数学（理科）试题
注意事项：
1.本试卷共 4 页，全卷满分 150 分，答题时间 120 分钟
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在
本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 A 1,2,m, B xx2 2x 3 0 ，若 A B B ，则实数 m 的值可能是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.设复数 z 满足 z i 1 4i ，则 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
y2
3.已知双曲线 C : x2 1m 0 的一条渐近线方程为 y 2x ，则 C 的焦点坐标为（ ）
m
A. 3,0 B. 0, 3 C. 1,0 D. 0,1
4.已知甲种杂交水稲近五年的产量数据为 9.8,10.0,10.0,10.0,10.2 ，乙种杂交水稻的产量数据为
9.6,9.7,10.0,10.2,10.5 ，则下列说法错误的是（ ）
A.甲种的样本极差小于乙种的样本极差
B.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数
C.甲种的样本中位数等于乙种的样本中位数
D.甲种的样本方差大于乙种的样本方差
3a 1 x 2a, x 1,
5.若函数 y 在 R 上单调递减，则实数 a 的取值范围是（ ）
loga x, x…1
1 1 1 1 1
A. 0, B. 0, C. , D. ,1
3 5 5 3 5
3
6.已知 cos cos ，则 sin 2 （ ）
3 2 6
1 1 3 3
A. B. C. D.
2 2 4 4
a a a 1
7.已知 a,b 为正实数，则“ 1”是“ ”的（ ）
b b b 1
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知函数 f x sin2x cos2x ，则下列说法中不正确的是（ ）
A. f x 的最小正周期为
B. f x 的最大值为 2
C. f x 在区间 , 上单调递增
4 4
D. f x f x
8 8
9.已知函数 f x 是定义域为 R 的偶函数，且 f x 1 为奇函数，若 f 0 f 3 3 ，则（ ）
A. f x 1 f x 1 B. f 2025 3
C.函数 f x 的周期为 2 D. f 2024 3
10.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F,G 分别为 BC,CD, DD1 的中点，若 AB 4 ，则平面 EFG 截正
方体所得截面的面积为（ ）
A. 6 2 B. 6 3 C.12 2 D.12 3
11.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重
量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种
简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边
形 ABCD 是边长为 2 的正方形，且ADE,BCF 均为正三角形， EF CD, EF 4 ，则该木楔子的外
接球的体积为（ ）
32 64
A.16 B. 32 C. D.
3 3
x2 y2
12.已知 F1F2 为椭圆 C : 1(a b 0) 的左右焦点，点 P 在 C 上且位于第一象限，圆 O1 与线段
a2 b2
x
F1P 的延长线线段 PF2 以及 轴均相切，PF1F2 的内切圆的圆心为 O2 .若圆 O1 与圆 O2 外切，且圆 O1 与
圆 O2 的面积之比为 9，则椭圆 C 的离心率为（ ）
1 3 2 3
A. B. C. D.
2 5 2 2
二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.有 5 名学生准备去照金香山，药王山，福地湖，玉华宫这 4 个景点游玩，每名学生必须去一个景点，每
个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有__________种.
14.已知点 O 为ABC 外接圆的圆心，且 OA OB CO 0 ，则 cos AC, BC __________.
15.已知ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别是 a,b,c ，点 D 是 AB 的中点.若 2a b 2ccosB ，且
3
AC 1,CD ，则 AB __________.
2
lnx
16.若函数 f x ax2 有两个极值点，则实数 a 的取值范围为__________.
x
三解答题：共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答.第 2223 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.（本小题满分 12 分）
已知数列 a 满足： n1 n *
n a1 4a2 4 an n4 ,n N .
（1）求数列an 的通项公式；
1 1 1 1
（2）若 ，求正整数 m 的最大值.
a1a2 a2a3 amam1 13
18.（本小题满分 12 分）
学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲乙作为代表进行决赛.
决赛共设三个项目，每个项目胜者得 10 分，负者得-5 分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获
得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为 0.4,0.6,0.6 ，各项目的比赛结果相互独立.甲乙获得冠
军的概率分别记为 p1, p2 .
2 p2 p2
（1）判断甲乙获得冠军的实力是否有明显差别（若 p p … 1 2 0.1 ，则认为甲乙获得冠军
1 2 5
的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；
（2）用 X 表示教师甲的总得分，求 X 的分布列和数学期望.
19.（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P ABCD 的底面是正方形， PD 平面 ABCD ，点 E 是 PA 的中点， F 是线段 PB 上
（包括端点）的动点， PD AD 2 .
（1）求证： PC 平面 EBD ；
PF
（2）若直线 EF 与平面 PBC 的夹角为 60 ，求 的值.
