乌鲁木齐市实验学校2023-2024 学年高三上学期1 月月考
数学试题
总分 150分 考试时间 120分钟
一、单项选择题（8 小题每题5分共40分）
1．已知复数 z 满足 z i 1 i ，则在复平面内，复数 z 所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合 A 1,2,4 ， B 1, x ，若 B A ，则 x
A．1 B． 2 C． 2 或 4 D．1或 2 或 4
3．某单位共有老、中、青职工 430 人，其中有青年职工 160 人，中年职工
人数是老年职工人数的 2 倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进
行调查，在抽取的样本中有青年职工 32 人，则该样本中的老年职工人数为
()
A．9 B．18 C．27 D．36
5
4．若函数 f (x) 是周期为 2 的偶函数，当 0 x 1时 f (x) 2x(1 x) ，则 f ( ) =()
2
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 2 4 4
2
2 y
5．已知椭圆C1： 与双曲线C2： x 1有公共的焦点，
4
C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A、B 两点，C1 恰好将线
段 AB 三等分，则
A． B． C． D．
6．若函数 在区间 (0, ) 上单调递减，则实数 的取值范围
是
A．[ 2,) B．[1,) C． (, 2] D． (,1]
3 5
7．若sin ， 3 ，则 tan cos （ ）
5 2 2 2
10 10 3 10 3 10
A．3 B．3 C．3 D．3
10 10 10 10
n S
8．已知等比数列an 的前 项和为 n ，则下列判断一定正确的是（ ）
A．若 S3 0，则 a2022 0 B．若 S3 0 ，则 a2022 0
1 1
C．若 a2 a1 ，则 a2023 a2022 D．若 ，则 a2023 a2022
a2 a1
二、多选题（共4 小题每题五分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0
分。）
9．如图 1，在 ABC 中， ACB 90 ， AC 2 3 ，CB 2 ，DE 是 ABC 的中位
线，沿 DE 将ADE 进行翻折，连接 AB，AC 得到四棱锥 A BCED （如图 2），
点 F 为 AB 的中点，在翻折过程中下列结论正确的是（ ）
A．当点 A 与点 C 重合时，三角形 ADE 翻折旋转所得的几何体的表面积
3
为 3 3
2
3
B．四棱锥 A BCED 的体积的最大值为
2
3
C．若三角形 ACE 为正三角形，则点 F 到平面 ACD 的距离为
2
3
D．若异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为 ，则 A、C 两点间的距离
4
为 2 3
10．设抛物线 y2 2 px p 0 的焦点为 F，P 为其上一动点，当 P 运动到2,t
时， PF 4 ，直线 l 与抛物线相交于 A，B 两点，点 M 4,1 ，则下列结论正
确的是（ ）
A．抛物线的方程为 y2 4x
B． PM PF 的最小值为 6
C．若线段 AB 中点的纵坐标为 4，则直线 l 的斜率为 2
D．当直线 l 过焦点 F 时，以 AF 为直径的圆与 y 轴相切
11．下列四个命题是真命题的是（ ）
A．若函数 f x 的定义域为2,2 ，则函数 f x 1的定义域为3,1
7
B．函数 y x x 2 的值域为 ,
4
C．若函数 y x2 mx 4 的两个零点都在区间为1, 内，则实数 m 的取值
范围为5,4
x2 ax 5, x 1
D．已知 f x a 在, 上是增函数，则实数 a 的取值范
, x 1
x
围是3,2
1
12．从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 1 ，
4 2
从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
1
A．2 个球都是红球的概率为 B．2 个球中恰有一个红球的概率为 1
8 2
3 7
C．至少有 1 个红球的概率为 D．2 个球不都是红球的概率为
8 8
三、填空题（本题共4 小题，每题5 分，共20分）
13．已知向量b 为单位向量，向量 a 1,1 ，且 a 2b 6 ，则向量 a 、b 的夹
角为 .
