第十节 圆锥曲线中的定值问题（原卷版）

第十节圆锥曲线中的定值问题题型归类题型一长度或距离为定值例1(2023郑州模拟)已知点F(0，1)，直线l：y4，P为曲线C上的任意一点，且|PF|是P到l的距离的eq\f(1,2).(1)求曲线C的方程；(2)若经过点F且斜率为k(k0)的直线交曲线C于点M，N，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：eq\f(|FH|,|MN|)为定值．(1)解设P(x，y)，由已知得eq\r(x2（y1）2)eq\f(1,2)|y4|，整理得eq\f(x2,3)eq\f(y2,4)1，此即为曲线C的方程．(2)证明经过点F且斜率为k(k0)的直线的方程为ykx1，与曲线C方程联立，消去y整理得(43k2)x26kx90，36k249(43k2)144(1k2)0恒成立，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则|MN|eq\r(1k2)|x1x2|eq\r(1k2)eq\f(\r(),43k2)eq\f(12（1k2）,43k2)，x1x2eq\f(6k,43k2)，设线段MN的中点为T(x0，y0)，则x0eq\f(x1x2,2)eq\f(3k,43k2)，y0kx01eq\f(4,43k2)，线段MN的中垂线的斜率为eq\f(1,k)，其方程为yeq\f(4,43k2)eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(3k,43k2)))，令x0，解得yeq\f(1,43k2)，即为点H的纵坐标，|FH|1eq\f(1,43k2)eq\f(3（1k2）,43k2)，eq\f(|FH|,|MN|)eq\f(\f(3（1k2）,43k2),\f(12（1k2）,43k2))eq\f(1,4)(为定值)．感悟提升探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值．训练1已知抛物线C：y22px(p0)，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点．(1)若p2，M的坐标为(1，1)，求直线l的方程．(2)若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，求证：eq\f(2|MN|2,|FN|)为定值．(1)解由题意知直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的方程为x1t(y1)即xty1t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xty1t，,y24x，))得y24ty44t0，16t21616t16(t2t1)0，y1y24t，4t2，即teq\f(1,2).直线l的方程为2xy10.(2)证明抛物线C：y22px(p0)，焦点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)).由题意知直线l的斜率存在且不为0，直线l过焦点F，故设直线l的方程为xtyeq\f(p,2)(t0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xty\f(p,2)，,y22px，))得y22ptyp20，y1y22pt，4p2t24p20.x1x2t(y1y2)p2pt2p，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(pt2\f(p,2)，pt)).MN的方程为yptteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xpt2\f(p,2))).令y0，解得xpt2eq\f(3p,2)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(pt2\f(3p,2)，0))，|MN|2p2p2t2，|FN|pt2eq\f(3p,2)eq\f(p,2)pt2p，eq\f(2|MN|2,|FN|)eq\f(2（p2p2t2）,pt2p)2p，为定值．题型二斜率或代数式为定值例2如图，椭圆E：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a>b>0)经过点A(0，1)且离心率为eq\f(\r(2),2).(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．(1)解由题设知eq\f(c,a)eq\f(\r(2),2)，b1，结合a2b2c2，解得aeq\r(2)，所以椭圆E的方程为eq\f(x2,2)y21.(2)证明由题设知直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入eq\f(x2,2)y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2eq\f(4k（k1）,12k2)，x1x2eq\f(2k（k2）,12k2)，从而直线AP，AQ的斜率之和为kAPkAQeq\f(y11,x1)eq\f(y21,x2)eq\f(kx12k,x1)eq\f(kx22k,x2)2k(2k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)\f(1,x2)))2k(2k)eq\f(x1x2,x1x2)2k(2k)eq\f(4k（k1）,2k（k2）)2k2(k1)2(即为定值)．感悟提升在证明一条直线斜率或两条直线斜率和，差或者积与商为定值的问题中，我们需要先将斜率表示出来，然后利用相关量之间的关系式化简即可．训练2(2023武汉模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若|F1F2|2，ABF2的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)eq\o(MA,\s\up6())eq\o(F1A,\s\up6())，eq\o(MB,\s\up6())eq\o(F1B,\s\up6())，试分析是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由．