绝密启用前 【山西专版】
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘
贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．设全集U 2,1,0,1,2，集合 A 1,0 ， B 0,1,2 ，则 U A B =
A． 1 B． 2 C． 1,2 D． 0,1,2
8
2
． 的展开式中常数项为
2 x 3
x
A．112 B．56 C．28 D．16
3 2
3． 已 知 函 数 f x a 3 x a 2 x a 1 x a 若 对 任 意 x0 R ，， 曲 线 y f x 在 点
x0 , f x0 和 x0 , f x0 处的切线互相平行或重合，则实数 a=
A．0 B．1 C．2 D．3
4．干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、
辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以
一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第
一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开
始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知 2024 年是甲
辰年，则 2124 年为
A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年
5．将一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧长为 4，外弧长为 8，外弧半径与内弧半径之差为 m，若
28 5
该圆台的体积为 ，则 m=
3
A．4 B．3 C．2 D．1
uuur uuur
z1
6．设非零复数 z1 和 z2 在复平面内对应的向量分别为 OP 和 OQ ，其中 O 为原点，若 w 为纯虚数，
z2
则
A． OPOQ B． OP OQ
C． OP OQ OP OQ D． OP OQ OP OQ
7． 已 知 ， ， 均 是 锐 角 ， 设 sin cos sin cos sin cos 的 最 大 值 为 tan ， 则
sin sin cos =
15 5
A． 3 B． C．1 D．
13 13
1
8．已知实数 a，b，c 满足 ln a ， b 3log 2 ， 6c 7 ，则
5 7
A． c a b B． b a c C． a c b D． a b c
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
2
9．已知抛物线 C： y 4x 的焦点为 F，点 M x0 , y0 在 C 上，若MOF=45（O 为坐标原点），则
3
A． x 4 B． y 4 C． MF 5 D． cosOFM
0 0 5
10．函数 f x Asin x A 0, 0, 0 的部分图象如图所示，则
A． A 2
B． 0
C． f x 的图象关于点 23,0 对称
5 13
D．不等式 f 4x 1的解集为 2k ,2k k Z
12 12
11． 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 已 知 AD PD 2AB 2BC 2CD 2 ， AP 2 2 ， 且
BAD ADC ，则
2 3
A．四棱锥 P ABCD 的体积的取值范围是 0,
3
B． PB2 的取值范围是 7 2 3,7 2 3
C．四棱锥 P ABCD 的外接球的表面积的最小值为 8
5
D．PB 与平面 PAD 所成角的正弦值可能为
7
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．已知圆 C 经过点 M 8,6 ，且有一条直径的两个端点分别在 x，y 轴上，则圆 C 的面积的最小值为
______．
13．甲、乙两名足球运动员进行射门比赛，约定每人射门 3 次，射进的次数多者赢，一样多则为平局．若
3 2
甲每次射门射进的概率均为 ，乙每次射门射进的概率均为 ，且每人每次射门相互独立．现已知甲第一
4 3
次射门未射进，则乙赢的概率为______．
x2 y2 1
14．已知椭圆 C： 1a b 0 的左、右焦点分别是 F ， F ，斜率为 的直线 l 经过点 F 且
a2 b2 1 2 2 1
交 C 于 A，B 两点（点 A 在第一象限），若 AF1F2 的面积是 BF1F2 的面积的 3 倍，则 C 的离心率为
