数 学
(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
注意事项:
1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考
证号填写在答题卡上。
2.回答第卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用
橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
A x ln x 1 B x 1 x 3
1.集合 , ,则 A B ( )
A. B. x e x 3 C. x e x 3 D. x x 1
2.已知复数 z (1 2i) 在复平面内对应点的坐标为(3,1),则 z ( )
1 7 1 1 1 7
A. i B. i C. i D. i
5 5 5 5 5 5
6
3 1 10
3. 2x 展开式中 x 项的系数为( )
x
A. 240 B. 20 C. 20 D. 240
xex ex
4.函数 f x 的部分图象大致为( )
2 cosx
A. B.
C. D.
5.中国国家馆,以城市发展中的中华智慧为主题,表现出了“东方之冠,鼎盛中华,天下粮仓,
富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图,现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台
ABCD A1B1C1D1 ,上下底面的中心分别为O1 和 O ,若 AB 2A1B1 4 , A1 AB 60 ,则正四
棱台 ABCD A1B1C1D1 的体积为( )
20 2 28 2 20 6 28 6
A. B. C. D.
3 3 3 3
6.公元9 世纪,阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念,1551 年奥地利数学家、天文学
家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割,在某直角三角形
中,一个锐角的斜边与其邻边的比,叫做该锐角的正割,用 sec(角)表示;锐角的斜边与其对
边的比,叫做该锐角的余割,用 csc(角)表示,则 3 csc 20 sec 20 ( )
A. 3 B. 2 3 C. 4 D. 8
7.已知奇函数 f x 在 R 上可导,其导函数为 f x ,且 f 1 x f 1 x x 0 恒成立,则
f 2023 ( )
1 1
A. 1 B. C. 0 D.
2 2
x2 y2
8.如图,已知双曲线 C : 1(a,b 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 的直线与C 分别
a2 b2
在第一二象限交于 A, B 两点,ABF2 内切圆半径为 r ,若 BF1 r a ,则C 的离心率为
( )
10 2 5 30 85
A. B. C. D.
2 3 4 5
二、选择题:本题共4 小题,每小题5 分,共20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
求.全部选对的得5 分,部分选对的得2 分,有选错的得0 分.
9.2023年 10月 3 日第 19 届杭州亚运会跳水女子 10 米跳台迎来决赛,中国“梦之队”包揽了该
项目的冠亚军.已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等,记为 xi i 1,2,3,4,5 ,平均数
为 x ,若随机删去其任一轮的成绩,得到一组新数据,记为 yi i 1,2,3,4 ,平均数为 y ,下面
说法正确的是( )
A. 新数据的极差可能等于原数据的极差
B. 新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C. 若 x y ,则新数据的方差一定大于原数据方差
D. 若 x y ,则新数据的第 40 百分位数一定大于原数据的第 40 百分位数
10.已知函数 f x Asin x A 0, 0, 的部分图象如图所示.则( )
2
A. f (x) 的图象关于 ,0 中心对称
12
5
B. f (x) 在区间 ,2 上单调递增
3
C. 函数 f x 的图象向右平移 个单位长度可以得到函数 g x = 2sin 2x 的图象
6 ( )
1
D. 将函数 f (x) 的图象所有点的横坐标缩小为原来的 ,得到函数 h(x) 2sin(4x ) 的图象
2 6
11.已知 P 是圆 C : x2 y2 1上一点, Q 是圆 D : (x 3)2 (y 4)2 4 上一点,则( )
A. PQ 的最小值为2
B. 圆C 与圆 D 有4 条公切线
4 3
C. 当 PQ 取得最小值时, P 点的坐标为 ( , )
5 5
D. 当 PQ 1 21 时,点 D 到直线 PQ 的距离小于2
12.已知正四面体 P ABC 的棱长为2 ,下列说法正确的是( )
A. 正四面体 P ABC 的外接球表面积为 6
B. 正四面体 P ABC 内任意一点到四个面的距离之和为定值
1
C. 正四面体 P ABC 的相邻两个面所成二面角的正弦值为
3
D. 正四面体 Q MNG 在正四面体 P ABC 的内部,且可以任意转动,则正四面体 Q MNG 的
2 2
体积最大值为
81
三、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,共20 分.
