第十一讲 圆锥曲线中的最值与范围问题（原卷版）

第十一节圆锥曲线中的最值与范围问题题型归纳题型一最值问题角度1基本不等式法求最值例1(12分)(2023青岛调研)已知椭圆：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(ab0)的离心率为eq\f(\r(6),3)，左、右焦点分别为F1，F2，过F2作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且ABF1的周长为4eq\r(6).(1)求的方程；(2)若AMx轴于点M，BNx轴于点N，直线AN与BM交于点C，求ABC面积的最大值．[满分规则]得步骤分：由准确运用椭圆定义，求出a，b，c可分别得1分，第一问共4分，由联立椭圆和直线方程，写出根与系数关系式得1分，设直线方程可得1分；得关键分：由联立两直线求出C点横坐标得2分，表示ABC面积得1分；得计算分：由通过根与系数关系化简面积表达式得1分，由利用换元后，由基本不等式求出最值得3分．训练1已知点A(0，2)，椭圆E：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为eq\f(2\r(3),3)，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程．角度2函数法求最值例2在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2))).(1)求椭圆E的标准方程；(2)设经过点(2，0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求F2MN的面积的最大值．感悟提升圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．训练2(2023济南联考节选)已知抛物线C：y24x，F为焦点，点Q在直线x1上，点P是抛物线上一点，且P点在第一象限，满足FPFQ，记直线OP，OQ，PQ的斜率分别为k1，k2，k3，求k1k2k3的最小值．题型二范围问题例3(2023辽宁省六校联考)在平面直角坐标xOy中，已知抛物线C：y22px(p0)的焦点与椭圆：eq\f(x2,2)y21的右焦点重合．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)记P(4，0)，若抛物线C上存在两点B，D，且直线BD的斜率存在，使PBD为以P为顶点的等腰三角形，求直线BD的斜率的取值范围．故直线BD的斜率的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(，\f(\r(2),2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，)).感悟提升解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．训练3(2023武汉调研)过双曲线：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a0，b0)的左焦点F1的动直线l与的左支交于A，B两点，设的右焦点为F2.(1)若ABF2可以是边长4的正三角形，求此时的标准方程；(2)若存在直线l，使得AF2BF2，求的离心率的取值范围．课时训练一、单选题1．设点A，，的坐标分别为，，，动点满足：，给出下列四个结论：点P的轨迹方程为；；存在4个点P，使得的面积为；.则正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．42．设、分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为（）A．与B．与C．与D．与3．已知M，N是椭圆上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M，N的点，且的最大值是，则椭圆C的离心率是（）A．B．C．D．4．已知，，若圆上存在点P，使得，则实数r的取值范围是（）A．[3,5]B．（0,5]C．[4,5]D．[16,25]5．已知曲线：，为上一点，的取值范围为；的取值范围为；不存在点，使得；的取值范围为.则上述命题正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．设双曲线：的离心率为，过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于，，则有．若，为的中点，则直线斜率的最小值是（）A．B．C．D．7．已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（）A．3B．4C．D．68．已知圆过点，且与直线相切，是圆心的轨迹上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．二、多选题9．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（）A．的最小值为8B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6C．为定值D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为10．双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点，则（）A．的渐近线方程为B．C．过点作，垂足为，则D．四边形面积的最小值为三、解答题11．在平面直角坐标系中，已知，分别是椭圆C：的左焦点和右焦点.(1)设T是椭圆C上的任意一点，求取值范围；(2)设，直线l与椭圆C交于B，D两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程.12．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：.(1)设是椭圆上的一个动点，求的取值范围；(2)设与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，试问：是否存在满足条件的直线，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.13．已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点.(1)设，求证：是定值；(2)求的取值范围.14．已知双曲线：的离心率为；(1)求此双曲线的渐近线方程；(2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围；15．已知双曲线的方程为：，左右焦点分别为，是线段的中点，过点作斜率为的直线，l与双曲线的左支交于两点，连结与双曲线的右支分别交于两点.(1)设直线的斜率为，求的取值范围.(2)求证：直线过定点，并求出定点坐标.16．已知O为坐标原点，双曲线C：的渐近线方程为．(1)求C的标准方程；(2)过点的直线l交C于M，N两点，交x轴于Q点．若，问是否存在？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．17．双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形．(1)求双曲线的方程；(2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．18．求抛物线：上的点到直线：的最小距离．19．如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的一个交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于点M（B、M不同于A）．(1)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，求p的值；(2)若直线l过椭圆的右焦点，求面积的最大值及此时直线l的方程；(3)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．20．已知为抛物线上不同两点，为坐标原点，，过作于，且点.(1)求直线的方程及抛物线的方程；(2)若直线与直线关于原点对称，为抛物线上一动点，求到直线的距离最短时，点的坐标.