第六节双曲线的方程与性质知识框架知识点归纳1.双曲线的定义(1)平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.(2)其数学表达式：集合P{M|||MF1||MF2||2a}，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.若ac，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)eq\f(x2,b2)1(a>0，b>0)图形性质范围xa或xa，yR对称性对称轴：；对称中心：顶点A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yeq\f(b,a)x离心率实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长度|A1A2|2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长a，b，c的关系[常用结论]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq\f(2b2,a).2.离心率eeq\f(c,a)eq\f(\r(a2b2),a)eq\r(1\f(b2,a2)).3.若渐近线方程为yeq\f(b,a)x，则双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)(0).4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.5.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minca，|PF2|minca.6.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且F1PF2，则F1PF2的面积为eq\f(b2,tan\f(,2)).题型归类题型一双曲线的定义及应用例1(1)已知定点F1(2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2y21上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆(2)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则F1PF2的面积为________.感悟提升在焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1||PF2||2a，运用平方的方法，建立与|PF1||PF2|的联系.题型二双曲线的标准方程例2(1已知双曲线C：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a0，b0)的焦距为2eq\r(5)，点P(2，1)在C的一条渐近线上，则C的方程为()A.x2eq\f(y2,4)1B.eq\f(x2,4)y21C.eq\f(3x2,20)eq\f(3y2,5)1D.eq\f(x2,16)eq\f(y2,4)1答案B(2)(2023潍坊调研)已知双曲线的离心率eeq\f(\r(5),2)，且该双曲线经过点(2，2eq\r(5))，则该双曲线的标准方程为________________.感悟提升1.用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为eq\f(x2,m2)eq\f(y2,n2)(0)或mx2ny21(mn>0)，再根据条件求解.2.与双曲线eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a0，b0)有相同渐近线时可设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)(0).题型三双曲线的简单几何性质角度1渐近线例3(1)(2023许昌模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a0，b0)的离心率为eq\r(5)，则双曲线C的渐近线方程为________.(2)(2023重庆诊断)设双曲线C：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C及其渐近线在第一象限分别交于A，B两点，O为坐标原点，若eq\o(OA,\s\up6())eq\f(1,2)(eq\o(OF,\s\up6())eq\o(OB,\s\up6()))，则双曲线C的渐近线方程为________________.角度2离心率例4(1)(2023沈阳调研)已知O为坐标原点，双曲线C：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦点为F，点A(a，b)，若|OA||FA|，则双曲线C的离心率为()A.2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D.eq\f(\r(5)1,2)(2)(2023烟台调研)已知F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sinPF2F13sinPF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为________.感悟提升1.求双曲线离心率或其取值范围的方法：(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.2.双曲线eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a0，b0)的渐近线可由eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)0即得两渐近线方程eq\f(x,a)eq\f(y,b)0.训练3(1)(2023武汉调研)如图，已知F为双曲线C：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦点，平行于x轴的直线l分别交C的渐近线和右支于点A，B，且OAF90，OBFOFB，则C的渐近线方程为________.(2)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦点为F，A，B分别为双曲线的左、右顶点，以AB为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一、二象限分别交于P，Q两点，若OQPF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________.题型四双曲线几何性质的综合应用例5(1)已知F1，F2分别为双曲线C：x2y236的左、右焦点，A是双曲线C右支上(顶点除外)任意一点，若F1AF2的角平分线与以AF1为直径的圆交于点B，则BF1F2的面积的最大值为()A.18eq\r(2)B.18eq\r(3)C.36eq\r(2)D.36eq\r(3)(2)(2022上海春季高考)已知双曲线：eq\f(x2,a2)y21(a0)，任取双曲线右支上两个不相同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，都有x1x2y1y20成立，则实数a的取值范围是________.