13.已知等差数列an 前3 项和 S3 12 , a1 1, a2 1, a3 3 成等比数列,则数列an 的公差
d _______________.
2
14.已知向量 a , b 满足 a b a 2 ,且 a 1,1 ,则向量 b 在向量 a 上的投影向量为________.
15.正三棱台 A1B1C1 ABC 中, A1B1 1, AB AA1 2 ,点 E , F 分别为棱 BB1 , A1C1 的中点,
若过点 A , E , F 作截面,则截面与上底面 A1B1C1 的交线长为________.
16.已知函数 f x xex1 2a ln x 的最小值为0 ,则 a 的值为________.
四、解答题:本题共6 小题,共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
*
17.已知正项数列an 的前 n 项和为 Sn ,且满足 2 Sn an 1, n N .
(1)求数列an 的通项公式;
2
(2)若数列bn 满足 bn an ,求数列bn 的前 n 和Tn .
an an1
1 sin A sin B
18.记 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 .
cos A cos B
(1)求 A 2B 的值;
(2)若 a2 2c2 b2 ,求 的最大值.
19.如图,底面 ABCD 是边长为2 的菱形, BAD 60 , DE 平面 ABCD, CF / /DE ,
DE 2CF ,BE 与平面 ABCD 所成的角为 45.
(1)求证:平面 BEF 平面 BDE;
(2)求二面角 B-EF-D 的余弦值.
20.“村 BA”后,贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”,其实是目前火爆全网的贵州乡村体育
赛事一一榕江(三宝侗寨)和美乡村足球超级联赛,被大家简称为“村超”.“村超”的民族风
乡土味欢乐感,让每个人尽情享受着足球带来的快乐.
某校为了丰富学生课余生活,组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关,随
机抽取了男女同学各 50 名进行调查,部分数据如表所示:
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 20
女生 15
合计 100
n(ad bc)2
附: 2 .
a bc d a cb d
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)根据所给数据完成上表,依据 0.005的独立性检验,能否有99.5% 的把握认为该中学学
生喜欢足球与性别有关?
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2 名男生和1 名女生示范定点射门.据统计,这两
2
名男生进球的概率均为 ,这名女生进球的概率为 1 ,每人射门一次,假设各人进球相互独立,
3 2
求3 人进球总次数 X 的分布列和数学期望.
21.已知函数 f x axex a 0 , g x x2 .
(1)求 f x 的单调区间;
(2)当 x 0 时, f x 与 g x 有公切线,求实数 a 的取值范围.
y2
22.已知椭圆 T: x2 1,其上焦点 F 与抛物线 K: x2 4y 的焦点重合.
2
(1)若过点 F 的直线交椭圆 T 于点 A、B,同时交抛物线 K 于点 C、D(如图1 所示,点 C 在椭圆
与抛物线第一象限交点上方),试证明:线段 AC 大于 BD 长度的大小;
(2)若过点 F 的直线交椭圆 T 于点 A、B,过点 F 与直线 AB 垂直的直线 EG 交抛物线 K 于点 E、G
(如图2 所示),试求四边形 AEBG 面积的最小值.
2024年1月“七省联考”押题预测卷02
数 学
(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
注意事项:
1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2.回答第卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
A x ln x 1 B x 1 x 3
1.集合 , ,则 A B ( )
A. B. x e x 3 C. x e x 3 D. x x 1
【答案】C
【解析】由 ln x 1 x e ,即 A x x e A B x e x 3.
故选:C
2.已知复数 z (1 2i) 在复平面内对应点的坐标为(3,1),则 z ( )
1 7 1 1 1 7
A. i B. i C. i D. i
5 5 5 5 5 5
【答案】A
【解析】由已知复数 z (1 2i) 在复平面内对应点的坐标为(3,1),
则 z (1 2i) 3 i ,
3 i 3 i1 2i 1 7i 1 7
所以 z i .
