n N .
（1）求数列an 的通项公式；
1 1 1 1
（2）若 ，求正整数 m 的最大值.
a1a2 a2a3 amam1 13
18.（本小题满分 12 分）
学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲乙作为代表进行决赛.
决赛共设三个项目，每个项目胜者得 10 分，负者得-5 分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获
得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为 0.4,0.6,0.6 ，各项目的比赛结果相互独立.甲乙获得冠
军的概率分别记为 p1, p2 .
（1）求甲教师总得分为 0 分的概率；
2 p2 p2
（2）判断甲乙获得冠军的实力是否有明显差别（若 p p … 1 2 0.1 ，则认为甲乙获得冠军
1 2 5
的实力有明显差别，否则认为没有明显差别.）.
19.（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P ABCD 的底面是正方形， PD 平面 ABCD ，点 E 是 PA 的中点， F 是线段 PB 上靠
近 P 的三等分点， PD AD 2 .
（1）求证： PC 平面 BDE ；
（2）求点 F 到平面 BDE 的距离.
20.（本小题满分 12 分）
已知函数 f x xex ax cosx 1.
（1）当 a 2 时，求曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
（2）若 x 0, , f x… 0 ，求实数 a 的取值范围.
21.（本小题满分 12 分）
2
过抛物线 C : y 2 px( p 0) 焦点 F 的直线 l 交 C 于 M , N 两点，若直线 l 垂直于 x 轴，则OMN 的面积
为 2，其中 O 为原点.
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）抛物线 C 的准线上是否存在点 P ，使得当 PM PN 时，OMN 的面积为 2 2 .若存在，求出点 P
的坐标；若不存在，请说明理由.
（二）选考题：共 10 分.考生从 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分.
22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
x 5cos 4,
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），以原点 O 为极点， x 轴
y 5sin 3
正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 C 的极坐标方程；
（2）设 M , N 是曲线 C 上的两点，且 OM ON ，求OMN 面积的最大值.
23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f x x 1 2 x 2 .
（1）求不等式 f x 9 的解集；
1 2 3
（2）记函数 f x 的最小值为 M ，若正数 a,b,c 满足 M 5 ，证明： 3a 2b c… 2 3 .
a b c
铜川市 2024 年高三年级第三次模拟考试
数学（文科）试题参考答案及评分标准
一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1.D 【解析】 A B,x B, x A.m… 3 ，即 m 的取值范围为3, .故选 D 项.
2i 2i1 i
2.A 【解析】复数 z 1 i .
i 1 1 i1 i
y2
3.A 【解析】易知 m 0 ，令 x2 0 ，解得 y mx ，故 m 2 ，即 m 2 ，从而
m
c 1 2 3 ，从而 C 的焦点坐标为 3,0 .故选 A 项.
a
4.D 【解析】设 t ax x2 ，则其对称轴为 x ，抛物线开口向下，
2
2
y log0.5t 是减函数，要使 f x 在区间 0,1 单调递减，则 t ax x 在区间 0,1 单调递增，即
a
…1 ，即 a… 2 ，故实数 a 的取值范围是2, .故选 D 项.
2
3 1 3
5.A 【解析】cos cos sin cos sin ，
3 2 2 6 2
2 1
cos 2 1 2sin .故选 A.
3 6 2
6.C 【解析】由圆 C : (x a)2 (x b)2 1经过点 3,4 ，可得 (3 a)2 (4 b)2 1，即
(a 3)2 (b 4)2 1，故圆心 a,b 的轨迹是以 A3,4 为圆心，1 为半径的圆，又
AO 32 42 5,圆心到原点的距离的最大值为 5 1 6 .
7.A 【解析】设中心 10 环圆的半径为 r ，则射击靰所在大圆的半径为 4r ，面积为 (4r)2 16r 2 ；环所
3r 2 3
在圆环的面积为 (2r)2 r 2 3r 2 ，故所求概率为 .
16r 2 16
8.C 【解析】依题意 f x 2sin 2x ，则函数 f x 的最大值为 2 ，最小值正周期为 ，从而
4
可排除 A,B 选项.
, f 1, f 2 ，即 f f ，故 f x 在区间 , 上不可能
4 8 4 8 4 8 4 4
单调递增，应选 C 项.
f x 2sin 2 x 2sin 2x 2cos2x 为偶函数，从而
8 8 4 2
f x f x ，从而可排除 D 选项.
8 8
9.A 【解析】 ABC 是锐角三角形，则 A C 0 ，于是 sinA sin C cosC ，即充分
2 2 2
性得证；当 B , A C 时，满足 sinA… cosC ，但 ABC 不是锐角三角形，必要性不成立.
2 4
x1 x2 y1 y2
10.B 【解析】设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，则 M , ，
2 2
2 2
x1 y1
2 2 1, 2
a b b y1 y2 y1 y2
则 两式相减可得 ，
x2 y2 a2 x x x x
2 2 1, 1 2 1 2
a2 b2
2
b 1 2 2 2 c 3
，即 2 2 ，即 a 4 a c ，故
2 1 a 4b .
a 4 a 2
11.D 【解析】如图，过点 G 作 EF 的平行线交 BB1 于点 J ，过点 J 作 FG 的平行线交 A1B1 于点 I ，过点
I 作 EF 的平行线交 A1D1 于点 H ，易知点 J, I, H 都在截面 EFG 内，且都是其所在棱的中点，从而所得
1
截面是边长为 2 2 的正六边形，所求面积 S 6 2 2 2 2 sin 60 12 3 .故选 D.