解(1)因为ABF2的周长为8，所以4a8，解得a2，由|F1F2|2，得2eq\r(a2b2)2eq\r(4b2)2，所以b23，因此椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)eq\f(y2,3)1.(2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(yk（x1），,\f(x2,4)\f(y2,3)1，))整理得(34k2)x28k2x4k2120，显然0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1x2\f(8k2,34k2)，,x1x2\f(4k212,34k2).))设M(0，k)，又F1(1，0)，所以eq\o(MA,\s\up6())(x1，y1k)，eq\o(F1A,\s\up6())(x11，y1)，则eq\f(x1,x11).同理可得eq\o(MB,\s\up6())(x2，y2k)，eq\o(F1B,\s\up6())(x21，y2)，则eq\f(x2,x21).所以eq\f(x1,x11)eq\f(x2,x21)eq\f(x1（x21）x2（x11）,（x11）（x21）)eq\f(2x1x2x1x2,x1x2x1x21)eq\f(2\f(4k212,34k2)\f(8k2,34k2),\f(4k212,34k2)\f(8k2,34k2)1)eq\f(8k2248k2,4k2128k234k2)eq\f(24,9)eq\f(8,3)，所以为定值eq\f(8,3).题型三几何图形的面积为定值例3在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,4)y21，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上的两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,2)，y1))，neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)，y2))，mn0.(1)求证：k1k2eq\f(1,4)；(2)试探求OPQ的面积S是不是定值，并说明理由．(1)证明k1，k2存在，x1x20，mn0，eq\f(x1x2,4)y1y20，k1k2eq\f(y1y2,x1x2)eq\f(1,4).(2)解是．理由：当直线PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2时，由eq\f(y1y2,x1x2)eq\f(1,4)，得eq\f(xeq\o\al(2,1),4)yeq\o\al(2,1)0，由P(x1，y1)在椭圆C上，得eq\f(xeq\o\al(2,1),4)yeq\o\al(2,1)1，|x1|eq\r(2)，|y1|eq\f(\r(2),2)，SOPQeq\f(1,2)|x1||y1y2|1.当直线PQ的斜率存在时，易知直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为ykxb(k0)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ykxb，,\f(x2,4)y21，))得(4k21)x28kbx4b240，x1x2eq\f(8kb,4k21)，x1x2eq\f(4b24,4k21).eq\f(x1x2,4)y1y20，eq\f(x1x2,4)(kx1b)(kx2b)0，得2b24k21，满足64k2b24(4k21)(4b24)16(4k21b2)0，SOPQeq\f(1,2)eq\f(|b|,\r(1k2))|PQ|eq\f(1,2)|b|eq\r(（x1x2）24x1x2)2|b|eq\f(\r(4k21b2),4k21)1.OPQ的面积S为定值．感悟提升探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可．训练3(2023重庆诊断节选)已知椭圆E：eq\f(x2,9)y21.若直线l交椭圆E于M，N两点，直线OM的斜率为k1，直线ON的斜率为k2，且k1k2eq\f(1,9)，证明：OMN的面积是定值，并求此定值．证明当直线l的斜率不存在时，设直线l：xt(30，x1x2eq\f(18km,9k21)，x1x2eq\f(9m29,9k21)，k1k2eq\f(y1,x1)eq\f(y2,x2)eq\f(（kx1m）（kx2m）,x1x2)eq\f(9k2m2,9m29)eq\f(1,9)，化简得9k212m2，满足>0.|MN|eq\r(1k2)|x1x2|eq\r(1k2)eq\r(（x1x2）24x1x2)eq\r(1k2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18km,9k21)))\s\up12(2)4\f(9m29,9k21))eq\f(6\r(1k2)\r(9k2m21),9k21).又原点O到直线l的距离deq\f(|m|,\r(1k2))，所以SOMNeq\f(1,2)|MN|deq\f(3\r(1k2)\r(9k2m21),9k21)eq\f(|m|,\r(1k2))eq\f(3|m|\r(2m2m2),2m2)eq\f(3,2).综上可知，OMN的面积为定值eq\f(3,2).题型四圆锥曲线中的伴侣点问题在圆锥曲线的很多性质中，常常出现一对活跃的点A(m，0)和Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,m)，0))，这一对点总是同时出现在圆锥曲线的对称轴上，形影不离，相伴而行，我们把这一对特殊点形象地称作圆锥曲线的“伴侣点”．已知M(m，0)，N(n，0)(mna2)是双曲线eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a0，b0)的一对“伴侣点”，过点M作与坐标轴不平行的直线与双曲线相交于A，B两点，则直线AN和BN与x轴成等角．