绝密 本科目考试启用前
本试卷共 12 页，150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
1. 已知集合 M {x | 4 x 1}， N {x | 1 x 3} ，则 M N （ ）
A. x 4 x 3 B. x 1 x 1
C. 0,1,2 D. x 1 x 4
z
2. 已知 i 1，则 z （ ）．
i
A. 1 i B. i C. 1 i D. 1
3. 求圆 x2 y2 2x 6y 0 的圆心到 x y 2 0 的距离（ ）
A. 2 3 B. 2 C. 3 2 D. 6
4
4. x x 的二项展开式中 x3 的系数为（ ）
A. 15 B. 6 C. 4 D. 13
5. 已知向量 a ， b ，则“ a b a b 0 ”是“ a b 或 a b ”的（ ）条件．
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知 f x sinx 0 ， f x 1， f x 1，| x x | ，则 （ ）
1 2 1 2 min 2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
S 1
7. 记水的质量为 d ，并且 d 越大，水质量越好．若 S 不变，且 d 2.1，d 2.2 ，则 n 与 n 的关
ln n 1 2 1 2
系为（ ）
A. n1 n2
B n n
. 1 2
若 ，则 ；若 ，则 ；
C. S 1 n1 n2 S 1 n1 n2
若 ，则 ；若 ，则 ；
D. S 1 n1 n2 S 1 n1 n2
8. 已知以边长为 4 的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为 4，4，2 2 ，2 2 ，则该四棱锥的高为（ ）
2 3
A. B. C. 2 3 D. 3
2 2
x
9. 已知 x1, y1 ， x2 , y2 是函数 y 2 图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）
y y x x y y x x
A. log 1 2 1 2 B. log 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
y y y y
C. log 1 2 x x D. log 1 2 x x
2 2 1 2 2 2 1 2
2
10. 若集合 x, y | y x t(x x),0 t 1,1 x 2 表示的图形中，两点间最大距离为 d、面积为 S，
则（ ）
A. d 3 ， S 1 B. d 3 ， S 1
C. d 10 ， S 1 D. d 10 ， S 1
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11. 已知抛物线 y2 16x ，则焦点坐标为________．
12. 已知 , ，且与的终边关于原点对称，则 cos 的最大值为________．
6 3
x2
13. 已知双曲线 y2 1 ，则过 3,0 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________．
4
14. 已知三个圆柱的体积为公比为 10 的等比数列．第一个圆柱的直径为 65mm，第二、三个圆柱的直径为
325mm，第三个圆柱的高为 230mm，求前两个圆柱的高度分别为________．
的
15. 已知 M k | ak bk ， an ， bn 不为常数列且各项均不相同，下列正确 是______.
an ， bn 均为等差数列，则 M 中最多一个元素；
an ， bn 均为等比数列，则 M 中最多三个元素；
an 为等差数列， bn 为等比数列，则 M 中最多三个元素；
an 单调递增， bn 单调递减，则 M 中最多一个元素.
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
3
16. 在ABC 中， a 7 ，A 为钝角， sin 2B b cos B ．
7
（1）求 A ；
（2）从条件、条件和条件这三个条件中选择一个作为已知，求ABC 的面积．
13 5
b 7 ； cos B ； csin A 3 ．
14 2
注：如果选择条件、条件和条件分别解答，按第一个解答计分．
17. 已知四棱锥 P-ABCD，AD//BC ，AB BC 1，AD 3 ，DE PE 2 ，E 是 AD 上一点，PE AD ．
（1）若 F 是 PE 中点，证明： BF// 平面 PCD ．
（2）若 AB 平面 PED ，求平面 PAB 与平面 PCD 夹角的余弦值．
18. 已知某险种的保费为 0.4 万元，前 3 次出险每次赔付 0.8 万元，第 4 次赔付 0.6 万元
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数 800 100 60 30 10
在总体中抽样 100 单，以频率估计概率：
（1）求随机抽取一单，赔偿不少于 2 次的概率；
（2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为 X ，估计 X 的数学期望；
（）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 4% ，已赔偿过的增加 20% ．估计保单下一保险期毛利润
的数学期望．
x2 y2
19. 已知椭圆方程 C： 1a b 0 ，焦点和短轴端点构成边长为 2的正方形，过 0,t t 2
a2 b2
的直线 l 与椭圆交于 A，B， C 0,1 ，连接 AC 交椭圆于 D．
（1）求椭圆方程和离心率；
（2）若直线 BD 的斜率为 0，求 t．
20. 已知 f x x kln1 x 在 t, f tt 0 处切线为 l．
（1）若切线 l 的斜率 k 1，求 f x 单调区间；
（2）证明：切线 l 不经过 0,0 ；
（3）已知 k 1， At, f t ， C 0, f t ， O0,0 ，其中 t 0 ，切线 l 与 y 轴交于点 B 时．当
2SACO 15SABO ，符合条件的 A 的个数为？
（参考数据：1.09 ln3 1.10 ，1.60 ln5 1.61，1.94 ln7 1.95 ）
21. 设集合 M i, j,s,t i 1,2, j 3,4,s 5,6,t 7,8,2 i j s t ．对于给定有穷数列
A:an1 n 8 ，及序列 :1,2 ,...,s ，k ik , jk , sk ,tk M ，定义变换T ：将数列 A 的第
i1, j1, s1,t1 项加 1，得到数列T1 A ；将数列T1 A 的第 i2 , j2 , s2 ,t2 列加1，得到数列T2T1 A …；重复上述操
作，得到数列Ts ...T2T1 A ，记为 A ．
（1）给定数列 A:1,3,2,4,6,3,1,9 和序列 : 1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7 ，写出 A ；
（2）是否存在序列 ，使得 A 为 a1 2,a2 6,a3 4,a4 2,a5 8,a6 2,a7 4,a8 4 ，若存在，写
出一个符合条件的 ；若不存在，请说明理由；
（3）若数列 A 的各项均为正整数，且 a1 a3 a5 a7 为偶数，证明：“存在序列 ，使得 A 为常数列”
的充要条件为“ a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 ”．