感悟提升1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识面较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.题型五椭圆与双曲线的常用二级结论1.椭圆eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(ab0)的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xacos，,ybsin.))2.(1)椭圆eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(ab0)焦半径公式|PF1|aex0，|PF2|aex0，F1，F2分别为左、右焦点.(2)双曲线eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a，b0)的焦半径公式|PF1||ex0a|，|PF2||ex0a|.3.双曲线的渐近线的相关结论(1)若双曲线的渐近线方程为yeq\f(b,a)x(a0，b0)，即eq\f(x,a)eq\f(y,b)0，则双曲线的方程可设为eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)(0).(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.(3)双曲线eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a0，b0)的渐近线yeq\f(b,a)x的斜率k与离心率e的关系：eeq\r(1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))eq\r(1k2).4.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫作焦点三角形，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(ab0)中当P为短轴端点时，最大.Seq\f(1,2)|PF1||PF2|sinb2taneq\f(,2)c|y0|，当|y0|b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.焦点三角形的周长为2(ac).(2)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则SPF1F2eq\f(b2,tan\f(,2))，其中为F1PF2.例(1)双曲线eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a0，b0)的渐近线方程为y2x，则该双曲线的离心率为()A.5B.eq\f(3\r(5),5)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\r(5)[优解]由双曲线的渐近线方程为y2x，可知渐近线的斜率k2.根据结论(3)，得eeq\r(1k2)eq\r(14)eq\r(5).(2)椭圆eq\f(x2,25)eq\f(y2,16)1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若F1PF260，则F1PF2的面积是()A.eq\f(16\r(3),3)B.eq\f(32\r(3),3)C.16eq\r(3)D.32eq\r(3)答案A解析[通法]由椭圆eq\f(x2,25)eq\f(y2,16)1的焦点为F1，F2知|F1F2|2c6，在F1PF2中，不妨设|PF1|m，|PF2|n，则|PF1||PF2|mn2a10.由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1||PF2|cosF1PF2，即(2c)2m2n22mncos60，即36(mn)23mn1003mn，解得mneq\f(64,3).所以SF1PF2eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinF1PF2eq\f(1,2)mnsin60eq\f(16\r(3),3).[优解]训练(1)经过点M(2eq\r(3)，2eq\r(5))且与双曲线eq\f(x2,3)eq\f(y2,2)1有相同渐近线的双曲线方程是()A.eq\f(x2,18)eq\f(y2,12)1B.eq\f(x2,12)eq\f(y2,18)1C.eq\f(y2,18)eq\f(x2,12)1D.eq\f(y2,12)eq\f(x2,18)1答案D解析(2)已知双曲线eq\f(x2,16)eq\f(y2,9)1的左、右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上有一个点P，满足|PF1|3|PF2|，则点P的横坐标为________.课时作业一、单选题1．若双曲线的一个焦点为，则（）．A．B．C．D．82．已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆与的一条渐近线的一个交点为.若，则的离心率为（）A．B．C．D．3．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线相交于，两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．4．设双曲线的焦距为，左、右焦点分别是，，点P在C的右支上，且，则C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．5．设双曲线的右焦点为，过作垂直于轴的直线交于，两点，若以线段为直径的圆与的渐近线相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，，则（）A．B．C．D．2二、多选题7．在平面直角坐标系中，为了使方程表示准线垂直于轴的圆锥曲线，实数的取值范围可以是（）A．B．C．D．8．设双曲线的右焦点为，直线为的一条斜率为正数的渐近线，为坐标原点.若在的左支上存在点，使点与点关于直线对称，则下列结论正确的是（）.A．B．的面积为C．双曲线的离心率为D．直线的方程是三、填空题9．双曲线的焦距为______.10．已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，,则________．11．设点，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，过点作直线l与双曲线C的左、右支分别交于A，B两点，若且，则双曲线C的离心率为______.12．已知F1，F2分别是双曲线3x2y23a2(a0)的左、右焦点，P是抛物线y28ax与双曲线的一个交点，若|PF1||PF2|12，则抛物线的准线方程为________．四、解答题13．已知命题直线经过第二三四象限，命题：方程表示双曲线，若为真命题，求实数的取值范围.14．（1）抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离4，求抛物线的标准方程；（2）双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，且，求双曲线C的标准方程．15．已知双曲线C：与椭圆有相同的焦点，且过点，直线交双曲线于A、B两点，且原点O到直线的距离为.（1）求双曲线C的方程；（2）证明：.16．双曲线的离心率，且过点(1)求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.