数学试题
（分数：150 分，时间：120 分钟）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知复数 z 满足 z 1 i ，则 z2 （ ）
1
A． B．1 C．2 D．4
4
2．下列命题中的真命题是（ ）
A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角
C．若 a2 b2 ，则| a || b | D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角
3．若向量 a x,1,b 1,1 ，且 a / / a 2b ，则 a （ ）
A． 5 B．2 C． 2 D．1
4．以下关于统计分析的描述，哪一个是正确的？（ ）
A．样本均值越接近总体均值，样本的代表性越好．
B．样本标准差越大，数据的离散程度越小．
C．相关系数的绝对值越接近 1，表示两个变量的线性关系越弱．
D．决定系数 R越接近 1，模型的解释能力越强．
x2 y2
5．已知双曲线C : 1(a 0,b 0) 的左右焦点分别为 F1，F2 ，过点 F1 且与渐近线垂直的直线与双曲
a2 b2
5
线C 左右两支分别交于 A，B 两点，若 tan F BF ，则双曲线的离心率为（ ）
1 2 12
61 3 5 5
A． B． C． D． 2
5 5 2
a
6．已知函数 f x asin 2x cos 2x 0图象的对称轴方程为 x k ，k Z ．则 f
4 4
（ ）
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2 2
A． B． C． 2 D． 2
2 2
7．三棱锥 S ABC 的侧棱 SA 是它的外接球的直径，且 SA 8, AB 1, BC 3, AC 13 ，则三棱锥
S ABC 的体积为（ ）
35 35 3 3
A． B． C． D．
3 2 2 3
ln(x 1), x 0
8．已知在函数 f (x) 的图象上存在四个点 A, B,C, D 构成一个以原点为对称中心的平行四
ax(x b), x 0
边形，则一定有：（ ）
1
A． ab 1 B． f 2 0 C． f x D．b 2 e
2
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求的。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 2 分。
* n1
9．设 n N ，曲线 y x 在点1,1 处切线的斜率为 kn ，与 x 轴的交点为 xn ,0 ，与 y 轴的交点为0, yn
，则（ ）
A． kn yn 1
B． yn kn xn
1
C． x1x2 xn
kn
． n1
D k1k2 kn1 1 y1 y2 yn
2 2 2 2
10．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆C1 : (x 1) y 2的动弦 AB ，圆C2 : (x a) (y 2) 8 ，则下
列选项正确的是（ ）
A．当圆C1 和圆 C2 存在公共点时，则实数 a 的取值范围为[3,5]
B．ABC1 的面积最大值为 1
C．若原点O 始终在动弦 AB 上，则OAOB 不是定值
D．若动点 P 满足四边形OAPB 为矩形，则点 P 的轨迹长度为 2 3
x2 1
11．已知函数 f x 和 g x x2 bx c ，则下列说法正确的有（ ）
x 1
A．若 g x 0 有两个相同的实数根，则函数 y cx b2 4c 1 经过一二四象限
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B． f x 的图象和一个以1,0 为圆心，1 为半径的圆没有交点
C． f x 可以在 12 x 0 时取到最小值 2 2 2
D．若 g x 有两个不同零点，设这两个零点分别为x1 、 x2 （x1 在 x2 的左边）在 x 1时，若 f x 的最
小值等于 x2 ，则b c 是不可能成立的
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
S4n S3n
12．设 Sn 是各项均为正数的等比数列an 的前 n 项和，若 10 ，则 ．
S2n Sn
13．若 0, ， , ，且1 cos2 1 sin sin2cos ，则 2 tan tan 的最小值
2 2 2
为 .
PMN PM P N
14．对于两个事件 M，N，若 0 PM 1， 0 PM 1，称 PM , N 为事
PM PM P N P N
件 M，N 的相关系数.近日重庆酷暑难耐，小张、小李、小王、小刘四人计划周末去避暑，现有四个可出
游的景点：南天湖、金佛山、仙女山和黑山谷，若事件 M：金佛山景点至少有一人：事件 N：仙女山和黑
山谷两个景点恰有一个景点无人，则事件 M，N 的相关系数为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 a cos B bcos A b c .
(1)求角 A；
6
(2)若 a 3， 2sin C sin B ，求VABC 的面积.
2
16．设数列{}的前 n 项和为 Sn ，且满足 Sn an 3.
(1)求{}的通项公式；
an1 *
(2)设b a log ，数列{}的前 n 项和为T ，若对任意的 n N ,T 2 1恒成立，求 的取值范围.
n n 2 3 n n
17．已知函数 f x ax lnx aa R ，且 f x 0 恒成立．
(1)求实数 a 的取值集合；
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(2)证明： ex x2 e 3 x 2 lnx ．
18．近年来，社交推理游戏越来越受到大众的喜爱，它们不仅提供了娱乐和休闲的功能，还可以锻炼玩家
的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神，增强社交能力和人际交往能力.某校“社交推理游戏社团”在一次活
动中组织了“搜索魔法师”游戏，由 1 名“侦探”、6 名“麻瓜”、4 名“魔法师”参与游戏.游戏开始前，“侦探”
是公认的，每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份.游戏过程中，由“侦探”对“麻
瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止.
