数学参考答案
．狕槡 （槡 ）槡 ，所以狕 的虚部为槡 ．
犪，
．因为 犕 犪，犪，所以 解得犪．
犪，
．当犛，狀 时，水的质量为 ．
狓
．当狓 时，槡狓 狓 狓，所 以 狆 是 假 命 题，瓙狆 是 真 命 题．因 为狓
狓
狓，所以狓或狓，当狓（，）时，狓，狓，所以狇 是假命题，瓙狇
是真命题．
．犃犇 犃犅 犃犆 犃犗 犗犅 犃犗 犗犆犪 犫 犮．
犳（狓）
．依题意可得犳（），犳（狓）在 （ ，）上 单 调 递 增，且 犳 ．由 ，得
（ ） 狓
犳（狓）， 犳（狓），
或 则狓（， ） ， ， ．
槡 槡 ）
狓 狓 ，
犃犫， 犃，
．因为 犃，所以 解得 所以犳（），则 ．因
犃犫， 犫，
为 ，所以 ，可得犳（狓） 狓 ．因为犳
（ ） （） （ ）
，所以 犽，犽犣，即犽，犽犣．因为，所以．
．依题意可设 犘 犿， 犿 ，犙 犿， ，其中 犿．
（ ） （ 犿 ）
狓 狓 犿
， ，则曲线犆 在点 犘 处的切线斜率为 ，曲线 犆 在点 犙 处
（ ） （ 狓） 狓
的切线斜率为 ，所 以 犿 ，即 犿犿 （犿 ）．设 函 数 犳（狓）狓狓 （狓），则
犿 犿
犳（狓）（狓狓）狓 ，所 以 犳（狓）为 增 函 数，又 犳（），所 以 犿 ，所 以 犘 ， ，
（ ）
犙 ， ，故犘犙．
（ ）
．由犪犫犪犫，得 犪 犫 犪犫犪 犫 犪犫，解 得犪犫，即
犪犫，反之亦成立，故“犪犫犪犫”是“犪犫”的充要条件．若犪犫，则犪犫
犪犫
犪犫，解得犪犫，则〈犪，犫〉 ，所以〈犪，犫〉，即犪犫，若犪犫，则
犪犫
【高三数学参考答案第 页（共页）】 犆
书
犪犫或，所以犪犫或，故“犪犫”是“犪犫”的充分不必要条件．
．犳（狓）狓（狓）狓狓（狓），当狓（，）时，犳（狓），当狓（，）
（，）时，犳（狓），所以犳（狓）在（，）和（，）上单调递增，在（，）上 单 调 递
减，故狓是犳（狓）的极小值点， 正确．
犳（狓）犳（狓）狓（狓）狓（狓）狓，正确．
当狓时，狓狓，又犳（狓）在（，）上单调递减，所以犳（狓）犳（狓），错误．
当狓时，犳（狓）犳（狓）（狓）（狓）（狓）（狓）狓，
所以犳（狓）犳（狓）， 正确．
．犳（狓）狓狓 狓 ，当狓 时，
（ ）
犳（狓）取得最大值，且最大值为 ， 错误．因为狔狓，狔狓 的最小正周期均为
犽 犽 犽
，所以犳（狓）的最小正周期为 ，正确．因为犳 狓 狓
（ ） （ ） （
犽
狓 狓狓（犽犣），所以曲线狔犳（狓）关于直线狓 （犽犣）轴对称， 正确．
）
槡
令犵（狓）犳（狓），得犳（狓） ，则狓 ，结合函数狔狓（
槡
狓）的图象（图略），可知方程狓 在，上有个不同的实根， 错误．
槡 槡
． 犳（） ，犳（犳（））犳 ．
（） （ ）
槡
．槡 犪犪犪 槡 ，当且仅当犪 时，等号成立．
犪
槡
． 因为狓狓槡 （狓 ） ，所以（狓 ） ．
（ ）
槡 槡
由题意可得（ ） ，（ ） ．
因为，，），，），所以，即（）．
（ ）（ ）（ ）（ ） ．
犪犫犮
．解：（）因为犪犫犪犫犮，所以犆 ，…………………………… 分
犪犫
因为犆（，），所以犆 ．……………………………………………………………… 分
（）因为犫犮犃犆，所以犪犫犮犮，…………………………………………………… 分
所以犪犫．………………………………………………………………………………… 分
由犪犫犪犫犮，得犮犪犫犪犫犪犫犪犫犪犫，则犮，………………… 分
