高中数学重点知识点

2023-12-16·163页·2.2 M

高中数学第一章-集合

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考试内容:

集合、子集、补集、交集、并集.

逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件.

考试要求: 榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com

(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包

含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.

(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系;掌握充

分条件、必要条件及充要条件的意义.

01. 集合与简易逻辑知识要点

一、知识结构:

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分:

二、知识回顾:

(一) 集合

1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用.

2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法.

集合元素的特征:确定性、互异性、无序性.

集合的性质:

任何一个集合是它本身的子集,记为 A A;

空集是任何集合的子集,记为 A ;

空集是任何非空集合的真子集;

如果 A B ,同时 B A,那么 A = B.

如果 A B,B C,那么A C .

[注]:Z= {整数}() Z ={全体整数} ()

已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集,则集合 A 也是有限集.()(例:S=N; A= N ,

则 CsA= {0})

空集的补集是全集.

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若集合 A=集合 B,则 CBA = , CAB = CS(CAB)= D ( 注 :CAB = ).

3. {(x,y)|xy =0,xR,yR}坐标轴上的点集.

{(x,y)|xy0,xR,yR 二、四象限的点集.

{(x,y)|xy0,xR,yR} 一、三象限的点集.

[注]:对方程组解的集合应是点集.

x y 3

例: 解的集合{(2,1)}.

2x 3y 1

点集与数集的交集是 . (例:A ={(x,y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则 AB = )

4. n 个元素的子集有 2n 个. n 个元素的真子集有 2n 1 个. n 个元素的非空真子

集有 2n2 个.

5. 一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题.

一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题.

例:若 a b 5,则a 2或b 3 应是真命题.

解:逆否:a = 2 且 b = 3,则 a+b = 5,成立,所以此命题为真.

x 1且y 2, x y 3.

解:逆否:x + y =3 x = 1 或 y = 2.

x 1且y 2 x y 3,故 x y 3是 x 1且y 2 的既不是充分,又不是必要条件.

小范围推出大范围;大范围推不出小范围.

3. 例:若 x 5, x 5或x 2 .

4. 集合运算:交、并、补.

交:A B{ x | x A , 且 x B }

并:A B{ x | x A 或 x B }

补:CU A{,} x U 且 x A

5. 主要性质和运算律

(1) 包含关系:

AAAAUAU,,,, C

U

ABBCACABAABBABAABB,;,;,.

(2) 等价关系: ABABAABBABU C U

(3) 集合的运算律:

交换律: A B B A; A B B A.

结合律: (A B) C A (B C);(A B) C A (B C)

分配律:. A (B C) (A B) (A C); A (B C) (A B) (A C)

0-1 律: AAAUAAUAU ,,,

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等幂律: A A A, A A A.

求补律:ACUA= ACUA=U CUU= CU=U

反演律:CU(AB)= (CUA)(CUB) CU(AB)= (CUA)(CUB)

6. 有限集的元素个数

定义:有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数,记为 card( A)规定 card() =0.

基本公式:

(1)(cardA B ) cardA () cardB () cardA ( B )

(2)(cardA B C ) cardA () cardB () cardC ()

cardA()()() B cardB C cardC A

card() A B C

(3) card(UA)= card(U)- card(A)

(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根轴法(零点分段法)

将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式,并将各因式 x 的系数化“+”;(为

了统一方便)

求根,并在数轴上表示出来;

由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?);

若不等式(x 的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在 x 轴上方的区间;若不等

式是“<0”,则找“线”在 x 轴下方的区间.

+ +

x x x

x x m-3 m-2 m-1 x

1 2 x - - m x

3

(自右向左正负相间)

n n1 n2

则不等式 a0 x a1x a2 x an 0( 0)(a0 0) 的解可以根据各区间的符号

确定.

特例 一元一次不等式 ax>b 解的讨论;

一元二次不等式 ax2+box>0(a>0)解的讨论.

