1.包含关系
ABAABBABCUBCUA
ACUBCUABR
．集合的子集个数共有n个；真子集有n个；非空子集有n个；非空的真子集有
2{a1,a2,,an}2212–1
2n–2个.
3.充要条件
若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件pq且qp
p是q的必要不充分条件pq且qp
p是q的充要条件pq
p是q的既不充分也不必要条件pq且qp
4.全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
命题名称语言表示符号表示命题的否定
对M中任意一个x，
全称命题xM，p(x)x0M，綈p(x0)
有p(x)成立
存在M中的一个x0，
特称命题x0M，p(x0)xM，綈p(x)
使p(x0)成立
5.函数的单调性
设那么
(1)x1x2a,b,x1x2
f(x)f(x)
12在上是增函数；
(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)a,b
x1x2
f(x)f(x)
12在上是减函数
(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)a,b.
x1x2
(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)
为减函数.
6.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果函数
yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.
7．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，
那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
8.若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则
f(xa)f(xa).
ab
9.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x;两个函
2
ab
数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线x对称.
2
a
10.若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;若f(x)f(xa),则函数
2
yf(x)为周期为2a的周期函数.
11.函数yf(x)的图象的对称性
(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).
ab
(2)函数yf(x)的图象关于直线x对称
2
f(amx)f(bmx)f(abmx)f(mx).
12.几个常见的函数方程
正比例函数指数函数x对数函数幂函数
(1)f(x)cx(2)f(x)a(3)f(x)logax(4)f(x)x,.
(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx
13.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a；
11
（2）f(x)f(xa)，或f(xa)(f(x)0)，或f(xa)(f(x)0),则f(x)的周
f(x)f(x)
期T=2a；
1
(3)f(x)1(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a；
f(xa)
14.分数指数幂
mm
11
(1)an（a0,m,nN，且n1）.(2)an（a0,m,nN，且n1）.
nmm
aan
15．根式的性质
a,a0
（1）(na)na.（2）当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nan|a|.
a,a0
16.指数式与对数式的互化式
b
logaNbaN(a0,a1,N0).
17.对数的换底公式
logN
m且且
logaN(a0,a1,m0,m1,N0).
logma
nn
推论logmblogb(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).
ama
18．对数的四则运算法则
若a0，a1，M0，N0，则
M
(1)log(MN)logMlogN;(2)loglogMlogN;(3)logMnnlogM(nR).
aaaaNaaaa
设函数2记2若的定义域为则，且
19.f(x)logm(axbxc)(a0),b4ac.f(x)R,a00;
若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情形,需要单独检验.
20.平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有yN(1p)x.
21.数列的同项公式与前n项的和的关系
s,n1
1数列的前项的和为
an({an}nsna1a2an).
snsn1,n2
等差数列的通项公式*；
22.ana1(n1)ddna1d(nN)
d1
n2(ad)n
212
n(aa)n(n1)
其前n项和公式为s1nnad
n212
a
23.等比数列的通项公式aaqn11qn(nN*)；
n1q
a(1qn)aaq
1,q11n,q1
其前项的和公式为或
nsn1qsn1q.
na1,q1na1,q1
24．常见三角不等式
（1）若x(0,)，则sinxxtanx.(2)若x(0,)，则1sinxcosx2.
22
25.同角三角函数的基本关系式
sin
sin2cos21，tan=
cos
26.正弦、余弦的诱导公式
公式一二三四五六
角2k(kZ)
22
正弦sinsinsinsincoscos
余弦coscoscoscossinsin
正切tantantantan
口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限
27.和角与差角公式
sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;
tantan
tan().
1tantan
b
asinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tan).
a
28.二倍角公式
sin22sincos.
cos2cos2sin22cos2112sin2（升幂公式）
1cos21cos2
cos2；sin2；(降幂公式）
22
2tan
tan2.
1tan2
29.三角函数的周期公式
函数ysin(x)，xR及函数ycos(x)，xR(A,,为常数，且A0，0)的周期
2
T；函数ytan(x)，xk,kZ(A,,为常数，且A0，0)的周期T.
2
30.正弦定理
abc
2R.
sinAsinBsinC
31.余弦定理
a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.
32.面积定理
111
（1）Sahbhch（h、h、h分别表示a、b、c边上的高）.
2a2b2cabc
111
（2）SabsinCbcsinAcasinB.
222
33.三角形内角和定理
CAB
在ABC中，有ABCC(AB)2C22(AB).
222
34.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、
2，使得a=1e1+2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
35.a与b的数量积(或内积)
ab=|a||b|cos．
36.ab的几何意义
数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积．
37.平面向量的坐标运算
设，则
(1)a=(x1,y1),b=(x2,y2)a+b=(x1x2,y1y2).
设，则
(2)a=(x1,y1),b=(x2,y2)a-b=(x1x2,y1y2).
设，则
(3)A(x1,y1)B(x2,y2),ABOBOA(x2x1,y2y1).
(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).