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
某学校准备订做新的校服，有正装和运动装两种风格可供选择，为了解学生和家长们的偏好，学校随机调
查了 200 名学生及每名学生的一位家长，得到以下的 22 列联表：
更喜欢正装 更喜欢运动装
家长 120 80
学生 160 40
（）根据以上数据，判断是否有 99%的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异；
（）若从家长中按不同偏好的人数比例用分层随机抽样的方法抽取 5 人进行座谈，再从这 5 人中任选 2
人，记这 2 人中更喜欢正装的家长人数为 X，求 X 的分布列和数学期望．
n(ad bc)2
附： 2 ．
(a b)(c d)(a c)(b d)
0.1 0.05 0.01 0.001
x 2.706 3.841 6.635 10.828
16．（15 分）
如图，A 是以 BC 为直径的圆 O 上的点，PA平面 ABC，D，E 分别是线段 PA，PB 上的点，且满足
PD PE
0 1 ， PA AB 2AC ．
PA PB
（）求证： DE CD ；
1
（）若二面角 B CE D 的正弦值为 ，求 的值．
2
17．（15 分）
x2 y2
已知双曲线 C： 1a 0,b 0 的渐近线与圆 x2 y2 a2 的一个交点为 A 1, 3 ．
a2 b2
（）求 C 的方程．
（）过点 A 作两条相互垂直的直线 l1 和 l2 ，且 l1 与 C 的左、右支分别交于 B，D 两点， l2 与 C 的左、右
支分别交于 E，F 两点，判断 AB AF AD AE 能否成立．若能，求该式成立时直线 l1 的方程；若
不能，说明理由．
18．（17 分）
已知函数 f x eaxbcos x a bsin x ， a 0 ， b 0 ．
1
（）若 a ， b 1，讨论 f x 在区间 0,2 上的单调性；
2
（）设 t 为常数，若 a b t ”’是“ f x 在 R 上具有单调性”的充分条件，求 t 的最小值．
19．（17 分）
n
对于数列 ，若存在 ，使得对任意 * ，总有 ，则称 为“有界变差数
an M 0 n N ak 1 ak M an
k 1
列”．
（）若各项均为正数的等比数列an 为有界变差数列，求其公比 q 的取值范围；
1
（）若数列bn 满足 bn1 2 ，且 b1 2 ，证明：bn 是有界变差数列；
bn
xn
（）若xn ，yn 均为有界变差数列，且 yn y1 0 ，证明： 是有界变差数列．
yn
天一大联考
2023—2024 学年高三年级阶段性测试（定位）
数学（山西专版）答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
1．答案 C
命题意图 本题考查集合的表示与运算．
解析 由已知易得 U A 2,1,2，所以 U A I B {1,2}．
2．答案 A
命题意图 本题考查二项式定理的应用．
2
2
解析 常数项为 2 6 2 ．
C8 x 3 4C8 112
x
3．答案 C
命题意图 本题考查导数的几何意义和函数的奇偶性．
解析 由题意知 f x 3a 3 x2 2a 2 x a 1为偶函数，则 a 2 ．
4．答案 D
命题意图 本题考查等差数列的应用．
解析 天干可看作公差为 10 的等差数列，地支可看作公差为 12 的等差数列，由于 22124 2024 100 ，
故 100 年后天干为甲，由于100 12 8L L 4 ，余数为 4，故 100 年后地支为“辰”后面第四个，即
“申”，所以 2124 年为甲申年．
5．答案 B
命题意图 本题考查圆台的有关计算．
解析 易知圆台的上底面半径为 2，下底面半径为 4，母线长为 m．设圆台的高为 h，根据题意可知该圆台
1 1 28 5
的 体 积 为 V hr 2 rR R2 h22 2 4 42 ， 解 得 h 5 ， 则
3 3 3
m (4 2)2 h2 22 ( 5)2 3 ．
6．答案 D
命题意图 本题考查复数的几何意义以及平面向量的运算．
解析 设 z1 a bi ， z2 c di ， w ki ，其中 a，b，c，d， k R ，且 a，b 不同时为 0，c，d 不同时
为 0， k 0 ， 由 题 意 a bi ki c di kd cki ， 所 以
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OP OQ (a,b)(c,d) ac bd kdc kcd 0 ，所以 OP OQ OP OQ ．
7．答案 B