14．已知正四棱台的上底边长为 4，下底边长为 8，侧棱长为 17 ，则其体积
为 .
2 2
15．已知圆 x y 8内有一点 P1,2，AB 为过点 P 且倾斜角为135 的弦，
则 AB ．
k
16．集合 A x x sin ,k Z 的子集的个数是 ．
3
四、解答题（本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题
区域的答案无效。）
17．如图，在 ABC 中， AB AC ， AB AC 4 ，点 E ， F 是线段 BC （含端
点）上的动点，且点 F 在点 E 的右下方，在运动的过程中，始终保持 EAF
4
不变，设 EAB ．
(1)写出 的取值范围，并分别求线段 AE ， AF 关于 的函数关系式；
(2)求 EAF 面积 S 的最小值．
*
18．已知数列an 的前 n 项和 Sn ，对于 n N ，都满足 Sn1Sn Sn1 Sn 0(n 2) ，
且 a1 1．
(1)求 Sn ；
Sn
(2)若b ，求数列bn 的前 n 项和Tn ．
n n 2
19．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生，将其数学成绩
（均为整数）分成六段40,50 ，50,60 …90,100后，画出如下部分频率分布
直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校学生的数学成
绩的中位数.
（2）从被抽取的数学成绩是 70 分以上（包括 70 分）的学生中选两人，求他
们在同一分数段的概率.
（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取 4 个学生，设这
四个学生中数学成绩为 80 分以上（包括80 分）的人数为 X （以该校学生的
成绩的频率估计概率），求 X 的分布列和数学期望.
20．如图，在四棱台 ABCD A1B1C1D1 中，底面为矩形，平面 AA1D1D 平面
1
C1CDD1 ，且CC CD DD C D 2 .
1 1 2 1 1
(1)证明: A1D1 面CC1D1D
(2)若 A1C 与平面CC1D1D 所成角为 ，求锐二面角C AA1 D 的余弦值.
3
2 2
x y 1
21．已知椭圆C : 1的上顶点到右顶点的距离为 7 ，离心率为 ，过
a2 b2 2
椭圆左焦点 F1 作不与 x 轴重合的直线与椭圆 C 相交于 M，N 两点，直线 m 的
方程为： x 2a ，过点 M 作 ME 垂直于直线 m 交直线 m 于点 E．
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)点 O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值．
22．函数 f x ex x a ， a R .
(1)求函数 y f x 的单调区间及极值；
(2)若 x1, x2 是函数 y f x 的两个不同零点，求证： x1 x2 0 ；
x1 x2 21 a .
月考答案解析：
1．B
【分析】根据等式化简出 z ，即可得到 z ，则可选出答案.
【详解】因为 z i 1 i .
1 i
所以 z 1 i .
i
所以 z 1 i ，其在复平面对应的点为 (1,1) 在第二象限.
故选：B.
2．C
【详解】试题分析：集合 A 1,2,4 ， B 1, x ， B A ， x 2 或 x 4 才能满足
集合的互异性.故选 C.
考点：集合中子集的概念与集合中元素的互异性.
3．B
【详解】试题分析：根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工
的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每
个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．
设老年职工有 x 人，中年职工人数是老年职工人数的 2 倍，则中年职工有 2x，
x+2x+160=430，x=90，即由比例可得该单位老年职工共有 90 人，在抽取的
32 1
样本中有青年职工 32 人，每个个体被抽到的概率是
160 5
1
用分层抽样的比例应抽取 90=18 人．故选 B．
5
考点：分层抽样
点评：本题是一个分层抽样问题，容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它
混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分
点，不容错过
4．B
5
【分析】根据函数周期性与奇偶性，将 转化到0,1范围内，再代入解析式即
2
可.