0 0 0

二次函数

2

y ax bx c

( a 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根 有两相等实根

ax 2 bx c 0 b

x , x (x x ) x x 无实根

a 0 的根 1 2 1 2 1 2 2a

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ax 2 bx c 0 b

x x x1或x x2 x x

(a 0)的解集 2a R

ax 2 bx c 0

x x1 x x 2

(a 0)的解集

2.分式不等式的解法

f (x) f (x) f (x) f (x)

(1)标准化:移项通分化为 >0(或<0); 0(或 0)的形式,

g(x) g(x) g(x) g(x)

f (x) f (x) f (x)g(x) 0

(2)转化为整式不等式(组) 0 f (x)g(x) 0; 0

g(x) g(x) g(x) 0

3.含绝对值不等式的解法

(1)公式法: ax b c ,与 ax b c(c 0) 型的不等式的解法.

(2)定义法:用“零点分区间法”分类讨论.

(3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)

(1)根的“零分布”:根据判别式和韦达定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”:作二次函数图象,用数形结合思想分析列式解之.

(三)简易逻辑

1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题:

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单

命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题的形式:p 或 q(记作“pq” );p 且 q(记作“pq” );非 p(记

作“q” ) 。

3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断

原命题 互 逆 逆命题

(1)“非 p”形式复合命题的真假与 F 的真假相

若p则q 互 若q则p

反; 为 否

互 逆 互

(2)“p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时 否 逆 否

为真,其他情况时为假; 否

互 逆否命题

(3)“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时 否命题

若p则q 互 逆 若q则p

为假,其他情况时为真.

4、四种命题的形式:

原命题:若 P 则 q; 逆命题:若 q 则 p;

否命题:若P 则q;逆否命题:若q 则p。

(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题;

(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题;

(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题.

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5、四种命题之间的相互关系:

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:(原命题 逆否命题)

、原命题为真,它的逆命题不一定为真。

、原命题为真,它的否命题不一定为真。

、原命题为真,它的逆否命题一定为真。

6、如果已知 p q 那么我们说,p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件。

若 p q 且 q p,则称 p 是 q 的充要条件,记为 pq.

7、反证法:从命题结论的反面出发(假设),引出(与已知、公理、定理…)矛盾,从

而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。

高中数学第二章-函数

考试内容:

映射、函数、函数的单调性、奇偶性.

反函数.互为反函数的函数图像间的关系.

指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.

对数.对数的运算性质.对数函数.

函数的应用.

考试要求:

(1)了解映射的概念,理解函数的概念.

(2)了解函数单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法.

(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些简单函数的反函数.

(4)理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像 和

性质.

(5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质.

(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.

02. 函数 知识要点

一、本章知识网络结构:

定义 F:AB

反函数

映射 一般研究 图像

性质

函数

二次函数

具体函数 指数 指数函数

对数函数

对数

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二、知识回顾:

(一) 映射与函数

1. 映射与一一映射

2.函数

函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因

为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数

才是同一函数.

3.反函数

反函数的定义

设函数 y f (x)(x A) 的值域是 C,根据这个函数中 x,y 的关系,用 y 把 x 表

示出,得到 x= (y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值,通过 x= (y),x 在 A 中都有唯一

的值和它对应,那么,x= (y)就表示 y 是自变量,x 是自变量 y 的函数,这样的函数 x= (y)

1

(y C)叫做函数 y f (x)(x A) 的反函数,记作 x f (y) ,习惯上改写成

1

y f (x)

(二)函数的性质

函数的单调性

定义:对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2,

若当 x1

若当 x1f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数.

若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格

的)单调性,这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

2.函数的奇偶性

偶函数的定义:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有

f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫 做偶函 数.

奇函数的定义:如果对于函数f(x)的定义域内 任意一个x,都有

f(-x)=-f(x),那么 函数f(x)就叫 做奇函数.

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正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题:

(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 f ( x) 为奇

函数或偶函数的必要不充分条件;(2) f ( x) f ( x) 或

f ( x) f ( x) 是定义域上的恒等式。

2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数

的图象关于 y 轴成轴对称图形。反之亦真,因此,也

可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。

3.奇函数在对称区间同增同减;偶函数在对称区间增

减性相反.

4.如果 f ( x) 是偶函数,则 f ( x) f (| x |) ,反之亦成立。

若奇函数在 x 0 时有意义,则 f (0) 0 。

7. 奇函数,偶函数:

偶函数: f (x) f (x)

设( a, b )为偶函数上一点,则( a,b )也是图象上一点.