2
1 lnx
12.B 【解析】 f x 2ax ，
x2
lnx 1
令 f x 0 ，得 a .
2x3
lnx 1 4 3lnx
令 g x ，则 g x .
2x3 2x4
4
令 g x 0 ，则 3lnx 4 ，即 lnx ，即 x3 e4 .
0 0 0 3 0
当 0 x x0 时， g x 0, g x 单调递增；当 x x0 时， g x 0, g x 单调递减.
4
1
lnx0 1 3 1 ，
g(x)max g x0 3 4 4
2x0 2e 6e
又当 x 0 时， g x ；当 x 时， g x 0 ，
1 lnx 1
当 0 a 时，方程 a 有两个正根，从而函数 f x 有两个极值点.
6e4 2x3
二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.167 【解析】由茎叶图知：甲数据为 78,80,81,82,84,88,93,95 ，乙数据为
82 84 83 85
75,80,80,83,85,90,92,95，所以甲，乙两组数据的中位数分别为 83, 84 ，故中位数
2 2
之和为83 84 167 .
1
14. 【解析】由 OA OB CO 0 ，得 OA OB OC ，由 O 为 ABC 外接圆的圆心，得
2
OA OB OC ，如图，结合向量加法的几何意义知，四边形 OACB 为菱形，且 CAO 60 ，故
1
ACB 120 .故 cos AC, BC .
2
x
15. cos （答案不唯一） 【解析】由 f x 为偶函数，知 f x 的图象关于 y 轴对称；
2
由 f x 1 为奇函数，知 f x 的图象关于点 1,0 中心对称，
x x x
据此构造函数 f x cos ，则 f x 是偶函数； f x 1 cos sin 为奇函数，符合题
2 2 2 2
意.
16.16 【解析】如图，分别过点 A, B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G, H ，连接 DG,CH ，
4 2
则 EG 1，故 AG AE 2 EG2 22 12 3 .
2
取 AD 的中点 O ，连接 GO ，
2
2 AD
又 AG GD,GO AD ，则 GO AG 2 .
2
由对称性易知，过正方形 ABCD 的中心 O1 且垂直于平面 ABCD 的直线必过线段 EF 的中点 O2 ，且所求
外接球的球心 O 在这条直线上，如图.
2 2 2 2 2 2
设球 O 的半径为 R ，则 R OO1 AO1 ，且 R OO2 EO2 ，
2 2
从而 OO1 OO2 2 ，即 OO1 OO2 OO1 OO2 2 ，
当点 O 在线段 O1O2 内（包括端点）时，有 OO1 OO2 GO 2 ，可得 OO1 OO2 2 ，
从而 OO1 2 ，即球心 O 在线段 EF 的中点，其半径 R 2 .
2
当点 O 在线段 O O 外时， 2 ，解得 OO O （舍）.
1 2 O1O2 2, 2 OO2 OO2 2 2
故所求外接球的表面积为 4R2 16 .
三解答题：共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答.第 2223 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
1
17.解：（1）当 n 1时， a1 4 4 ，
当 时， n1 n ，
n… 2 a1 4a2 4 an n4
n2 n1
a1 4a2 4 an1 n 14 ，
n1 n n1 n1
两式相减，得 4 an n4 n 14 4 3n 1 ，
an 3n 1，
显然 a1 4 也符合上式，
数列an 的通项公式为 an 3n 1.
1 1 1 1 1
（2）由（1）知 ，
amam1 3m 13m 4 3 3m 1 3m 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a1a2 a2a3 amam1 3 4 7 7 10 3m 1 3m 4
1 1 1 1
，
3 4 3m 4 13
解得 m 16 .
正整数 m 的最大值为 15.
18.解：（1）甲教师总得分为 0 分，
甲教师在三个项目比赛中赢一项输两项.
所求概率为 0.40.40.4 0.60.60.4 0.60.40.6 0.352 .
（2）不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为 A, B,C ，
则教师甲获得冠军的概率 p1 P(ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC)
0.40.60.6 0.60.60.6 0.40.40.6 0.40.60.4 0.552 ，
则教师乙获得冠军的概率 p2 1 p1 0.448 ，
2 p2 p2
p p 0.104, 1 2 0.1 0.376 ，
1 2 5
2 p2 p2
p p 1 2 0.1 ，
1 2 5
甲乙获得冠军的实力没有明显差别.
19.解：（1）证明：如图，连接 AC 交 BD 于点 O ，连接 EO ，
四边形 ABCD 是正方形，O 为 AC 中点，
E 是 PA 中点，EO PC ，
EO 平面 BDE, PC 平面 BDE,PC 平面 BDE .
（2） PD 平面 ABCD, AB PD .
又四边形 ABCD 是正方形， AB AD .
又 PD AD D, AB 平面 PAD .
又 DE 平面 PAD, AB DE .
点 E 是 PA 的中点， PD AD 2,DE PA .