高考数学专题1 函数与导数压轴小题（解析版）

专题1函数与导数压轴小题一、单选题1．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）已知定义在R上的函数满足如下条件：①函数的图象关于y轴对称；②对于任意，；③当时，；④．若过点的直线l与函数的图象在上恰有8个交点，则直线l斜率k的取值范围是()A． B． C． D．【答案】A【分析】结合①②可知是周期为2的函数，再结合④可知是周期为的函数，结合③作出在上的图像，然后利用数形结合即可求解.【详解】因为函数的图象关于y轴对称，所以为偶函数，即，又因为对于任意，，所以，从而，即是周期为2的函数，因为，则图像是的图像的横坐标缩短为原来的得到，故也是偶函数，且周期为，结合当时，，可作出在的图像以及直线的图像，如下图所示：当时，易知，即，则直线的斜率，过点的直线l与函数的图象在上恰有8个交点，则只需，即直线l斜率k的取值范围是.故选：A.2．（2021·江西·高三月考（理））已知，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，，利用导数研究函数的单调性，得出，的单调性，得出，令，可得出，再由得出的，令，得出，从而得出结果．【详解】解：先证，令，则，可知在上单调递增，所以，即，令，则，所以；再证即证，令，则，所以在上单调递增，所以，即，令，则，所以，从而．故选：C.3．（2021·上海市吴淞中学高三期中）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线之间，，与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于点E、D，设弧FG的长为，，若从平行移动到，则函数的图像大致是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件求出函数的解析式，再借助函数性质即可判断作答.【详解】依题意，正的高为1，则其边长，如图，连接OF，OG，过O作ON⊥l1于N，交l于点M，过E作EH⊥l1于H，因OF=1，弧FG的长为，则，又，即有，于是得，，，因此，，即，，显然在上单调递增，且图象是曲线，排除选项A，B，而，C选项不满足，D选项符合要求，所以函数的图像大致是选项D.故选：D【点睛】方法点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．4．（2021·四川资阳·高三月考（理））若不等式恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把不等式转化为对x>0恒成立，对a是否为0分类讨论：当时直接判断；当时，利用分离参数法，记，利用导数判断单调性，求出最值，即可求出的取值范围.【详解】由不等式恒成立，可知对x>0恒成立.当时，对x>0恒成立.当时，，（x>0），，可知在上单增.当，；当，；所以，使得，即.当时，有，所以令，则.因为，则令，可得，所以在上单减，在上单增，所以在处取得最小值.因为，所以，所以，即所以.所以当时，有，所以.令.因为，所以在上单减，当，.所以综上所述：的取值范围是.故选：A【点睛】恒成立问题①参变分离，转化为不含参数的最值问题；②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）.5．（2021·安徽·六安一中高三月考（理））已知函数，若当时，有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，可将简化，利用参变分离来求解.【详解】有解，即，设，则，不等式转化成在时有解，则有解，记，则，再令，则，那么在时递增，所以，于是，在时递增，故，记，，于是有解，只需要.故选：C6．（2021·广西桂林·模拟预测（理））已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由含绝对值的函数和对数函数的单调性，可求得的值域记为A，若存在实数，使，即,结合二次不等式的解法可解得的取值范围【详解】,当时，的值域为当时，的值域为所以的值域记为若存在实数，使，即，即,解得的取值范围为故答案为：C7．（2021·北京市第十三中学高三期中）在长方形中，，点是边上任意一点，设，，与的函数关系式记为，则（）A．函数有一个极大值，无极小值 B．是函数的对称轴C．函数的最大值为 D．函数的增区间为【答案】B【分析】首先结合两角和的正弦公式表示出函数的解析式，进而结合对称性的定义证得函数关于直线对称，即可判断B选项，再结合函数的对称性，先研究函数在上的图象与性质，即可判断ACD选项.【详解】因为，，所以，所以因为，所以,则因为，所以函数关于直线对称，故B正确；由函数的对称性，不妨先讨论上的图象与性质，令，则令，则，所以时，，单调递增；时，，单调递减；且，，所以存在使得，且时，，即，所以单调递减，且时，，即，所以单调递增，且，结合复合函数的单调性可知在单调递增，在单调递减，所以在处取得极大值，由函数的对称性可知，所以在内也有一个极大值，故AD错误；又时，，即，所以单调递增，结合复合函数的单调性可知在单调递减，因此处不是最大值，故C错误；故选：B.【点睛】（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．（2）若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．8．（2021·山西吕梁·高三月考（理））设，，，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据幂函数的单调性判断的大小，构造利用导数研究单调性，进而确定的符号即可判断的大小.【详解】，而，令，则，，∴时，递减；而，，∴上，即递减，则在上，∴由，则，即.综上，.故选：D9．（2021·山西吕梁·高三月考（理））关于函数，，下列四个结论中正确的个数为（）个①在上单调递减，在上单调递增；②有两个零点；③存在唯一极小值点，且；④有两个极值点.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】①反证，求导并发现相同区间的单调性不一致②转化并数形结合发现零点③用零点存在定理和函数的单调性可求证④转化成用导数证明恒成立问题，结合零点存在定理和函数的单调性求解.【详解】因为时，，，所以所以在上单调递增，故①错误.有两个零点等价于有两个根，即函数与有两个交点，根据与的图象，可知在上有两个交点，故②正确.