(1)若恰在第 5 次搜索才测试到第 1 个“魔法师”，第 10 次才找到最后一个“魔法师”，则这样的不同搜索方
法数是多少？
(2)若恰在第 5 次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？
(3)游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花”的方式来最终确
认人员.三人围成一圈，第 1 次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两个人中任
何一人.试问，5 次传花后花在甲手上的可能线路有多少种？
19．已知 是棱长为 2 的正四面体 ABCD ，设 的四个顶点到平面 的距离所构成的集合为 M ，若 M
中元素的个数为 k ，则称 为 的 k 阶等距平面， M 为 的 k 阶等距集.
(1)若 为 的 1 阶等距平面且 1 阶等距集为a ，求 a 的所有可能值以及相应的 的个数；
(2)已知 为 的 4 阶等距平面，且点 A 与点 B,C, D 分别位于 的两侧.若 的 4 阶等距集为b,2b,3b,4b
，其中点 A 到 的距离为b ，求平面 BCD 与 夹角的余弦值.
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重庆乌江新高考协作体 2025 届高考质量调研（一）
数学答案
（分数：150 分，时间：120 分钟）
1-4．CCCD 5-8．ACBC
6．由函数的对称轴可得T 2 即可求得 ，利用函数的对称性可得 f 2k x f x，则
2
f 2k f 0 ，即可求得 a 的值，得到函数解析式，代入即可求解．
2
7．根据 SA 是三棱锥 S ABC 外接球的直径，先找到垂直条件，求出SC ， SB ，再作出三棱锥 S ABC 的
高 SO ，在VABC 中，用余弦定理求得 ABC ，再结合垂直关系求得 OBC ，设 SO h ，表示出 BO,CO
，在OBC 中，用余弦定理列等式求得 h ，再套入三棱锥体积公式求解即可.
8．通过对称性将问题转化为函数零点的问题即可．
9．BC 10．ABD 11．BC
12．13 13． 3
19 65 19
14． / 65
819 819
14. 先求事件 M ， N ， MN 的概率，再按定义求事件 M ， N 的的相关系数.
15．（1） a cos B bcos A b c ，由正弦定理得sin Acos B sin B cos A sin B sin C ，
即sin Acos B sin B cos A sin B sin A B ，
sin Acos B sin B cos A sin B sin Acos B cos Asin B ，2sin B cos A sin B ，
1
sin B 0 ，cos A ，
2
2
0 A ， A ．
3
2 1 3 6
（2） 2sin C sin B 2sin B sin B 2 sin B cos B sin B 3 cos B ，
3 2 2 2
2 2
cos B ，0 B ，B ，C A B ，
2 4 3 4 12
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b a 2
由 2 3 ，得b 2 3 sin B 2 3 6 ，
sin B sin A 2
3 2 1 2 6 2
sin sin( ) sin cos cos sin ，
12 3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 4
1 1 1 6 2 9 3 3
SABC absin C 3 6 sin 3 6 .
2 2 12 2 4 4
16．（1）因为 Sn an 3，
3
当 n 1时，由 a a 3 ，解得 a ；当 n 2 时，则 S a 3, S a 3，
1 1 1 2 n n n1 n1
an 1 3 1
两方程相减得 2an an1 0 ，即 ；可知数列an 是首项为 ，公比为 的等比数列，
an1 2 2 2
3 1 n1 3
所以
an n .
2 2 2
a 3n 3 6 9 12 3n 3
（2）由（1）可知：b a log n1 ，则T ，
n n 2 3 2n n 2 22 23 2n
1 6 9 12 3n 3
T ，
2 n 22 23 24 2n1
n1
3 1
1
1 3 3 3 3n 3 4 2 3n 3
两式相减得 T 3 L 3 ，
n 2 3 n n1 1 n1
2 2 2 2 2 1 2
2
1 9 3n 9 3n 9
可得 T ，即T 9 .
2 n 2 2n1 n 2n
3n 12 3n 9 3n 6
因为Tn1 Tn 9 n1 9 n n1 0 ，
2 2 2
3n 9 3n 9
可知T 是单调递增数列，且 0，可得T 9 9，
n 2n n 2n
*
因为对任意的 n N ,Tn 2 1恒成立，可得9 2 1，解得 5，
所以 的取值范围为5, .
1
17．（1） f x a (x 0) ．
x
当 a 0 时， f x 0, f x 在(0, + )上单调递减，
当 x 1时， f x f 1 0，这与 f x 0 矛盾，不合题意.