BF
20.（本小题满分 12 分）
2
过抛物线 C : y 2 px( p 0) 焦点 F 的直线 l 交 C 于 M , N 两点，若直线 l 垂直于 x 轴，则OMN 的面积
为 2，其中 O 为原点.
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）抛物线 C 的准线上是否存在点 P ，使得当 PM PN 时，OMN 的面积为 2 2 .若存在，求出点 P
的坐标；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分 12 分）
lnx 1 3
已知函数 f x ax .
x x e
（1）当 a 1时，求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
（2）若函数 f x 存在零点，求实数 a 的取值范围.
（二）选考题：共 10 分.考生从 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分.
22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
x 5cos 4,
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），以原点 O 为极点， x 轴
y 5sin 3
正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 C 的极坐标方程；
（2）设 M , N 是曲线 C 上的两点，且 OM ON ，求OMN 面积的最大值.
23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f x x 1 2 x 2 .
（1）求不等式 f x 9 的解集；
1 2 3
（2）记函数 f x 的最小值为 M ，若正数 a,b,c 满足 M 5 ，证明： 3a 2b c… 2 3 .
a b c
铜川市 2024 年高三年级第三次模拟考试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.A 【解析】依题意 B {x1 x 3}，由 A B B ，可得 m B ，当 m 0 时，符合题意，应选 A
项；当 m 1或 2 时，不符合集合中元素的互异性，从而排除 B,C 项；当 m 3 时， m B ，从而排除 D
项.
4i 4i1 i
2.D 【解析】复数 z 2 2i,复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限.故选
i 1 1 i1 i
D 项.
y2
3.A 【解析】易知 m 0 ，令 x2 0 ，解得 y mx ，故 m 2 ，即 m 2 ，从而
m
c 1 2 3 ，从而 C 的焦点坐标为 3,0 .故选 A 项.
4.D 【解析】10.2-9.8=0.4，10.5-9.6=0.9>0.4，故 A 正确；
1 1
x甲 9.8 10.0 10.0 10.0 10.2 10.0 ， x乙 (9.6 9.7 10.0 10.2 10.5) 10.0 x甲 ，
5 5
故 B 正确；甲种的样本中位数为 10.0，乙种的样本中位数为 10.0，故 C 正确.
(9.8 10)2 (10.2 10)2
s2 ，
甲 5
(9.6 10)2 (9.7 10)2 (10.2 10)2 (10.5 10)2
s2 ，
乙 5
显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故 D 错误.
3a 1 x 2a, x 1,
5.C 【解析】函数 y 在 R 上单调递减，
loga x, x…1
3a 1 0,
1 1
0 a 1, 解得 a .故选 C 项.
5 3
3a 1 2a… loga1,
3 1 3
6.A 【解析】cos cos sin cos sin ，
3 2 2 6 2
2 1
sin 2 sin 2 cos 2 1 2sin .故选 A.
6 6 2 6 6 2
a a a 1
7.C 【解析】若 1，根据糖水不等式可得 ，充分性得证；
b b b 1
a a 1 a
若 ，则 ab a ba b ，即 a b ，故 1，必要性得证.
b b 1 b
8.C 【解析】依题意 f x 2sin 2x ，则函数 f x 的最大值为 2 ，最小值正周期为 ，从而
4
可排除 A,B 选项.
, f 1, f 2 ，即 f f ，故 f x 在区间 , 上不可能
4 8 4 8 4 8 4 4
单调递增，应选 C 项.
f x 2sin 2 x 2sin 2x 2cos2x 为偶函数，从而
8 8 4 2
f x f x ，从而可排除 D 选项.
8 8
9.D 【解析】 f x 1 为奇函数， f x 1 f x 1 ，
又 f x 为偶函数， f x 1 f x 1, f x 1 f x 1 ，故 A 项错误.
即 f x f x 2, f x 4 f x 2 f x,函数 f x 的周期为 4，即 C 项错误.
由 f x 1 f x 1 ，令 x 0 ，得
f 1 0, f 3 f 1 f 1 0, f 2025 f 1 506 4 f 1 0 ，即 B 项错误.
又 f 0 f 3 3, f 0 3, f 2024 f 0 506 4 f 0 3，故选 D 项.
10.D 【解析】如图，过点 G 作 EF 的平行线交 BB1 于点 J ，过点 J 作 FG 的平行线交 A1B1 于点 I ，
过点 I 作 EF 的平行线交 A1D1 于点 H ，易知点 J, I, H 都在截面 EFG 内，且都是其所在棱的中点，从而
1
所得截面是边长为 2 2 的正六边形，所求面积 S 6 2 2 2 2 sin60 12 3 .故选 D.
