高考数学专题5 立体几何压轴小题（原卷版）

专题5立体几何压轴小题一、单选题1．（2021全国高三专题练习）正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（）A．2+2B．C．D．2．（2021浙江瑞安中学模拟预测）已知点P是正方体上底面上的一个动点，记面ADP与面BCP所成的锐二面角为，面ABP与面CDP所成的锐二面角为，若，则下列叙述正确的是（）A．B．C．D．3．（2021浙江嘉兴高三月考）如图，将矩形纸片折起一角落得到，记二面角的大小为，直线，与平面所成角分别为，，则（）．A．B．C．D．4．（2021浙江二模）如图，在正方体中，在棱上，，平行于的直线在正方形内，点到直线的距离记为，记二面角为为，已知初始状态下，，则（）A．当增大时，先增大后减小B．当增大时，先减小后增大C．当增大时，先增大后减小D．当增大时，先减小后增大5．（2021山东高三专题练习）如图，在直三棱柱中，已知是边长为1的等边三角形，，，分别在侧面和侧面内运动（含边界），且满足直线与平面所成的角为30，点在平面上的射影在内（含边界）．令直线与平面所成的角为，则的最大值为（）A．B．C．D．6．（2021浙江温州二模）如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所成的角为，则（）A．当时，随着的增大而增大B．当时，随着的增大而减小C．当时，随着的增大而减小D．当时，随着的增大而增大7．（2021浙江高三月考）如图，已知在中，为线段上一点，沿将翻转至，若点在平面内的射影恰好落在线段上，则二面角的正切的最大值为（）A．B．1C．D．8．（2021全国高三专题练习）如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是（）A．B．C．D．9．（2021广东中山模拟预测）四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为（）A．B．C．D．10．（2021陕西西北工业大学附属中学高三月考（理））如图是四棱锥的平面展开图，四边形是矩形，，，，，.在四棱锥中，（）A．B．C．D．11．（2021北京市十一学校高三月考）如图所示，在正方体中，过对角线的一个平面交于E，交于F，给出下面几个命题：四边形一定是平行四边形；四边形有可能是正方形；平面有可能垂直于平面；设与DC的延长线交于M，与DA的延长线交于N，则MNB三点共线；四棱锥的体积为定值.以上命题中真命题的个数为（）A．2B．3C．4D．512．（2021全国高三专题练习）已知四边形ABCD为正方形GD平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，H为BF的中点，有下述四个结论：DEBF；EF与CH所成角为；EC平面DBF；BF与平面ACFE所成角为．其中所有正确结论的编号是（）A．B．C．D．13．（2021全国高三专题练习）已知ABC的边长都为2，在边AB上任取一点D，沿CD将BCD折起，使平面BCD平面ACD．在平面BCD内过点B作BP平面ACD，垂足为P，那么随着点D的变化，点P的轨迹长度为（）A．B．C．D．14．（2021黑龙江哈尔滨市第六中学校模拟预测（理））蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点，，，，满足，，则该“鞠”的表面积为（）A．B．C．D．15．（2021浙江省普陀中学高三开学考试）如图，棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，点分别为线段的中点，则下列说法错误的是（）A．B．三棱锥的体积为定值C．D．的最小值为16．（2021江苏海安高级中学高三期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（）A．B．C．D．317．（2021山东师范大学附中高三开学考试）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，满足，，为球O的直径且，则点P到底面的距离为（）A．B．C．D．18．（2021全国高三开学考试（理））如图，在正方体中，点P为线段上的动点（点与，不重合），则下列说法不正确的是（）A．B．三棱锥的体积为定值C．过，，三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形D．DP与平面所成角的正弦值最大为19．（2021四川树德中学高三月考（理））已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点．有下列结论：线段MN的长度为1；若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线；的余弦值的取值范围为；周长的最小值为．其中正确结论的为（）A．B．C．D．20．（2021江苏省前黄高级中学高三月考）已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，且.若四棱锥P-ABCD的五个顶点在以4为半径的同一球面上，当PA最长时，则四棱锥P-ABCD的体积为（）A．B．C．D．二、多选题21．（2021重庆西南大学附中高三月考）已知点A为圆台下底面圆上的一点，S为上底面圆上一点，且，，，则下列说法正确的有（）A．直线SA与直线所成角最小值为B．直线SA与直线所成角最大值为C．圆台存在内切球，且半径为D．直线与平面所成角正切值的最大值为22．（2021山东师范大学附中高三开学考试）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（）A．直线平面B．三棱锥的体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为23．