偶函数的判定:两个条件同时满足

定义域一定要关于 y 轴对称,例如: y x 2 1在[1,1) 上不是偶函数.

f (x)

满足 f (x) f (x) ,或 f (x) f (x) 0 ,若 f (x) 0 时, 1.

f (x)

奇函数: f (x) f (x)

设( a, b )为奇函数上一点,则( a,b )也是图象上一点.

奇函数的判定:两个条件同时满足

定义域一定要关于原点对称,例如: y x 3 在[1,1) 上不是奇函数.

f (x)

满足 f (x) f (x) ,或 f (x) f (x) 0 ,若 f (x) 0 时, 1 .

f (x)

8. 对称变换:y = f(x) y轴对称 y f( x)

y =f(x) x轴对称 y f(x)

y =f(x) 原点对称 y f( x)

9. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如:

2 2 2 2 (x1 x2)(x1 x2 )

f (x1) f (x 2 ) x 1b x2 b

2 2 2 2

xx b x1 b

在进行讨论.

10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.

x

例如:已知函数 f(x)= 1+ 的定义域为 A,函数 f[f(x)]的定义域是 B,则集合 A 与

1 x

集合 B 之间的关系是B A .

解:f (x) 的值域是 f ( f (x)) 的定义域 B ,f (x) 的值域 R ,故 B R ,而 A x | x 1,故 B A .

11. 常用变换:

f (x)

f (x y) f (x) f (y) f (x y) .

f (y)

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f (y)

证: f (x y) f (x) f [(x y) y] f (x y) f (y)

f (x)

x

f ( ) f (x) f (y) f (x y) f (x) f (y)

y

x x

证: f (x) f ( y) f ( ) f (y)

y y

12. 熟悉常用函数图象:

|x2| |x| |x2|

1 1 1

例: y 2|x| | x | 关于 y 轴对称. y y y

2 2 2

y y

y

(-2,1)

(0,1) x

x x

y

y | 2x 2 2x 1|| y | 关于 x 轴对称.

x

熟悉分式图象:

2x 1 7

例:y 2 定义域{x | x 3, x R} ,

x 3 x 3

值域{y | y 2, y R}值域 x 前的系数之比.

y

(三)指数函数与对数函数

2

x

3

x

指数函数 y a (a 0且a 1) 的图象和性质

a>1 0

4.5

4.5

4

图 4

3.5

3.5

3

3

2.5 2.5

象 2 2

1.5 1.5

y=1 y=1

1 1

0.5

0.5

-4 -3 -2 -1 1 2 3

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-0.5

-0.5

-1

-1

(1)定义域:R

性 (2)值域:(0,+)

质 (3)过定点(0,1),即 x=0 时,y=1

(4)x>0 时,y>1;x<0 时,00 时,01.

(5)在 R 上是增函数 (5)在 R 上是减函数

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a>1 0

对数函数 y=logax 的图象和性质:

对数运算:

(1)

loga (M N) loga M loga N

M

log log M log N

a N a a

n 12)

loga M n loga M

1

log n M log M

a n a

alog a N N

logb N

换底公式:loga N

logb a

推论:loga b logb c logc a 1

log a log a ... log a log a

a1 2 a2 3 an 1 n a1 n

(以上 M 0, N 0,a 0,a 1, b 0, b 1,c 0,c 1,a1,a 2...a n 0且 1 )

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y

y=logax a>1

象 O x

x=1 a<1

(1)定义域:(0,+)

(2)值域:R

(3)过点(1,0),即当 x=1 时,y=0

质 (4) x (0,1) 时 y 0 x (0,1) 时 y 0

x (1,) 时 y>0 x (1,) 时 y 0

(5)在(0,+)上是增函数 在(0,+)上是减函数

注:当 a, b 0 时, log(a b) log(a) log(b) .

:当 M 0 时,取“+”,当 n 是偶数时且 M 0 时, M n 0 ,而 M 0 ,故取“—”.

2 2

例如: log a x 2log a x(2log a x 中 x0 而 log a x 中 xR).

x

y a ( a 0, a 1 )与 y log a x 互为反函数.

当 a 1 时, y log a x 的 a 值越大,越靠近 x 轴;当 0 a 1时,则相反.

(四)方法总结

.相同函数的判定方法:定义域相同且对应法则相同.

对数运算:

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