2
11.C 【解析】如图，分别过点 A, B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G, H ，连接 DG,CH ，则
4 2
EG 1，故 AG AE 2 EG2 22 12 3 .
2
取 AD 的中点 O ，连接 GO ，
2
2 AD
又 AG GD,GO AD ，则 GO AG 2 .
2
由对称性易知，过正方形 ABCD 的中心 O1 且垂直于平面 ABCD 的直线必过线段 EF 的中点 O2 ，且所求
外接球的球心 O 在这条直线上，如图.
2 2 2 2 2 2
设球 O 的半径为 R ，则 R OO1 AO1 ，且 R OO2 EO2 ，
2 2
从而 OO1 OO2 2 ，即 OO1 OO2 OO1 OO2 2 ，
当点 O 在线段 O1O2 内（包括端点）时，有 OO1 OO2 GO 2 ，可得 OO1 OO2 2 ，
从而 OO1 2 ，即球心 O 在线段 EF 的中点，其半径 R 2 .
2
当点 O 在线段 O O 外时， 2 ，解得 OO 0 （舍）.
1 2 O1O2 2, 2 OO2 OO2 2 2
4R3 32
故所求外接球的体积V .故选 C 项.
3 3
12.A 【解析】由已知及平面几何知识可得圆心 O1O2 在 PF1F2 的角平分线上.
如图，设圆 O1O2 与 x 轴的切点分别为 A, B ，由平面几何知识可得，直线 PF2 为两圆的公切线，公切点 D
也在 PF1F2 的角平分线上，则 PF1 F1F2 2c ，
由椭圆的定义知 PF1 PF2 2a ，则 PF2 2a 2c ，
1
F D PF a c, F A F B F D a c ，
2 2 2 2 2 2
F1 A F1F2 F2 A 2c a c a c ，
F1B F1F2 F2 B 2c a c 3c a .
又圆 O1 与圆 O2 的面积之比为 9,圆 O1 与圆 O2 的半径之比为 3，
F1B O2 B 3c a 1 1
O A,
O2 B 1 ，即 ，故椭圆 C 的离心率 e .
F1 A O1 A a c 3 2
二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
2
13.240 【解析】先从 5 名学生中选 2 人组成一组，有 C5 10 种方法，
4
然后将 4 组学生分配到 4 个景点，有 A4 24 种方法，
由分步计数原理知共有10 24 240 种不同的游玩方式.
1
14. 【解析】由 OA OB CO 0 ，得 OA OB OC ，由 O 为 ABC 外接圆的圆心，得
2
OA OB OC ，如图，结合向量加法的几何意义知，四边形 OACB 为菱形，且 CAO 60 ，故
1
ACB 120 .故 cos AC, BC .
2
15. 7 【解析】2a b 2ccosB,2sinA sinB 2sinCcosB ，
又sinA sin B C sinBcosC cosBsinC ，
1
2sinBcosC sinB 0,cosC .
2
1
CD 为 ABC 的一条中线，CD CA CB ，
2
2 1 2 2 3 1 2 1
CD CA CB 2CACB ，即 1 a 21 a ，解得 a 2 ，或 a 1
4 4 4 2
（舍）.
2 2 2 2 1
由余弦定理得 AB c a b 2abcosC 2 1 21 2 7 .
2
1 1 lnx
16. 0, 4 【解析】 f x 2ax ，
6e x2
lnx 1
令 f x 0 ，得 a .
2x3
lnx 1 4 3lnx
令 g x ，则 g x .
2x3 2x4
4
令 g x 0 ，则 3lnx 4 ，即 lnx ，即 x3 e4 .
0 0 0 3 0
当 0 x x0 时， g x 0, g x 单调递增；当 x x0 时， g x 0, g x 单调递减.
4
1
lnx0 1 3 1 ，
g(x)max g x0 3 4 4
2x0 2e 6e
又当 x 0 时， g x ；当 x 时， g x 0 ，
1 lnx 1
当 0 a 时，方程 a 有两个正根，从而函数 f x 有两个极值点.
6e4 2x3
三解答题：共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第 11~21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
1
17.解：（1）当 n 1时， a1 4 4 ，
当 时， n1 n ，
n… 2 a1 4a2 4 an n4
n2 n1
a1 4a2 4 an1 n 14 ，
n1 n n1 n1
两式相减，得 4 an n4 n 14 4 3n 1 ，
an 3n 1，
显然 a1 4 也符合上式，
数列an 的通项公式为 an 3n 1.