命题意图 本题考查三角恒等变换及基本不等式的应用．
sin2 cos2 sin2 cos2
解 析 由 基 本 不 等 式 可 得 sin cos ， sin cos ，
2 2
sin2 cos2 3
sin cos ，三式相加，可得 sin cos sin cos sin cos ，当且仅当 ，，
2 2
3 sin (sin cos ) tan2 tan 15
均为 时等号成立，所以 tan ，则 sin (sin cos ) ．
4 2 sin2 cos2 tan2 1 13
8．答案 C
命题意图 本题考查指数函数和对数函数的综合性质．
1 ln(x 1)
解 析 由 已 知 得 a e5 ， b log 8 ， c log 7 ． 令 f x (x 1) ， 则
7 6 ln x
x ln x (x 1)ln(x 1)
f x ， 显 然 f x 0 ， 即 f x 单 调 递 减 ， 所 以 f 6 f 7 ， 即
x(x 1)(ln x)2
ln 7 ln8 1 1 6
，亦即 log 7 log 8 ， c b ．由 ex x 1，可得 e5 1 ，而 log 75 log 66 6 ，
ln 6 ln 7 6 7 5 5 6 6
6
所以 log 7 ，所以 a c ．综上可知 a c b ．
6 5
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．每小题全部选对的得 6 分，部分
选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．答案 AC
命题意图 本题考查抛物线的方程与性质．
y0 2 x0 4 x0 4
解析 若MOF=45，则 tan MOF 1，又 y0 4x0 ，解得 或 ，故 A 正确，B
x0 y0 4 y0 4
错误；由抛物线的定义，得 MF 4 1 5 ， 故 C 正 确 ； 由 余 弦 定 理 得
2
2 2
1 5 4 2 3
cosOFM ，故 D 错误．
215 5
10．答案 ABD
命题意图 本题考查三角函数的图象与性质．
3
解 析 设 f x 的 最 小 正 周 期 为 T， 由 图 象 可 知 A 2 ， T 5 1 6 1解 得 T 8， 故
4
2
， 则 f x 2sin x ， 将 1,2 代 入 解 析 式 ， 得 2sin 2 ， 所 以
8 4 4 4
11
，所以 f x 2sin x ，故 A，B 正确； f 23 2sin 2sin 2 ，故 C
4 4 4 2 2
1
错 误 ； f 4x 1即 为 2sin x 1， 得 sin x ， 得
4 4 2
5 5 13
2k x 2k k Z ，得 2k x 2k k Z ，故 D 正确．
6 4 6 12 12
11．答案 BCD
命题意图 本题考查棱锥的结构以及棱锥与球的综合问题．
解 析 由 已 知 可 得 ， 四 边 形 ABCD 是 上 底 为 1， 下 底 为 2， 底 角 为 60的 等 腰 梯 形 ， 所 以
3 3 2 3 3
S 2 ， PD AD ．
梯形ABCD 4 4 4
1 3 3 3
对于 A，当 PD底面 ABCD 时，四棱锥 P ABCD 的体积最大，最大体积为 2 ，故 A 错
3 4 2
误；对于 B，在PBD 中， PD 2 ， BD 3 ， 60 PDB 120 ，用余弦定理可知 PB2 的取值
范围是 7 2 3,7 2 3 ，故 B 正确；
对于 C，当 PD平面 ABCD 时，四棱锥 P ABCD 的外接球的半径等于PAD 的外接圆的半径，此时外
PA 2
接球的半径最小，为 2 ，故外接球的表面积的最小值为 4 2 8 ，故 C 正确；
2
21 2 5 5
对于 D，设 PB 与平面 PAD 所成角为 ，当 PD平面 ABCD 时，计算可得 sin ，
14 14 7
5
当 P 靠近平面 ABCD 时， 趋向于 0，所以存在某个 P 点，使得 sin ，故 D 正确．
7
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．答案 25
命题意图 本题考查圆的方程与性质．
解析 因为圆 C 的一条直径的两个端点分别在 x，y 轴上，所以该圆一定过原点 O．又圆 C 经过点
M 8,6 ，所以当 OM 为圆 C 的直径时，圆 C 的面积最小，又 OM 82 62 10 ．所以圆 C 的面积
2
10
最小值为 25 ．
2
109
13．答案
216
命题意图 本题考查概率的乘法公式．
2 2
1 2 2 3 1
解析 若乙射进 1 次，则他赢的概率为 C3 1 1 ；若乙射进 2 次，则他赢的概
3 3 4 72
2 2 3