（2021江苏海安高级中学高三期中）在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（）A．当时，平面B．当时，存在唯一点使得与直线的夹角为C．当时，长度的最小值为D．当时，与平面所成的角不可能为24．（2021重庆西南大学附中高三月考）如图，在菱形中，,，为的中点，将沿直线翻折成，连接和，为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A．B．的长不为定值C．与的夹角为D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是25．（2021全国高三专题练习）已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为，设圆台的体积为，则下列选项中说法正确的是（）A．当时，B．当在区间内变化时，先增大后减小C．不存在最大值D．当在区间内变化时，逐渐减小26．（2021全国高三专题练习（理））已知梯形，，，，是线段上的动点；将沿着所在的直线翻折成四面体，翻折的过程中下列选项中正确的是（）A．不论何时，与都不可能垂直B．存在某个位置，使得平面C．直线与平面所成角存在最大值D．四面体的外接球的表面积的最小值为27．（2021全国高三专题练习（理））在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（）A．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面28．（2021湖北麻城市实验高级中学高三月考）如图，点M是棱长为1的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（）A．存在无数个点M满足B．当点M在棱上运动时，的最小值为C．在线段上存在点M，使异面直线与所成的角是D．满足的点M的轨迹是一段圆弧29．（2021广东顺德一模）如图，已知圆锥OP的底面半径，侧面积为，内切球的球心为，外接球的球心为，则下列说法正确的是（）A．外接球的表面积为B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则C．过点P作平面截圆锥OP的截面面积的最大值为D．设圆锥OP有一内接长方体，该长方体的下底面在圆锥底面上，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该长方体体积的最大值为30．（2021福建泉州科技中学高三月考）为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图，已知球的体积为，托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图.则下列结论正确（）A．经过三个顶点的球的截面圆的面积为B．异面直线与所成的角的余弦值为C．多面体的体积为D．球离球托底面的最小距离为31．（2021广东广州高三月考）如图，矩形中，，为边的中点，将沿翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下列结论中正确的是（）A．翻折到某个位置，使得B．翻折到某个位置，使得平面C．四棱锥体积的最大值为D．点在某个球面上运动32．（2021山东广饶一中高三月考）如图所示，正方体中，，点在侧面（包括边界）上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（）A．B．点必在线段上C．D．平面33．（2021重庆高三月考）已知边长为的菱形中，，将沿翻折，下列说法正确的是（）A．在翻折的过程中，直线，可能相互垂直B．在翻折的过程中，三棱锥体积最大值为C．在翻折的过程中，三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为D．在翻折的过程中，点在面上的投影为，为棱上的一个动点，的最小值为34．（2021广东深圳第三高中高三月考）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（）A．与AB所成的角是60的棱共有8条B．AB与平面BCD所成的角为30C．二面角的余弦值为D．经过A，B，C，D四个顶点的球面面积为35．（2021湖北高三开学考试）如图，AE平面ABCD，CF//AE，AD//BC，ADAB，AE=BC=2，AB=AD=1，，则（）A．BDECB．BF//平面ADEC．二面角E-BD-F的余弦值为D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为36．（2021重庆巴蜀中学高三开学考试）如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是（）A．对任意的点，存在点，使得B．对任意的点，存在点，使得平面C．当时，与的交点满足D．当时，的外接圆的面积最小37．（2021江苏扬州市邗江区蒋王中学高三月考）如图，是由具有公共直角边的两块直角三角板组成的三角形，，．现将沿斜边翻折成（不在平面ABC内）．若M，N分别为BC和的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（）A．平面B．与BC不可能垂直C．二面角正切值的最大值为D．直线与DM所成角的取值范围为38．（2021广东汕头市澄海中学高三月考）如图，正方体的棱长为1，分别为的中点.则（）A．直线与直线垂直B．直线与平面平行C．平面截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面的距离相等39．（2021全国高三开学考试）已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在面内（包含边界），且，则（）A．