可得到圆锥曲线的一个统一和谐性质如下：已知M，N是圆锥曲线的一对“伴侣点”，过点M作与坐标轴不平行的直线与曲线相交于A，B两点，则直线AN和BN与x轴成等角．例已知点M(m，0)，N(m，0)(m0)是抛物线y22px(p0)的一对“伴侣点”，过点M作与x轴不平行的直线交抛物线于A，B两点，证明：直线AN和BN与x轴成等角．证明因直线AB过点M(m，0)，故可设直线AB的方程为xmny，将其代入抛物线方程得，y22pny2pm0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pn，y1y22pm，又点A，B在直线AB上，所以x1mny1，x2mny2，所以kANkBNeq\f(y1,x1m)eq\f(y2,x2m)eq\f(y1x2y2x1m（y1y2）,（x1m）（x2m）)，又y1x2y2x1m(y1y2)y1(mny2)y2(mny1)m(y1y2)2ny1y22m(y1y2)2n(2pm)2m2pn0，所以kANkBN0，即直线AN和BN关于x轴对称，所以直线AN和BN与x轴成等角．训练设椭圆C：eq\f(x2,2)y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB.(1)解由已知得F(1，0)，l的方程为x1.把x1代入椭圆方程eq\f(x2,2)y21，可得点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2))).又M(2，0)，所以AM的方程为yeq\f(\r(2),2)xeq\r(2)或yeq\f(\r(2),2)xeq\r(2).(2)证明当l与x轴重合时，OMAOMB0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1<eq\r(2)，x2<eq\r(2)，直线MA，MB的斜率之和为kMAkMBeq\f(y1,x12)eq\f(y2,x22).由y1kx1k，y2kx2k得kMAkMBeq\f(2kx1x23k（x1x2）4k,（x12）（x22）).将yk(x1)代入eq\f(x2,2)y21得(2k21)x24k2x2k220.所以x1x2eq\f(4k2,2k21)，x1x2eq\f(2k22,2k21).则2kx1x23k(x1x2)4keq\f(4k34k12k38k34k,2k21)0.从而kMAkMB0，故MA，MB的倾斜角互补，所以OMAOMB.综上，OMAOMB.课时作业一、多选题1．在棱长为2的正方体中，为正方形的中心，为线段上的一点，则下列说法正确的是（）A．存在点，使得B．三棱锥的体积为定值C．的面积的最小值为D．线段上存在点，使得，且2．已知点A，B在圆O：上，点P在直线l：上，则（）A．直线l与圆O相离B．当时，的最大值是C．当PA，PB为圆O的两条切线时，为定值D．当PA，PB为圆O的两条切线时，直线AB过定点二、解答题3．已知椭圆C：的离心率，且经过点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)如果斜率为的直线EF与椭圆交于两个不同的点E、F，试判断直线AE、AF的斜率之和是否为定值，若是请求出此定值；若不是，请说明理由.(3)试求三角形面积S取得最大值时，直线EF的方程.4．已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点.(1)设，求证：是定值；(2)求的取值范围.5．已知是双曲线的左焦点，点在双曲线上且双曲线的离心率为2.(1)求双曲线的标准方程；(2)若是双曲线在第二象限内的动点，，记的内角平分线所在直线斜率为，直线斜率为,求证：是定值.6．如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，且椭圆的离心率为.直线与椭圆相交于两点，线段的中垂线交椭圆于两点.(1)求的标准方程；(2)求线段长的最大值；(3)证明：为定值，并求此定值.7．已知椭圆的左、右焦点分别为、，斜率不为0的直线过点，与椭圆交于两点，当直线垂直于轴时，，椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，在双曲线上，且轴，．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值．9．已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，且右焦点为.(1)求椭圆的方程；(2)设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点（不与重合），直线分别与直线相交于点，N.当点运动时，求证：以为直径的圆截轴所得的弦长为定值.10．已知在平面内，点，点P为动点，满足直线与直线的斜率之积为1．(1)求点P的轨迹方程，并说明表示什么曲线；(2)若直线l为上述曲线的任意一条切线，证明：点分别到直线l的距离之积为定值，并求出该定值.11．已知椭圆的右顶点，离心率．(1)求曲线C的方程；(2)设斜率为k的直线l交x轴于T，交曲线C于A，B两点，是否存在k使得为定值，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．12．已知双曲线的渐近线方程为，过其右焦点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，且．(1)求C的方程．(2)设为C上的动点，直线与直线交于点M，与直线（与直线不重合）交于点N．是否存在t，使得为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．13．在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线上两点（异于点O），过点P且与C相切的直线l交x轴于点M，且直线与l的斜率乘积为．(1)求证：直线过定点，并求此定点D的坐标；(2)过M作l的垂线交椭圆于A，B两点，过D作l的平行线交直线于H，记的面积为S，的面积为T．当取最大值时，求点P的纵坐标；证明：存在定点G，使为定值．14．已知椭圆，是椭圆上的两个不同的点，为坐标原点，三点不共线，记的面积为.(1)若，求证：；(2)记直线的斜率为，当时，试探究是否为定值并说明理由.