【详解】因为函数 f x 是周期为 2 的偶函数，
且当 0 x 1时， f x 2x1 x，
5 5 1 1 1 1 1
则 f （f ） （f 2 ） （f ） 2 1 ，
2 2 2 2 2 2 2
故选:B．
5．C
【详解】由题意，C2 的焦点为 (0, 5) ，一条渐近线方程为 y=2x，根据对称性易
2 2
AB 为圆的直径且 AB=2a,C1 的半焦距 c 5 ，于是得 a -b =5 .
2 2
2 a b
设 C1 与 y=2x 在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入 C1 的方程得： x
b2 4a2
，
2a
由对称性知直线 y=2x 被 C 截得的弦长= 2 5x 由题得： 2 5x ，
1 3
a
所以 x ,由得 a2=11b2 ,由得 a2=5.5，b2=0.5.故选 C
3 5
6．C
【详解】试题分析：由题意，知 f (x) ex (sin x cos x a) 0 在区间 (0, ) 上恒成立，
5
即 a 2 sin(x ) 在区间 (0, ) 上恒成立．因为 x ( , ) ，所以
4 4 4 4
2
sin(x )( ,1]，所以 2 sin(x )[ 2,1) ，所以 a 2 ，故选 C．
4 2 4
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、两角和的正弦公式；3、正弦函数的
图象与性质．
7．B
【分析】利用同角三角函数的基本关系与半角公式求解即可
3 5
【详解】因为sin ， 3 ，
5 2
4
所以 cos 1 sin2 ，
5
5 3
因为 ，
4 2 2
所以sin 0 ， cos 0，
2 2
1 cos 3 10
所以sin ，
2 2 10
1 cos 10
cos ，
2 2 10
sin
所以 tan 2 3，
2 cos
2
10
则 tan cos 3 ，
2 2 10
故选：B.
8．D
【分析】根据已知条件及取等比数列进行验证，利用等比数列的性质即可求解.
n1 S 0
【详解】对于 A，等比数列 a1 1,a2 2,a3 4,,an 2 , 满足 3 ，但是
a2022 0 ，故 A 错误；
n3
n 1
S 0
对于 B，等比数列 a1 4,a2 2,a3 1,,an 1 , 满足 3 ，但是
2
a2022 0 ，故 B 错误，
n3
n 1
a a
对于 C，等比数列 a1 4,a2 2,a3 1,,an 1 , 满足 2 1 ，但是
2
a2023 0 a2022 ，故 C 错误，
1 1 1 1 1
对于 D，若 a1 0 ，由 1 0 q 1，所以等比数列an 为递
a2 a1 a1q a1 q
减数列，故 a2023 a2022 正确；
1 1 1 1 1
若 a1 0 ，由 1 q 0 或 q 1 ，当 q 1 时，等比数列an 为递
a2 a1 a1q a1 q
减数列，故 a2023 a2022 正确；当 q 0时，偶数项为正，奇数项为负，故 a2023 a2022
正确；故 D 正确.
故选：D.
9．AB
【分析】根据圆锥的表面积公式即可判断 A,由锐角三角函数结合锥体的体积公
式可表达出体积关系式,结合三角函数的性质即可判断 B,根据长度关系可得垂直
以及平行，结合等面积法得 DG h1 DF FG 即可求解 C,由线线角的几何法求解，
结合余弦定理即可判断 D.
【详解】由题意，
在 ABC 中， ACB 90 ， AC 2 3 ，CB 2 ，DE 是 ABC 的中位线，
BC 3 1 1
tan A ， DE BC 1， AE CE AC 3 ， AC 2 3
AC 3 2 2
1 1
A 30 ， AD BD AB 2BC 2 ，
2 2
对于 A 项，当点 A 与点 C 重合时，三角形 ADE 翻折旋转所得的几何体为底面半
径为 EC 3 ，高为 DE 1的半个圆锥，三角形 ADE 翻折旋转所得的几何体的
表面积为：
2 2
1 2 1 1 2 1 3
S rl r AC DE 3 1 3 3 2 3 1 3 3
2 2 2 2 2
，故 A 正确；