高三数学
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效．
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．）
1．设全集U {1,2,3,4,5}，集合M满足 CU M {2,4}，则（ ）
A．1 M B． 4 M C． 5 M D． 3 M
2．“ (x 1)2 y2 4 ”是“ x2 y2 1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知向量 a (1,2),b (2,2),c (1,) ，若 c (2a b) ，则实数 （ ）
1 1
A．2 B． C． D． 2
2 2
4．若复数z满足 (2 3i)z i2024 8i2025，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知函数 y f (x) 的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（ ）
图1 图2
f (x)
A． x2 f (x) B． C． xf (x) D． xf 2 (x)
x2
0.3
6．若 a 0.7 ,b log2 a,c log0.7 0.3 ，则（ ）
A． c a b B． b c a C． a b c D． a c b
2
7．已知数列an 的通项公式为 an n n ，且数列an 为递增数列，则实数 的取值范围是（ ）
A． (,3) B． (,2) C． (2,) D． (3,)
x2 y2
8．已知双曲线 E : 1(a 0,b 0) 的右焦点为F，过点F作直线 l 与渐近线 bx ay 0 垂直，垂足为
a2 b2
点P，延长 PF 交E于点Q．若 FQ 3PF ，则E的离心率为（ ）
6 5 4
A． B． C． D． 2
5 4 3
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9．在下列函数中，最小值是2的是（ ）
1
A． y x2 4x 6 B． y x2 1
x2 1
1 5 1
C． y , x 2, D． y x
x 2 2 x
10．已知 m,n 是两条不同的直线，, 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 m ,m n ，则 n B．若 m ,n , ，则 m n
C．若 ,m,n ，则 mn D．若 ,m ,n ，则 mn
11．台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物
3
后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台 ABCD ，其中 AD AB ，现从角落A沿角 的方向把球打
5
出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则 tan 的值为（ ）
9 1 1 3
A． B． C． D．
5 5 6 2
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．若命题“ x R,a2 1 x2 (a 1 )x 1… 0 ”为假命题，则a的取值范围为．
2 2 2 2
13．若圆 C1 : x y 4x 3 0 与圆 C2 : (x 2) (y 3) m 有且仅有一条公切线，则 m ．
14．一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,4 ．现甲从中随机摸出一个球记
下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字
相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．）
15．在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 b2 c2 a2 24, S 12 ．
ABC
（1）求 tan A ；
（2）若D在边 BC 上且 BD 2DC, AC 2 5 ，求 AD 的长．
16．函数 f (x) 是定义在R上的奇函数，且当 x 0 时， f (x) x2 2x ．
（1）求函数 f (x) 的解析式；
（2）若函数 g(x) f (x) m 在R上有三个零点，求m的取值范围．
17．已知在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是直角梯形， AD BC, AD DC
，若 PA AD 2, DC 2 2 ，点M为 PD 的中点，点N为 PC 的四等分点（靠近点P）．
（1）求证：平面 AMN 平面 PCD ；
（2）求点P到平面 AMN 的距离．
18．甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方
框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人
3
是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为 ，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．
4
（1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
（2）求甲获得冠军的概率．
2
19．已知抛物线 E : y x ，过点T (1,2) 的直线与E交于 A, B 两点，设E在点 A, B 处的切线分别为 l1 和 l2 ,l1 与
l2 的交点为P．
（1）若点A的坐标为 (1,1) ，求OAB 的面积（O为坐标原点）；
（2）证明：点P在定直线上．
兰州一中高三年级诊断考试试卷
高三数学答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D D C A D B
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 ABC BD AB
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
3 1
12． ,1 13．36 14．
5 3
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．）
15．解析：（1）因为 b2 c2 a2 24, S 12 ，
ABC
所以 b2 c2 a2 2 S bcsin A ．
ABC
b2 c2 a2 1
所以 sin A ，得 2cos A sin A 即 tan A 2 ．
2bc 2
sin A
2 2 5
（2）因为 tan A 2 ，所以 cos A ，解得 sin A ，
2 2 5
sin A cos A 1
2 5 5
因为 tan A 2 0 ，且A为三角形的内角，所以 sin A cos A ，
5 5
1 1 2 5
又因为 S bcsin A 2 5c 12 ，所以 c 6 ．
ABC 2 2 5
1 2
因为 BD 2DC, AD AB AC ．
3 3
2 2 2
2 1 2 1 2 1 2
所以 AD AB AC AB AC 2 | AB | | AC |cos A ，
3 3 3 3 3 3
2 80 16 164 2 41
所以 AD 4 ，所以 AD
9 3 9 3
16．解析：（1）令 x 0 ，则 x 0 ，又 f (x) 是定义在R上的奇函数，
2 2
所以可得 f (x) f (x) (x) 2(x) x 2x ，
x2 2x, x… 0,
又 ，故函数 的解析式为 f (x)
f (0) 0 f (x) 2
x 2x, x 0.