当且仅当犪犫时，等号成立．………………………………………………………… 分
【高三数学参考答案第 页（共页）】 犆
犮
设犃犅犆 外接圆的半径为犚，则犚 ，则 犚 ，
犆
槡 槡
所以犃犅犆 外接圆的面积的最小值为 ．……………………………………………… 分
．解：（）因 为 犘犉 槡 ，犘犉 槡 ，犘犉 犘犉，所 以 犉犉
槡犘犉 犘犉 ，
记 犉（犮，），犉（犮，），则犮．………………………………………………………… 分
由椭圆的定义可得，犪犘犉犘犉槡 ，犪槡 ，犫 犪 犮 ． …………… 分
由双曲线的定义可得，犿犘犉犘犉，犿，狀 犮 犿 ． …………… 分
狓 狔 狔
所以犆 的方程为 ，犆 的方程为狓 ． ……………………………… 分
（）由题意得 犃（，槡），犅（，），则直线 犃犅 的方程为狔槡 狓槡 ．设 犇（狓，狔）． …
………………………………………………………………………………………… 分
烄狔槡 狓槡 ，
联立 得 ，所以 ………………………………… 分
烅狓 狔 狓 狓 狓 ．
，
烆
犃犇槡 犽 狓狓犃槡 ． ……………………………… 分
．（）证明：因为四边形 犃犅犆犇 为菱形，所以 犅犆犃犇，
又 犃犇平面 犃犃犇犇，犅犆平面 犃犃犇犇，
所以 犅犆平面 犃犃犇犇． ………………………………………………………………… 分
又 犅犅犃犃，犃犃平面 犃犃犇犇，犅犅平面 犃犃犇犇，所以 犅犅平面 犃犃犇犇．…
…………………………………………………………………………………………… 分
因为 犅犅犅犆犅，所以平面 犅犆犆犅平面 犃犃犇犇． ……………………………… 分
因为平面 犃犅犆犇平面 犅犆犆犅犅犆，平面 犃犅犆犇平面 犃犃犇犇犃犇，
所以 犅犆犃犇，………………………………………………………………………… 分
同理可得 犃犅犆犇，所以四边形 犃犅犆犇 为平行四边形． ……………………… 分
（）解：由题意得 犅犇，犃犆槡 ．以菱形 犃犅犆犇 的中心犗 为坐标原点，犗犅，犗犆 的方向
分别为狓，狔 轴 的 正 方 向，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 犗狓狔狕，如 图 所 示．设 犃犃 犺，则 犃 （，
槡 ，犺），犅（，，），犆（，槡，犺），犇（，，）．……………………………………… 分
因为四边形 犃犅犆犇 为平行四边形，所以 犃犅犇犆，
则（，槡，犺）（，槡，犺），所以犺犺，得犺 ，……… 分
所以 犃犅 ，槡， ，犃犇 ，槡， ．………………… 分
（ ） （ ）
设平面 犃犅犆犇 的法向量为狀（狓，狔，狕），
【高三数学参考答案第 页（共页）】 犆
则 犃犅狀，犃犇狀，
烄
狓槡 狔 狕，
即烅 ………………………………………………………………… 分
狓槡 狔 狕，
烆
令狕，得狀（，，）．………………………………………………………………… 分
易知平面 犃犅犆犇 的一个法向量为狀（，，）， ……………………………………… 分
狀狀 槡
则〈狀，狀〉 ， ………………………………………… 分
狀狀 槡
槡
所以平面 犃犅犆犇 与平面 犃犅犆犇 所成二面角的正弦值为 ．………………… 分
．解：（）第次换球后甲口袋有个黑球，即从甲口袋取出的球为白球且从乙口袋取出的球
为黑球，则狆 ．……………………………………………………………… 分
第次换球后甲口袋有个黑球，即从甲、乙口袋取出的球同为白球或同为黑球，