2 2 2 3 7 2 8
率为 C3 1 1 ；若乙射进 3 次，则他赢的概率为 ．故乙赢的概
3 3 4 36 3 27
1 7 8 109
率为 ．
72 36 27 216
5
14．答案
4
命题意图 本题考查椭圆与直线的位置关系．
解析 因为AF1F2 的面积是BF1F2 的面积的 3 倍，所以 yA 3yB ．设 C 的半焦距为 cc 0 ，则
x 2y c
直线 ： ，联立方程可得 消去 得 2 2 2 2 4 ，则
l x 2y c 2 2 2 2 2 2 x 4b a y 4b cy b 0
b x a y a b
2
4b2c b4 y y y y
， ， 又 A B A B ， 即
yA yB 2 2 yA yB 2 2 2
a 4b a 4b yA yB yB yA
2
4b2c
2 2
a 4b 1 4 4c2 1 4c2 4e2 1 5
2 3 ，化简可得 ，得 ，解得 e ．
b4 3 3 a2 4b2 3 5a2 4c2 5 4e2 3 4
a2 4b2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．命题意图 本题考查独立性检验的应用以及超几何分布．
2
2 40016080 120 40 400
解析 （）由题可知 19.048 ，
200 200 280120 21
因为19.048 6.635 ，所以有 99%的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异．
120 80
（）座谈的家长中更喜欢正装的人数为 5 3 ，更喜欢运动装的人数为 5 2 ．
200 200
由题意可得 X 的所有可能取值为 0，1，2，
2 1 1 2
C2 1 C2C3 3 C3 3
则 P X 0 2 ， P X 1 2 ， P X 2 2 ，
C5 10 C5 5 C5 10
故 X 的分布列为
X 0 1 2
1 3 3
P
10 5 10
1 3 3 6
所以 X 的数学期望 E X 0 1 2 ．
10 5 10 5
16．命题意图 本题考查空间位置关系的推理与证明、二面角的计算．
解析 （）因为 A 是以 BC 为直径的圆 O 上异于 B，C 的点，所以 AB AC ，
因为 PA平面 ABC，所以 PA AB ．
又 AC PA A ，所以 AB平面 PAC，
PD PE
因为 ，所以 DE AB ，所以 DE平面 PAC，
PA PB
因为 CD 平面 PAC，所以 DE CD ．
（）分别以 AC，AB，AP 所在的直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设 PA AB 2 ， AC 1 ， 则 点 B0,2,0 ， C 1,0,0 ， P0,0,2 ， D0,0,21 ，
E 0,2,21 ， 则 BC 1,2,0 ， CP (1,0,2) ， CD 1,0,21 ，
CE 1,2,21
设平面 CDE 的法向量为 n x,y,z ，
n CD x 21 z 0
则 取 n 21 ,0,1 ．
n CE x 2 y 21 z 0
设平面 BCE 的法向量为 m p,q,r ，
m BC p 2q 0
则 取 m 2,1,1 ．
mCP p 2r 0
1
因为二面角 B CE D 的正弦值为 ，
2
nm 41 1 3
所以 cos n,m ，
n m 41 2 12 6 2
1 5
解得 或 （舍去）．
2 2
17．命题意图 本题考查双曲线的性质，双曲线与直线的位置关系．
2
解析 （）由题可知 a 1 3 2 ，
b 3
， b 2 3 ，
a 1
x2 y2
故 C 的方程为 1．
4 12
（）不能成立．
显 然 直 线 l1 ， l2 的 斜 率 均 存 在 ， 设 直 线 l1 的 方 程 为 y k(x 1) 3 ， 直 线 l2 的 方 程 为
1
y (x 1) 3 ， B x , y ， D x , y ．（6 分）
k 1 1 2 2
y k x 1 3
联立 与 的方程可得 得 2 2 2 ，
l1 C 2 2 (3 k )x 2k(k 3)x k 2 3k 15 0
3x y 12
因为 l1 与 C 的左、右支分别相交，所以 3 k 3 ，
1 3 3
同理 3 3 ，解得 3 k 或 k 3 ．（*）
k 3 3
2k
因为 x x ，
1 2 3 k
2
2 2 2 3 1 k
所以 AB AD (x1 1) (1 x2 ) 1 k x1 x2 2 1 k ，
3 k
2
2 3 1 2 3 1 k 2
同理可得 AE AF 1 ．
1 k
3 3k 1
k
若 AB AF AD AE ，则 AB AD AE AF ，