1 2i 1 2i1 2i 5 5 5
故选:A.
6
3 1 10
3. 2x 展开式中 x 项的系数为( )
x
A. 240 B. 20 C. 20 D. 240
【答案】D
6 r
1 6r 1 r
【解析】 3 展开式通项 为 r 3 6r r 184r
2x Tr1 C6 2x 1 2 C6 x
x x
2 62 2
由18 4r 10 ,可得 r 2 ,则 1 2 C6 240 ,
6
3 1 10
则 2x 展开式中 x 项的系数为 240.
x
故选:D
xex ex
4.函数 f x 的部分图象大致为( )
2 cosx
A. B.
C. D.
【答案】C
xex ex
【解析】根据题意,对于函数 f x ,
2 cosx
xex ex xex ex
有函数 f x f x ,
2 cosx 2 cosx
即函数 f x 为奇函数,图象关于原点对称,故排除 AB ;
xex ex
当 x 0 时, cos x [1,1],则恒有 f x 0 ,排除 D;
2 cosx
故选:C.
5.中国国家馆,以城市发展中的中华智慧为主题,表现出了“东方之冠,鼎盛中华,天下粮仓,
富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图,现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台
ABCD A1B1C1D1 ,上下底面的中心分别为O1 和 O ,若 AB 2A1B1 4 , A1 AB 60 ,则正四
棱台 ABCD A1B1C1D1 的体积为( )
20 2 28 2 20 6 28 6
A. B. C. D.
3 3 3 3
【答案】B
【解析】因为 ABCD A1B1C1D1 是正四棱台, AB 2A1B1 4 , A1 AB 60 ,
1
AB A1B1 1 2
侧面以及对角面为等腰梯形,故 AA 2 2 , AO AC AB 2 2 ,
1 2 2
cosA1 AB
2 2
AO A B 2 ,所以 OO AA2 AO AO 2 ,
1 1 2 1 1 1 1 1 1
1 2 28 2
所以该四棱台的体积为V OO S S S S (16 4 8) ,
3 1 ABCD A1B1C1D1 ABCD A1B1C1D1 3 3
故选:B.
6.公元 9 世纪,阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念,1551 年奥地利数学家、天文学
家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割,在某直角三角形
中,一个锐角的斜边与其邻边的比,叫做该锐角的正割,用 sec(角)表示;锐角的斜边与其对边
的比,叫做该锐角的余割,用 csc(角)表示,则 3 csc 20 sec 20 ( )
A. 3 B. 2 3 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】依题意, 20 角可视为某直角三角形的内角,由锐角三角函数定义及已知得
1 1
csc 20 ,sec 20 ,
sin 20 cos 20
3 1 3 cos 20 sin 20 2sin(60 20 )
3 csc 20 sec 20 4
所以 sin 20 cos 20 sin 20 cos 20 1 .
sin 40
2
故选:C
7.已知奇函数 f x 在 R 上可导,其导函数为 f x ,且 f 1 x f 1 x x 0 恒成立,则
f 2023 ( )
1 1
A. 1 B. C. 0 D.
2 2
【答案】B
1
【解析】设 g(x) f (x) x ,则 g(x) 为 R 上可导的奇函数, g(0) 0 ,
2
1 1
由题意得 f 1 x (1 x) f 1 x (1 x) ,
2 2
得 g(1 x) g(1 x) ,所以 g x 2 g 1 x 1 g x g x ,
g x 4 g x 2 2 g x 2 g x ,
又 g(1 x) g(1 x) ,即 g(1 x) g(1 x) ,
所以 g(1 x) g(1 x) ,等式两边对 x 求导,
得 g(1 x) g(1 x) ,令 x 0 , g(1) g(1) ,所以 g(1) 0 .
由 g(x 4) g(x) ,两边对 x 求导, g(x 4) g(x) ,所以 g(x) 的周期为 4,
1 1
所以 g(2023) g(1) 0 ,因为 g(x) f (x) x ,所以 g (x) f (x) ,
2 2