长郡中学2025届高三第一次调研考试数 学本试题卷共4页。时量120分钟，满分150分。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1. 已知集合A={xlx-x=0},B={x|x-x-2<0}, 则 ANB=A.{0,1) B.{-1,0}C.{0,1,2} D.{-1,0,1}2 . 已 知m,n 是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则m// 的一个充分条件是A.m//n,n//a B.m//,a//C.m n,na,m&a D.mNn=A,n//,m&a的展开式中的常数项是A. 第673项 B. 第 6 7 4 项 C. 第 6 7 5 项 D. 第676项4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两 个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25 cm, 公共底 面的半径为15 cm,铜鼓总高度为30 cm.已知青铜的密度约为8 g/cm, 现有青铜材料1000 kg,则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为(注： 3.14)A.1 B.2 C.3 D.45. 已知定义在(0,+oo)上的函数f(x)满足fx)2C.f(3)<3 D.f(3)>36. 已知过抛物线C:y=2px(p>0) 的焦点F 且倾斜角为 的直线交C 于 A,B 两 点 ，M 是 AB的中点，点P 是C 上一点，若点M 的纵坐标为1,直线l:3x+2y+3=0, 则 P 到C 的准线的距离与P 到1的距离之和的最小值为C. D.心日数学试题 (第1页，共4页)对于任意的xR,都恒成立，且函数f(x) 在上单调递增，则的值为A.3 B.9 C.3 或9 D.38.如图，已知长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=BC=2,AA'=2,O 为正方形ABCD 的中心点，将长方体ABCD-A'B'D '绕直线OD '进行旋转.若平 面满足直线OD与所成的角为53,直线l,则旋转的过 程中，直线AB与1夹角的正弦值的最小值为(参考数据：心?日 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立A,B 两个小组在原产品的 基础上进行不同方向的研发，A 组偏向于智能自动化方向，B 组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试(满分：100分),测得A 组性能得分为：91,81,82,96,89,73,B 组性能得分为：73,70,96,79,94,88, 则A.A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高 B.A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数小 C.A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差大D.B 组性能得分的第75百分位数比A 组性能得分的平均数大10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或 根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀 具进行斜劈，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中AC,BD 分别为两个截面椭圆的长轴，且A,C,B,D 都位于圆柱的同一个轴截面上，AD 是圆柱截面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为e,e, 则能够保证|CD|2AB| 的 ej,e 的值可以是A.日 C.D.;重:中11.对于任意实数x,y, 定义运算“田”x田y=|x-y|+x+y, 则满足条件ab=b 田c的实 数a,b,c 的值可能为A.a=—log o.50.3,b=0.403,c=log o.50.4数学试题 ( 第 2 页 ， 共 4 页 )B.a=0.40.3,b=logo50.4,c=—log o.50.3;c.a=0.9,D. ; ,c=0.09三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数z 对应的点为(1,1),则13.写出一个同时满足下列条件的数列{an}的通项公式an= a-a, 是 常数，m,nN* 且mn;a=2as;{an} 的前n 项和存在最小值.m-n14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”(以比利时数学家欧仁 查理 卡特兰的名字命名).有如下问题：在n n 的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或 往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右 下方(不能穿过，但可以到达该连线),则共有多少种不同的 走法?此问题的结果即卡特兰数C2n-Cn-2n.如图，现有34的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角A 走到右 A上角B 共有 种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能 在直线AC的右下方，但可以到达直线AC, 则有 _种不同的走法.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分13分)已知M为圆x+y=9 上一个动点，MN垂直x轴，垂足为N,O 为坐标原点，OMN的重心为G.(1)求点G 的轨迹方程；(2)记第(1)问中的轨迹为曲线C, 直 线l与曲线C 相交于A、B 两点，点Q(0,1), 若点H(J3,0)恰好是ABQ的垂心，求直线I的方程.16. (本小题满分15分)如图，四边形ABCD为圆台OO的轴截面，AC=2BD, 圆台的母线与底面所成的角 为45,母线长为 2,E 是BD的中点.(1)已知圆O 内存在点G, 使得DE 平面BEG, 作出点G 的轨迹(写出解题过程);(2)点K 是圆O 上的一点(不同于A,C),2CK=AC, 求平面ABK与平面CDK 所 成角的正弦值.数学试题 ( 第 3 页 ， 共 4 页 )17. (本小题满分15分)素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶 学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义.为推 进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一 个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结 束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的.(1)声乐班的学生全部进行测试.若声乐班每名学生通过测试的概率都为p(0