（2）根据题意作出 f (x) 的图象如下图所示：
f (1) 1，f (1) 1，若函数 g(x) f (x) m 在R上有三个零点，即方程 f (x) m 0 有三个不等的实数
根，
所以函数 f (x) 与 y m 有三个不同的交点由图可知当 1 m 1，即 1 m 1 时，
函数 f (x) 与 y m 有三个不同的交点，即函数 g(x) 有三个零点．故m的取值范围是 (1,1) ．
17．解析：（1）在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD,CD 平面 ABCD ，
则 PA CD ，又 AD CD ，
因为 PA AD A, PA, AD 平面 PAD ，所以 CD 平面 PAD ，
因为 AM 平面 PAD ，所以 AM CD ，
因为 AP AD ，点M为 PD 中点，所以 AM PD ，
因为 CD PD D,CD, PD 平面 PCD ，
所以 AM 平面 PCD ，
因为 AM 平面 AMN ，所以平面 AMN 平面 PCD
（2）由（1）知 CD 平面 PAD ，又 PD 平面 PAD ，则 CD PD ，
因为 PA AD, PA AD 2, DC 2 2 ，点M为 PD 的中点，
所以 PD 2 2 , PM 2 , PC PD2 CD2 8 8 4 ，
因为点N为 PC 的四等分点（靠近点P）．
所以 PN 1 ，
因为 PD CD,CD PD ，所以 CPM 45
所以由余弦定理得
2
MN PN 2 PM 2 2PN PM cos 45 1 2 21 2 1，
2
所以 PN 2 MN 2 PM 2 ，所以 PN MN ，因为 AM 平面 PCD ，所以 AM MN
设点P到平面 AMN 的距离为h，
1 1 1 1
所以三棱锥 P AMN 的体积V V PMN 11 2 1 2h ．
P AMN A 3 2 3 2
所以 h 1．
18．解析：（1）乙连负两场，即乙在第1场、第4场均负，
3 1 3
乙连负两场的概率为 P ；
1 4 2 8
（2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，
3 3
3 3 1 81
甲获得冠军的概率为： ．
P2 2
4 4 4 128
2 1 1
19．解析：（1）直线 AB 的斜率 k ．
1 1 (1) 2
1
直线 AB 的方程为 y 1 (x 1) ，即 x 2y 3 0 ．
2
x 2y 3 0
联立方程 ，整理得： 2 ．
2 2x x 3 0
y x
1 3
设 2 2 ，则 ．
A x1, x1 , B x2 , x2 x1 x2 , x1x2
2 2
3
设直线 AB 与y轴的交点为D，则 D0, ．
2
1 3 1 3 3 3 2 15
S S S x x x x x x 4x x ．
OAB OAD OBD 2 2 1 2 2 2 4 2 1 4 1 2 1 2 8
（2）由 y x2 ，得 y 2x ．
2 2
l1 的方程为： y 2x1 x x1 x1 ，整理得 y 2x1x x1 ．
2
同理可得 l2 的方程为 y 2x2 x x2 ．
x x
y 2x x x2 x 1 2
设 ，联立方程 1 1 ，解得 P ．
P xP , yP 2 2
y 2x2 x x2
yP x1x2
因为点T (1,2) 在抛物线内部，可知直线 AB 的斜率存在，
设直线 AB 的方程为 y k(x 1) 2 ，与抛物线方程联立得： x2 kx k 2 0 ，
k
故 x x k ， x x k 2 ．所以 x , y k 2 ，可得 y 2x 2 ，
1 2 1 2 P 2 P P P
所以点P在定直线 y 2x 2 上．