点的轨迹的长度为B．存在，使得C．直线与平面所成角的正弦值最大为D．沿线段的轨迹将正方体切割成两部分，挖去体积较小部分，剩余部分几何体的表面积为40．（2021全国高三专题练习（文））如图，在棱长为2的正四面体P-ABC中，DE分別为ABAC上的动点(不包含端点)，F为PC的中点，则下列结论正确的有（）A．DE+EF的最小值为；B．若E为AC中点，则DF的最小值为；C．若四棱锥F-BDEC的体积为，则DE的取值范围是D．若，则CE=141．（2021全国高三专题练习（文））若四面体各棱长是1或2且该四面体不是正四面体，则其体积的可能值是（）A．B．C．D．三、双空题42．（2021福建福清西山学校高三期中）如图，已如平面四边形ABCD，，，，.沿直线AC将翻折成，则______；当平面平面ABC时，则异面直线AC与所成角余弦值是______.43．（2021新疆克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数（且）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点P满足.若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为___________；若点P在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则点M到平面的距离的最小值为___________.44．（2021江苏高三月考）现有一块正四面体形状的实心木块，其棱长为.车工师傅欲从木块的某一个面向内部挖掉一个体积最大的圆柱，则当圆柱底面半径___________时，圆柱的体积最大，且最大值为___________.45．（2021山东济南高三月考）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面，，，当面积最大时，若四棱锥存在内切球，则内切球的体积为________，此时四棱锥的体积为__________46．（2021福建上杭一中模拟预测）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异。”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，（1）如用与轴相距为，且垂直于轴的平面，截这个旋转体，则截面图形的面积为______；（2）则这个旋转体的体积为______．47．（2021安徽合肥一中模拟预测（理））半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为1，则该半正多面体外接球的表面积为___________；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为___________.48．（2021全国高三专题练习（文））已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是___________；直线与直线所成角的取值范围为___________.四、填空题49．（2021吉林长春外国语学校高三开学考试（文））已知菱形的边长为，，若沿对角线将折起，使得，则四点所在球的表面积为____________．50．（2021湖北武汉高三开学考试）空间四面体中，，.，直线与所成的角为45，则该四面体的体积为___________.51．（2021安徽合肥市第六中学高三开学考试（文））三棱锥中，为边长为3的等边三角形，，，且面面，则三棱锥的外接球的体积为___________.52．（2021全国高三专题练习）如图，在矩形中，，．将，分别沿，向上翻折至，，则取最小值时，二面角的正切值是________．53．（2021全国高三专题练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，若直线与平面平行，当三角形的面积最小时，三棱锥的外接球的体积是______．54．（2021浙江丽水高三月考）如图，在中，，，，点D在线段上运动，沿将折到，使二面角的度数为，若点在平面内的射影为O，则的最小值为_______．55．（2021浙江学军中学高三期中）如图，在四面体中，，，，分别是的中点若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为______.56．（2021安徽省怀宁中学高三月考（理））如图所示，三棱锥中，，，，则三棱锥体积的最大值为_________．57．（2021新疆莎车县第一中学高三期中）如图，已知三个两两互相垂直的半平面，，交于点O，矩形ABCD的边BC在半平面内，顶点A，D分别在半平面，内，AD2，AB3，AD与平面所成角为，二面角ABCO的余弦值为，则同时与半平面，，和平面ABCD都相切的球的半径为______．58．（2021广东龙岗高三期中）已知正方体的棱长为，点为中点，点在四边形内（包括边界），点到平面的距离等于它到点的距离，直线平面，则的最小值为___________.59．（2021浙江金华高三月考）已知一正三棱锥的体积为，设其侧面与底面所成锐二面角为，则当等于______时，侧面积最小．60．（2021广东实验中学高三月考）将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为_________．61．（2021全国模拟预测）在梯形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为______.62．（2021广东普宁市第二中学高三月考）四棱锥ABCDE的各顶点都在同一球面上，AB底面BCDE，底面BCDE为梯形，BCD60，且ABCBBEED2，则此球的表面积等于_________.