设，则
(5)a=(x1,y1),b=(x2,y2)ab=(x1x2y1y2).
两向量的夹角公式
xxyy
cos1212(a=(x,y),b=(x,y)).
22221122
x1y1x2y2
平面两点间的距离公式
dA,B=|AB|ABAB
22，
(x2x1)(y2y1)(A(x1,y1)B(x2,y2)).
向量的平行与垂直
设，且，则
a=(x1,y1),b=(x2,y2)b0
a||bb=ax1y2x2y10.
ab(a0)ab=0x1x2y1y20.
38.三角形的重心坐标公式
ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则ABC的重心的坐标是
xxxyyy
G(123,123).
33
39.三角形五“心”向量形式的充要条件
设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则
222
（1）O为ABC的外心OAOBOC.
（2）O为ABC的重心OAOBOC0.
（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.
（4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0.
（5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.
40.基本不等式：
（1）a,bRa2b22ab(当且仅当ab时取“=”号)．
ab
（2）a,bRab(当且仅当ab时取“=”号)．
2
注：已知x,y都是正数，则有
（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；
1
（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值s2.
4
41.含有绝对值的不等式
当a>0时，有
2
xax2aaxa.
xax2a2xa或xa.
42.指数不等式与对数不等式
(1)当a1时：af(x)ag(x)f(x)g(x);
f(x)0
logaf(x)logag(x)g(x)0.
f(x)g(x)
(2)当0a1时：af(x)ag(x)f(x)g(x);
f(x)0
logaf(x)logag(x)g(x)0
f(x)g(x)
43..斜率公式
yy
21（、）
kP1(x1,y1)P2(x2,y2).
x2x1
44.直线的五种方程
（）点斜式直线过点，且斜率为．
1yy1k(xx1)(lP1(x1,y1)k)
（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).
yyxx
（）两点式11、
3(y1y2)(P1(x1,y1)P2(x2,y2)(x1x2)).
y2y1x2x1
xy
(4)截距式1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)
ab
（5）一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).
45.两条直线的平行和垂直
若，
(1)l1:yk1xb1l2:yk2xb2
l1||l2k1k2,b1b2;l1l2k1k21.
若且、、、都不为零
(2)l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B2,
ABC
111；；
l1||l2l1l2A1A2B1B20
A2B2C2
46．常用直线系方程
(1)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线
AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0)，是参变量．
(2)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A0，B0)垂直的直线系方程是BxAy0,
是参变量．
47.点到直线的距离
|AxByC|
00点直线：
d(P(x0,y0),lAxByC0).
A2B2
48.圆的方程
（1）圆的标准方程(xa)2(yb)2r2.
（2）圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0).
xarcos
（3）圆的参数方程.即三角换元
ybrsin
49.点与圆的位置关系
点与圆222的位置关系有三种
P(x0,y0)(xa)(yb)r
若22，则
d(ax0)(by0)
dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.
50.直线与圆的位置关系
直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种:
dr相离0;dr相切0;dr相交0.
AaBbC
其中d.
A2B2
51.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为，，半径分别为，，
O1O2r1r2O1O2d
dr1r2外离4条公切线;dr1r2外切3条公切线;
r1r2dr1r2相交2条公切线;dr1r2内切1条公切线;
0dr1r2内含无公切线.
52.圆的切线方程
(1)已知圆x2y2DxEyF0．
若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是
(x0,y0)
D(xx)E(yy)
xxyy00F0.
0022
D(xx)E(yy)
当(x,y)圆外时,xxyy00F0表示过两个切点的切点弦方程．
000022
过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求，这时必有两条切线，注
yy0k(xx0)k
意不要漏掉平行于y轴的切线．
斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆x2y2r2．
过圆上的点的切线方程为2
P0(x0,y0)x0xy0yr;
斜率为k的圆的切线方程为ykxr1k2.
53．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦
点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P{M||MF1||MF2|2a}，|F1F2|2c<2a，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
椭圆的标准方程和几何性质
x2y2y2x2
11
标准方程a2b2a2b2
(a>b>0)(a>b>0)
图形
axabxb
范围
bybaya
对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)
坐标，，，，
性B1(0b)B2(0b)B1(b,0)B2(b,0)
轴长轴的长为；短轴的长为
质A1A22aB1B22b
焦距|F1F2|2c
c
离心率e(0,1)
a
a，b，c
a2b2c2
的关系
椭圆的切线方程
x2y2xxyy
（1）椭圆1(ab0)上一点P(x,y)处的切线方程是001.
a2b200a2b2
x2y2
（2）过椭圆1(ab0)外一点P(x,y)所引两条切线的切点弦方程是
a2b200
54.双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫
做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P{M|||MF1||MF2||2a}，|F1F2|2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
双曲线的标准方程和几何性质
x2y2y2x2
11
标准方程a2b2a2b2
(a>0，b>0)(a>0，b>0)
图形
范围xa或xa，yRxR，ya或ya
性
对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点
质
顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)