则狇 ．……………………………………………………………… 分
（）若第次换球后甲口袋有个黑球，则分种情况：
当第次换球后甲口袋有个黑球时，第次甲口袋取白球且乙口袋取黑球；
当第次换球后甲口袋有个黑球时，第次甲、乙口袋同取白球．
所以狆狇 狆 ． ……………………………… 分
若第次换球后甲口袋有个黑球，则分种情况：
当第次换球后甲口袋有个黑球时，第次甲口袋取白球且乙口袋取黑球；
当第次换球后甲口袋有个黑球时，第次甲、乙口袋同取白球或同取黑球；
当第次换球后甲口袋有个黑球时，第次甲口袋取黑球且乙口袋取白球．
所以狇（狇狆） 狇 狆 ．………………… 分
（ ）
（）第狀 次换球后，甲口袋黑球的个数为的情况：
若第狀次换球后甲口袋有个黑球，则第狀 次甲口袋取黑球且乙口袋取白球；
若第狀次换球后甲口袋有个黑球，则第狀 次甲、乙口袋同取黑球或同取白球；
若第狀次换球后甲口袋有个黑球，则第狀 次甲口袋取白球且乙口袋取黑球．
所以狇狀 狆狀 狇狀 狆狀狇狀 狇狀，…
（ ） （ ）
………………………………………………………………………………………… 分
即狇狀 狇狀 ．…………………………………………………………… 分
（ ）
又因为狇 ，所以 狇狀 是以 为首项， 为公比的等比数列，…… 分
【高三数学参考答案第 页（共页）】 犆
狀 狀
所以狇狀 ，即狇狀 ． …………………………… 分
（ ） （ ）
．（）证明：令函数犺（狓）狓狓，则犺（狓）狓，
所以犺（狓）在 ， 上单调递增，犺（狓）犺（），即狓狓．……………………… 分
（ ）
令函数犽（狓）狓狓狓，则犽（狓）狓狓狓狓狓狓．
当狓 ， 时，犽（狓），所以犽（狓）在 ， 上单调递增，犽（狓）犽（），即狓
（ ） （ ）
狓狓．
故当狓 ， 时，狓狓狓狓． ………………………………………………… 分
（ ）
（）解：令函数狌（狓）犪狓狓狓，则狌（狓）犪狓狓狓狓狓．
令函数狏（狓）狌（狓），则狏（狓）犪狓（狓）狓狓狓，狏（）犪． …
…………………………………………………………………………………………… 分
当犪，即犪时，存在狓 ， ，使得当狓（，狓）时，狏（狓），
（ ）
所以函数狏（狓）狌（狓）在（，狓）上单调递减．…………………………………………… 分
因为狌（），所以当狓（，狓）时，狌（狓），所以狌（狓）在（，狓）上单调递减． … 分
因为狌（），所以当狓（，狓）时，狌（狓），不符合题意． ………………………… 分
当犪，即犪时，犪狓狓狓狓狓狓． …………………… 分
令函数犵（狓）狓狓狓，狓 ， ，
（ ）
则犵（狓）狓狓狓狓狓狓狓狓狓狓狓
狓 狓 狓 狓 狓
狓（狓）狓 狓 狓 狓．…
（ ） （ ）（ ）
………………………………………………………………………………………… 分
狓 狓 狓 狓
当狓 ， 时， ， ，狓，所以犵（狓），犵（狓）在 ，
（ ） （ ）
上单调递增，所以犵（狓）犵（），即狓狓狓，
所以当狓 ， 时，犪狓狓狓．…………………………………………… 分
（ ）
当狓时，犪狓狓狓．
因为狌（狓）狌（狓），所以狌（狓）是偶函数，
所以当狓 ， 时，犪狓狓狓．
（ ）
故当犪时，犪狓狓狓在 ， 上恒成立．
（ ）
综上，犪 的取值范围为，）．………………………………………………………… 分
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