，∵，∴，，∴∴存在，使得且∴在上，，在上，，在上，单调递减，在上，单调递增，∴在上存在唯一极小值点.∵，则∴，故③正确.令则，当时，，，，当时，，.∴在恒成立，∴单调递增且，，∴存在唯一零点，使得∴，，即，，，即，∴在处取得极小值故有唯一极小值点，故④错误.故选：C.10．（2021·山西太原·高三期中）设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分段函数解析式研究的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得、、，进而将目标式转化并令，构造，则只需研究在上的范围即可.【详解】由分段函数知：时且递减；时且递增；时，且递减；时，且递增；∴的图象如下：有四个实数根，，，且，由图知：时有四个实数根，且，又，由对数函数的性质：，可得，∴令，且，由在上单增，可知，所以故选：A11．（2021·安徽·淮南第一中学高三月考（理））若，，且，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由于对数函数的存在，故需要对进行放缩，结合（需证明），可放缩为，利用等号成立可求出，进而得解.【详解】令，，故在上单调递减，在上单调递增，，故，即，当且仅当，等号成立．所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，即，所以，又，所以，，故．故选：A．12．（2021·山西·太原五中高三月考（理））关于的方程有三个不等的实数解，，，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，用导数画出其图象，得到，将关于的方程有三个不等的实数解，，，转化为方程有两个不等的实数解，结合韦达定理求解.【详解】令，则，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时，函数取得最大值，函数的图象如图所示：则，由图象知：，因为关于的方程有三个不等的实数解，，，所以方程有两个不等的实数解，由韦达定理得：，所以，故选：B13．（2021·陕西·西北工业大学附属中学高三月考（理））设是函数的导数，，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，利用可求得；设，利用导数可确定单调性，结合可得单调性，从而确定的最小值.【详解】令，则，，，即，令，则，在上单调递增，又，当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增；.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够将问题转化为最值的求解问题，利用导数确定单调性，利用单调性确定最值点，从而确定大小关系.14．（2021·全国·模拟预测）若点不在函数的图象上，且过点仅能作一条直线与的图象相切，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，可知，对函数求导得，设切点为，利用导数的几何意义可知切线的斜率，结合两点间的斜率公式化简得，构造新函数设，将问题可转化为仅有1个零点，再利用导数研究函数的单调性和零点，从而可知，列出关于的不等式，即可求出的取值范围.【详解】解：已知点不在的图象上，则，所以，而，设过点的直线与的图象切于点，则切线的斜率，则，整理得，设，由于过点仅能作一条直线与的图象相切，则问题可转化为仅有1个零点，，令，解得：或，令，即，解得：或，令，即，解得：，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，可知在区间或区间上必有一个零点，所以可知与同号，则，即，解得：或，所以的取值范围为.故选：A.15．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数在上的导函数为，若，，，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数得到也是上的单调递增函数.，分析得到函数关于点对称.由得到，即得解.【详解】构造函数，所以也是上的单调递增函数.因为，所以关于直线对称，所以，（为常数），，令，所以.因为，所以所以，所以函数关于点对称.由得到，因为，所以，所以，所以，所以.故选：A16．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（理））已知数列满足，满足，，则下列成立的是（）A． B．C． D．以上均有可能【答案】C【分析】由题设可得且，根据等式条件有，应用放缩法可得，构造并利用导数研究单调性可得上，则即可得到答案.【详解】由题设，，，即数列均为正项，∴，当时等号成立，当时，有，以此类推可得与题设矛盾，综上，，故，即.∵，∴，令，则，当时，即递减，当时，即递增，∴，故上，即，∴故选：C【点睛】关键点点睛：由条件等式结合放缩法得到的不等关系，再利用导数研究的单调性确定有，根据目标式作放缩处理得到关于的二次函数形式求最值.17．（2021·内蒙古·海拉尔第二中学高三月考（文））已知函数满足，且当时，成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，利用奇函数的定义得函数是奇函数，再利用导数研究函数的单调性，结合，再利用单调性比较大小得结论.【详解】因为函数满足，且在上是连续函数，所以函数是偶函数，令，则是奇函数，且在上是连续函数，则，因为当时，成立，即，所以在上单调递减，又因为在上是连续函数，且是奇函数，所以在上单调递减，则，，，因为，，，所以，所以，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查的是比较大小问题，涉及到的知识点包括函数的奇偶性以及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是构造函数，属于中档题.18．（2021·全国·模拟预测（理））已知a＞0，函数f(x)＝2eax﹣x，若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．[，） B．（0，] C．（0，） D．[，]【答案】C【分析】转化函数恰有两个零点为f(x)＝x有两个解，即eax＝x恰有两个解，即a恰有两个解，研究函数g(x)的单调性和取值范围，分析即得解【详解】因为函数，因此F(x)＝0，即eaf(x)＝eax，