当 a 0 时，
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1 1
由'()< 0得 0 x ；由'() >0得 x ，
a a
1 1
则()在0, 上单调递减，在 , 上单调递增，
a a
1
x 时，函数 f x 取得唯一极小值即最小值．又 f x 0 且(1) = 0
a
1
1，解得 a 1，故实数 a 的取值集合是1 ．
a
（2）由（1）可知： a 1时， f x 0 ，即 lnx x 1对任意 x 0 恒成立．
要证明： ex 2 x2 e 3 x lnx ，则只需要证明 ex 1 x2 e 2 x ，
即 ex 1 x2 e 2 x 0 ．
令 h x ex 1 x2 e 2 x, x 0 , h x ex 2x e 2 ，
令u x ex 2x e 2,u x ex 2 ，令u x ex 2 0 ，解得 x ln2 ．
当 x 0,ln2 时，u x 0 ，u x 单调递减，
当 x ln2, 时，u x 0 ，u x 单调递增．
即函数 h x 在0,ln2 内单调递减，在ln2, 上单调递增．
而 h0 1 e 2 3 e 0,hln2 h1 0.
所以存在 x0 0,ln2 ，使得 h x0 0，
当 (0,0)时， h x 0,h x单调递增；
当 x x0 ,1 时， h x 0,h x 单调递减．
当 (1, + )时， h x 0,h x单调递增．
又 h0 11 0,h1 e 11 e 2 0 ，
对x 0,h x 0 恒成立，即 ex 1 x2 e 2 x 0 ．
综上可得 ex x2 e 3 x 2 lnx.
4
18．（1）先排前 4 次搜索，只能取“麻瓜”，有 A6 种不同的搜索方法，
2
再从 4 个“魔法师”中选 2 个排在第 5 次和第 10 次的位置上搜索，有 A4 种搜索方法，
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4
再排余下 4 个的搜索位置，有 A4 种搜索方法.
4 2 4
所以共有 A6A4A4 103680 种不同的搜索方法.
（2）第 5 次搜索恰为最后一个“魔法师”，
则另 3 个在前 4 次搜索中出现，从而前 4 次有一个“麻瓜”出现，
1 1 4
所以共有 C4C6A4 576 种不同的搜索方法.
（3）由于甲是第 1 次传花的人，因此第 2 次传花时，甲不能再次拿到花.
这意味着在第 2 次传花时，花必须传给乙或丙.
同样，第 3 次传花时，花不能回到前一次传花的人手中.
因此，传花的路线不能有连续两次传给同一个人的情况.
设 an 为经过 n 次传花后花在甲手上的线路数，其中 a1 0 .
则 an1 为经过 n 1次传花后花在甲手上的线路数，即经过 n 次传花后花不在甲手上的线路数，
所以 an an1 为经过 n 次传花的总线路，每一次传花均有两种方向（顺时针或逆时针），
n *
则 an an1 2 ， n N .
所以 a2 2 ， a3 2 ， a4 6 ， a5 10 ，
综上，5 次传花后花在甲手上的可能线路有 10 种.
19．（1）情形一：分别取 AB, AC, AD 的中点 M , E, F ，
2
由中位线性质可知 DE EF ，
2
此时平面 DEF 为 的一个 1 阶等距平面，
1 6 3
b 为正四面体高的一半，等于 2 .
2 3 3
由于正四面体有 4 个面，这样的 1 阶等距平面 平行于其中一个面，有 4 种情况；
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情形二：分别取 AB, AC,CD, DB 的中点 P,Q, R, S
将此正四面体放置到棱长为 1 的正方体中，
1
则 a 为正方体棱长的一半，等于 .
2
由于正四面体的六条棱中有 3 组对棱互为异面直线，
这样的 1 阶等距平面 平行于其中一组异面直线，有 3 种情况.
3 1
综上，当 a 的值为 时， 有 4 个；当 a 的值为 时， 有 3 个.
3 2
（2）在线段 AB, AC, AD 上分别取一点 M , E, F ，
使得 AM : MB 1: 2, AE : EC 1:3, AF : FD 1: 4 ，则平面 即为平面 MEF .
如图，取 BD 中点O ，连接OC, ，以O 为坐标原点，OC,OD 所在直线分别为 x, y 轴，过点O 且与平面
BCD 垂直的直线为 z 轴建立空间直角坐标系，
6 2 3
A ,0, ，设
6 3
1 1 1 6 2 3 1 6 2 2 3 5 6 2 3
ME AE AM AC AB ,0, , , , , ，
4 3 4 3 3 3 6 2 3 36 6 18
1 1 1 6 2 2 3 1 6 2 2 3 6 4 2 4 3
MF AF AM AD AB , , , , , , ，
5 3 5 6 2 3 3 6 2 3 45 15 45
设平面 MEF 法向量为 = (,,)
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m MF 0 x 4 3y 2 2z 0
所以 ，即 ，
m ME 0 5x 2 3y 2z 0
所以 m 0,1, 6 ，
又平面 BCD 的法向量为 n 0,0,1，
设平面 BCD 与 夹角为
m n 6 42
所以 cos ，
m n 1 6 7
42
所以平面 BCD 与 夹角余弦值为 .
7
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